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1、12010 年全国初中数学竞赛复赛试题及参考答案（湖南）年全国初中数学竞赛复赛试题及参考答案（湖南）一、选择题（一、选择题（57=35）1、已知、已知 3m1 和和 m7 是数是数 p 的平方根，则的平方根，则 p 的值为（的值为（ ）A，100 B，25 C.10 或或 5 D. 100 或或 252、若、若，则则的值为（的值为（ ）20a b10b cab bc A. B C D 11 2121 11110 21210 113、一列武广高速列车和一列普通列车的车身长分别为、一列武广高速列车和一列普通列车的车身长分别为 400 米和米和 600 米，它们米，它们相向匀速行驶在平行的轨道上，若
2、坐在高速列车上的乘客看见普通列车驶过相向匀速行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的乘客看见普通列车驶过窗口的时间是窗口的时间是 3 秒，则坐在普通列车上的乘客看见高速列车驶过窗口的时间秒，则坐在普通列车上的乘客看见高速列车驶过窗口的时间是（是（ ）A 2 秒秒 B 3 秒秒 C 4 秒秒 D 4.5 秒秒4、如图，一个半径为、如图，一个半径为 3 的圆的圆 O1 经过一个半径为经过一个半径为 3的圆的圆 O2 的圆心，则的圆心，则2图中阴影部分的面积为（图中阴影部分的面积为（ ）A B 9 C D 9 2992 9925、若实数若实数 a、b 满足满足，则则 a 的的21202aabb取值取值
3、范围是（范围是（ ）A a2 B a4 C a2 或或 a4 D 2a4二、填空题（二、填空题（57=35）6、若干名同学制作迎国庆卡通图片，他们制作的卡通图片张数的条形统计图、若干名同学制作迎国庆卡通图片，他们制作的卡通图片张数的条形统计图如图所示，设他们制作的卡通图片张数的平均数为如图所示，设他们制作的卡通图片张数的平均数为 a ,中位数为中位数为 b，众数为，众数为 c，2则则 a 、b、c 的大小关系为的大小关系为 7、一副三角板如图所示叠放在一起，则如中、一副三角板如图所示叠放在一起，则如中BDF 的度数是的度数是 8、已知关于、已知关于 x 的方程的方程有一个根为有一个根为1，设这
4、个方程另，设这个方程另22(2)10xxa 一个根为一个根为 m，则，则的值为的值为 。ma9、如图，将一张边长分别为、如图，将一张边长分别为 4 和和 2 的矩形纸片的矩形纸片 ABCD 折叠，使点折叠，使点 C 与点与点 A重合，则折痕重合，则折痕 EF 的长为的长为 交于点交于点 E，且，且 DEBC，已知，已知 AE=，AE=，BC=6，则圆，则圆 O 的半径的半径2 23 2是是 三、解答题（其中三、解答题（其中 1114 小题每题小题每题 15 分，第分，第 15 题题 20 分，共分，共 80 分）分）311、如图，在平面直角坐标系、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形中，
5、正方形 ABCD 的中点为坐标原点，顶的中点为坐标原点，顶点点 A 的坐标为的坐标为 A（1,1） ， y 轴上一点轴上一点P（0,2）绕点）绕点 A 旋转旋转 180得到点得到点 P1，点，点P1 绕点绕点 B 旋转旋转 180得到点得到点 P2，点，点P2 绕点绕点 C 旋转旋转 180得点得点 P3，点，点 P3 绕点绕点 D 旋转旋转 180得点得点 P4，。重复。重复操作依次得到点操作依次得到点 P1，P2，P3，（1） 、求点、求点 P1、P2、P3 的坐标；的坐标；（2） 、求点、求点 P2010 的坐标。的坐标。12、一辆货车、一辆客车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀
6、速、一辆货车、一辆客车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，货车在前。小轿车在后，客车在货车与小轿车的中间，行驶，在某一时刻，货车在前。小轿车在后，客车在货车与小轿车的中间，过了过了 10 分钟，小轿车追上了客车；又过了分钟，小轿车追上了客车；又过了 5 分钟，小轿车追上了货车；再过分钟，小轿车追上了货车；再过t 分钟，客车追上了货车，求分钟，客车追上了货车，求 t 的值的值.413、如图，在平面直角坐标系、如图，在平面直角坐标系 xOY 中，多边形中，多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,
7、4),E(6,0).若直线若直线 l 经过点经过点 M(2,3),且将多边形且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，求直线分割成面积相等的两部分，求直线 l 的函数表达式。的函数表达式。14、如图，谢线、如图，谢线 AM,BN 都垂直于线段都垂直于线段 AB，点，点 E 为为 AM 上一点，过点上一点，过点 A 作作BE 的垂线的垂线 AC 分别交分别交 BE、BN 于点于点 F、C，过顶，过顶 C 作品作品 AM 的垂线的垂线 CD，垂，垂足为足为 D。若。若 CD=CF，求，求的值。的值。AE AD15、如图，抛、如图，抛物线（a0）与双曲线）与双曲线相交于点相交于点 A，B，已，
8、已2ybxaxkyx知点知点 A 的坐标为（的坐标为（1,4） ，点，点 B 在第三象限内，且在第三象限内，且AOB 的面积为的面积为 3（O 为原为原5点）点） 。（1） 、求实数、求实数 a、b、k 的值；的值；（21） 、过抛物线上点、过抛物线上点 A 作直线作直线 ACx 轴，交抛物线于另一点轴，交抛物线于另一点 C，求所有满，求所有满足足EOCAOB 的点的点 E 的坐标。的坐标。参考答案参考答案1、D、3m-1 和和 m-7 是数是数 p 的平方根，则的平方根，则3m-1=m-7 或或 3m-1+m-7=0 m=3 或或 m=2当当 m=-3 时时,3m-1=-10 p=100当当
9、 m=2 时时,3m-1=5 p=252、D、a=20b,b=10c a=200c20010210210 101111abCCC bcCCC3、A、设高速列车和普通列车的车速分别为、设高速列车和普通列车的车速分别为 x 米米 8 秒、秒、y 米米/秒，则秒，则x+y=6003=200（米（米/秒）秒） 所以坐在普通列车上的乘客看见高速列车驶过窗所以坐在普通列车上的乘客看见高速列车驶过窗口的时间是：口的时间是：400200=2（秒）（秒）4、C、连结、连结 O1O2,O1A,O1B,O2A,O2BO1O2=O1A=3,O2A=3 22221 212O OO AO AO2O1A=90同理同理O2O
10、1B=90点点 A、O1、B 在同一条直线上，并且在同一条直线上，并且AO2B=90AB 是圆是圆 O1 的直径的直径6S 阴影阴影=S1S 弓形弓形 AO1B=S1(S 扇形扇形 AO2BSAO2B)1 21 2=2211-243(3 2)13 23 22=95、C、方程变形为：、方程变形为：，b 为实数为实数21202abab=0 化简得化简得0214 1 (2)2()aa 228aa(a-4)(a+2) 0 a4 或或 a26、bac共有共有 4+3+3=10 名同学制作图片，制作的张数为名同学制作图片，制作的张数为 4,4,4,4,4,5,5,5,6,6,6平均数平均数 a=4.9,
11、中位数中位数 b=5，众数，众数 c =4445 36 3 10 7、 75ABC=45DEF=30 BDE=ABCDEF=15BDF=EDFBDE=9015=758、 根据根与系数的关系可得：根据根与系数的关系可得：21+m= 1+m=122am=1,a= 22ma 9、 C 与与 A 重合重合 EF 是是 AC 的垂直平分线的垂直平分线5CG=112 5522AC 可证：可证：CFGAEG FG=EG=1 2EF可证：可证：CFGCAD FG:AD=CG:CD FG:2=:457FG= EF=5 2510、 延长延长 AC 交交O 于点于点 F，连结，连结 DF2 3DEBC DEF=18
12、0ACB=90DF 是是O 的直径的直径 AB=226(3 2)3 6DEBC DE:BC=AD:AB=AE:AC DE:6=AD: = DE=4,AD=3 62 2 :3 22:32 6AD 是切线是切线 AF=2AE AFAD6 2DF=227224484 3AFADO 的半径的半径 R=2 311、 （1）连结）连结 PA 并延长交并延长交 x 轴于点轴于点 M，则直线则直线 PA 的解析式是：的解析式是：y=-x+2 点点 M 的坐标是的坐标是 M（2,0）同时同时 MA=PA= 说明点说明点 A 是是 PM 的中点的中点 2即点即点 M 是点是点 P 绕点绕点 A 旋转旋转 180得
13、到得到点点 M 就是点就是点 P1P1(2,0) 同样：同样：P2(0,-2) P3(-2,0)(2)重复操作依次是：重复操作依次是：P4=P8=P,P5=P9=P1,P5=P10=P2,P7=P11=P32010=4502+2P2010=P2 P2010（0，-2）12、设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为、设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为 S 千米，小轿车、货车、千米，小轿车、货车、客车的速度分别为客车的速度分别为 a、b、c（千米（千米/分）分） ，并设货车经，并设货车经 x 分钟追上客车，由题意分钟追上客车，由题意可得：可得：810(a-b)=S (1) 15(a-c)
14、=2S (2) x(b-c)=S有（有（1） （2）得）得 30（b-c）=S S=30t =30105=15(分分)13、如图，延长、如图，延长 BC 交交 x 轴于点轴于点 F，连结连结 OB，DF，且相交于点，且相交于点 N有已知得点有已知得点 M（2,3）是）是 OB、AF 的中的中点，即点点，即点 M 为矩形为矩形 ABFO 的中心，所的中心，所以直线以直线 l 把矩形把矩形 ABFO 分成面积相等的分成面积相等的两部分两部分又因为点又因为点 N（5,2）是矩形）是矩形 CDEF 的中心，所以过点的中心，所以过点 N（5,2）的直线把矩形）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分。分成面积相等的两部分。于是，直线于是，直线 MN 即为所求的直线即为所求的直线 L设直线设直线 l 的解析式为的解析式为 y=kx+b 则则 2k+b=3 5k+b=2K= b= 因此所求直线因此所求直线 l 的函数表达式是：的函数表达式是：1 311 3111 33yx 14、如图，设、如图，设 CF=m,AF=n易证：易证：RTAFBRTABC2AF ACAB又又 FC=CD=AB=n 2()n
