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1、111复旦大学 2000 年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题一、填空题（每小题 10 分，共分，共 60 分）分） 1将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，第 n 组 含 n 个数，即 1；2，3；4，5，6；令 an为第 n 组数之和，则 an_2_222sinsin ()sin ()333_222lim(2)log (2)2(1)log (1)log nnnnnnn 4已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于 60 度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等 角，和底面成 60 度角，则两对角面面积之比为_ 5正实数 x,y 满足关系式 x2xy40
2、，又若 x1，则 y 的最小值为_ 6一列火车长 500 米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台 追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离 站台 1000 米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了_ 米 二、解答题（每小题二、解答题（每小题 15 分，共分，共 90 分）分） 1数列an适合递推式 an+13an+4，又 a11，求数列前 n 项和 Sn2求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点你还知道其它圆锥 曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明3正六棱锥的高等于 h，相邻侧面的两面角等于，
3、12arcsin(3 26)2求该棱锥的体积()1cos( 26)1241124设 z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若 z1+z2+z3+z4=0 求证：这四个点组成一个矩形5设，其中 xn,yn为整数，求 n时，的极限(12)2n nnxynnx y6设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过 1问：半径至少为多大的圆盘才能盖住 这三个点请证明你的结论113复旦大学 2001 年选拔生考试数学试题一、填空一、填空(每小题每小题 5 分，共分，共 45 分分) 1sinxsiny0，则 cos2xsin2y_ 2平面1, 2成的二面角，平面1中的椭圆在平面2中的射影是圆，那么
4、椭圆短轴与长轴之 比为_ 3(x2+2x+2)(y2-2y+2)1，则 x+y_ 4电话号码 0，1 不能是首位，则本市电话号码从 7 位升到 8 位，使得电话号码资源增加 _ 5200283a3+82a2+8a1+a0，0a0,a1,a2,a37 正整数，则 a0_6的常数项为_151()xx7_lim(1) nnnn 8空间两平面,，是否一定存在一个平面均与平面,垂直？_ 9在ABC 中，cos(2AC)cos(2CB)，则此三角形的形状是_ 二、解答题二、解答题(共共 87 分分) 1求解：cos3xtan5xsin7x2数列 3，3lg2，,3(n1)lg2问当 n 为几时，前 n 项
5、的和最大？3求证：xR 时，|x1|4|x31|4a 为何值时，方程有解？只有一解？2 2lglg()log (1)lg2lg2xaxa5一艘船向西以每小时 10 公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时 20 公里 速度向正北方向移动，船与台风中心距离 300 米，在台风中心周围 100 米处将受到影响，问 此船航行受台风影响的时间段长度？6x3-2y31 的所有整数解(x,y)，试证明：1 3 34|2 |x yy1142003 年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题2003.1.4一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 40 分，每题分，每题 4 分）分） 1三次多项式 f(
6、x)满足 f(3)2f(1)，且有两个相等的实数根 2，则第三个根为_ 2用长度为 12 的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积 S 的最大值是_3已知，x+2y1，则的最小值是_, x yR22 xy4有 4 个数，前 3 个成等比数列，后 3 个成等差数列，首末两数和为 32，中间两数和为 24， 则这四个数是_ 5已知 f(x)ax7+bx5+x2+2x1，f(2)8，则 f(2)_ 6投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_ 7正四面体的各个面无限延伸，把空间分为_个部分 8有 n 个元素的集合分为两部分，空集除外，可有_种分法 9有一个整数的首位是 7，当 7 换至末位时，得
7、到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是 _ 10100!末尾连续有_个零 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 60 分，每题分，每题 10 分）分）11数列an的 a11，a23，3an+22an+1+an，求 an和limnna 123 个自然数倒数和为 1求所有的解13已知 x1000+x999(x+1)+(x+1)1000，求 x50的系数14化简：(1) ；(2) 1 1! 2 2!n n L12 12k nnn kCCCL15求证：为最简分式3422 31aa aa 11516证明不等式，当自然数 n6 时成立( )!( )23nnnnn复旦大学 2003 年暨保送生考试数学
8、试题一、填空题一、填空题(本大题共 80 分，每题 8 分)1函数，当 x=1 时，则 f(x)_1()2yf txx2 52tyt 2方程 x2+(a2)x+a+10 的两根 x1,x2在圆 x2+y24 上，则 a_ 3划船时有 8 人，有 3 人只能划右边，1 人只能划左边，共有_种分配方法 4Ax|log2(x24x4)0，Bx|x+1|+|x3|6，则=_AB 5数列an的前 n 项和为 Sn，若 ak=kpk(1p),(p1)，则 Sk_6若(x1)2+(y1)21，则的范围是_1 3y x 7边长为 4 的正方形 ABCD 沿 BD 折成 60o二面角，则 BC 中点与 A 的距
9、离是_8已知|z1|2，|z2|3，|z1+z2|4，则_12z z9解方程，x_3 log 2axxxa10(a0)，_lim2nnnna a二、解答题二、解答题(本大题共 120 分) 11已知|z|1，求|z2+z+4|的最小值12a1,a2,a3,an是各不相同的自然数，a2，求证：1231111()()()()2aaaanaaaaL13已知，求的值3sincos2cossin2tancot11614一矩形的一边在 x 轴上，另两个顶点在函数(x0)的图象上，21xyx 求此矩形绕 x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值15一圆锥的底面半径为 12，高为 16，球 O1内切于圆锥，球 O
10、2内切于圆锥侧面，与球 O1外切， ，以次类推， (1) 求所有这些球的半径 rn的通项公式；(2) 所有这些球的体积分别为 V1,V2,Vn,求12lim()nnVVV L16已知数列an的前 n 项和为 Sn，求1 (1)(11)(1)nannnnnn S200317定义闭集合 S，若，则，(1) 举一例，真包含于 R 的无限闭集, a bSabS abS 合(2) 求证对任意两个闭集合 S1,S2R，存在，但cR12cSS117复旦大学 2004 年保送生考试数学试题（150 分钟）2003.12.21一、填空题（每题一、填空题（每题 8 分，共分，共 80 分）分）1，则_) 1)(1
11、2(124248axxxxxa2已知，则的范围是_74535xxx3椭圆，则椭圆内接矩形的周长最大值是_191622 yx412 只手套（左右有区别）形成 6 双不同的搭配，要从中取出 4 只正好能形成 2 双，有_ 种取法5已知等比数列中，且第一项至第八项的几何平均数为 9，则第三项为_ na31a6的所有整数解之和为 27，则实数的取值范围是_0) 1(2axaxa7已知，则的最大值为_194)4(22 yx 9422yx8设是方程的两解，则=_21,xx053cos53sin2xx21arctgxarctgx 9的非零解是_zz 310的值域是_xx y 11 2二、解答题（每题二、解答
12、题（每题 15 分，共分，共 120 分）分）1解方程：1)3(log5xx2已知，且，求1312)sin(54)sin(2, 0, 02tg3已知过两抛物线 C1：，C2：的交点的各自的切线互相垂2) 1(1yx2(1)41yxa 118直，求a4若存在，使任意（为函数的定义域） ，都有，则称函数MDt D)(xfMxf)(有界问函数在上是否有界？)(xfxxxf1sin1)()21, 0(x5求证：3131211 333 nL6已知 E 为棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB 的中点，求点 B 到平面 A1EC 的距 离7比较与的大小并说明理由25log2426log258已知数列、满足，且，又， na nbnnnbaa21nnnbab66121a41b求 (1) ；(2) nnba ,nn balim119简单解答：一、填空题：1. 2. 3.20 4. 2)8 . 0 , 6 . 0(31二、解答题： 5证明 1：111) 1(1) 1(1() 1() 1(113mmmmmmmmmm=（2111)1111mmmmm而 mmmmm 211 211111113mmm原式o, y0）上取一点 P，使过 P 点椭圆的切线与坐标轴所12222 by ax围成的三角形的面积最小2在 ABC 中，tanA:tanB:tanC=1:2:3，求ABAC3在正方体 A
