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1、0浙江师范大学首届数学建模竞赛 一等奖 参赛小组负责人: 刘 海 华组 员 : 黄 敏组 员 : 陈 斌学 院 : 生命与环境科学学院系 别 与 班级 : 生物科学 012 班主办：浙师范师范大学团委 承办：数理信息工程学院1目目 录录题 目 1模型一 2模型二 3模型三 4模型分析 6带子缠绕包扎圆柱形管道模型处理带子缠绕包扎圆柱形管道模型处理 摘摘 要要 讨论了几种带子缠绕包扎圆柱形管道的模型，并经分析比较择优处理后，确认 出最佳模型。 问题的提出问题的提出 用宽度为 0.3 的带子缠绕包扎圆柱形管道，管道长 30m，截面周长为 0.5m。 （1）如果用带子全部包住管道，最少要用多长的带子
2、，请你给出计算这个最小长 度的公式，并且依次计算出所需长度数值。 (2) 现有一条长度为 51m 的带子，想将这条带子全部用于缠绕包扎这个管 道，可以使带子的接缝处重叠瘩接。请你给出用这条带子缠绕包扎这个管 道的方案。 （计算结果精确到 0.001m）在现代社会，随着科技的发展，产品的包装的重要性甚至可以与产品的质量 相抗衡，一些圆柱形产品的包装曾经困绕了不少人，在产品质量相同的情况下，如 何让外表既美观有省材成为竞争的关键，在此，我们以带子残缠绕包扎圆柱形管道 问题为例进行讨论几种处理模型问题的分析问题的分析 不同类型的包扎有不同的特点，在此不赘述，而是先按题目的要求假设几种 模型，在分析问
3、题的过程中，不可能通过一次假设就建立起完善的数学模型因此， 我有如下思路：先做简单的假设，对结果进行分析，针对结果不合理之处，逐步进 行修改，最终得到较好的模型。2模型一 纵向缠绕包扎模型 模型假设模型假设在研究建立模型时，需要作一些假设，目的是使模型简单、利于理解、便于计算， 为此我们考虑四种费用，即剪切费用、粘贴费用、缠绕费用和带子总费用，归纳假设 条件如下： （1）带子可以根据需要任意剪切 （2）剪切费用为 a 元/m （3）粘贴费用为 b 元/m2 （4）螺型缠绕费用为 c 元/m2 （5）带子价格 d 元/m2 (6) 由于切过程需要精确测量计算.因此耗费较大.粘贴过程要用粘贴剂也许
4、花费较大成 本而且为了保证粘贴效果要精细的劳动,而缠绕则较为简单.因此可以作如下近似估计： dabc模型构建和求解模型构建和求解将带子均分为两段.用以包住圆柱即:纵向包扎模型 如图(1) 设： 带长为 L,带宽为 i,管长为 N,管道横切面周长为 n,带子面积 s1, 管道侧面积 s2要使带子能完全缠绕包扎住管道 则：s1s2即 LiNn所以 LNn/i=300.5/0.3=50m 图(1) 取一根长为 m 的带子分两段同为 25m 将圆柱侧面贴满 1则 先转化为将圆柱侧面展开图贴满 如图(2) A D 阴影部分 GHIJ 即是重叠部分剪下来再分段贴满 BCFE 区域 从矩形 IJHG 和矩形
5、 BCFE 边长关系看可将矩形剪成 5 段 每段长 5m 宽 0.1m 由于矩形长 BCFE5m 宽 0.5m 因此五段恰好贴满矩形 BCFE设模型总耗费是 Y E F经计算, 剪切总长度 P=0.3+25+40.1=25.7m粘贴总面积 q= s2=15m2 B C螺旋缠绕面积 K=0 图(2) 带子面积 s1=15m2 所以, Y1=25.7a+15b+15d.(A1) 现所给带子长为 51m 即赋值于 L=51m 用与上述同样方法 即有如图所示展开图(3) 阴影部分是带子重叠部分 阴影部分面积 s3=510.3-500.3=0.3m2经计算 剪切总长： p=0.3+2505+40.1=2
6、6.2m粘贴总面积： q=s2=510.3=15.3m2螺旋缠绕总面积 ： k=0 带子总面积 ： s1=510.3=15.3m2 图(3)在此模型下 L=51 时的总费用： y1=26.2a+15.3b+15.3d(a1)1 G HI J3模型二 横向缠绕包扎模型 模型假设：模型假设：在研究建立模型时，需要作一些假设，目的是使模型简单、利于理解、便于计算，为此我 们考虑四种费用，即剪切费用、粘贴费用、缠绕费用和带子总费用，归纳假设条件如下： （1）带子可以根据需要任意剪切 （2）带子价格 d 元/m2 （3）剪切费用 a 元/m （4）粘贴费用 b 元/m2 （5）螺旋缠绕费用 c 元/m2
7、 （6）由于剪切过程需要精确测量计算.因此耗费较大.粘贴过程要用粘贴剂也许花 费较大成本而且为了保证粘贴效果要精细的劳动,而缠绕则较为简单.因此可 以作如下近似估计：dabc构模与求解：构模与求解：将带子剪成多段，横向缠绕包扎，如图（4） 设 ： 管道长度为 N ,横切面周长 n；ie 带子宽为 i； 带子长为 L； 相邻的带子之间缠绕是覆盖的宽度 e (即图中黑实线的宽度) 由于管道口周长 n=0.5mN 因此被截断的带子总条数为 L/n , 则有：未被覆盖带子表面积 S3=管道侧面积 S2图 4即：L(i-e)/i=S2L=iS2/(i-e)=iNn/(i-e)=15/(0.3-e) 由于
8、 e0 得 L50(m) 所以此时将带子截成长 0.5m 宽 0.3m 的 100 小段. 设 模型总耗费为 Y2 经计算得：剪切总长度 p=990.3=29.7(m)粘贴总面积 q=S2=15m2螺型缠绕面积 k=0带子面积 S1=15m2 所以：Y2=29.7a+15b+15d.(A2) 题中所给带子长为 51m 即：赋值于 L=51m又 ： L=15/(0.3-e) 得 e=0.3-15/L 将 L=51 代入上式 得 a=3/510=0.0059 当带子长 51m 时设模型总耗费为 y2 经计算 剪切总长度 p=990.3=29.7(m)粘贴总面积 q=510.3=15.3(m2)螺型
9、缠绕面积 k=0带子面积 S=510.3=15.3(m2) 所以：y 2=29.7a+15.3b+15.3d.(a2)4模型三 斜向螺旋包扎模型 模型假设：模型假设：在研究建立模型时，需要作一些假设，目的是使模型简单、利于理解、便于计算，为此我 们考虑四种费用，即剪切费用、粘贴费用、缠绕费用和带子总费用，归纳假设条件如下： （7）带子不需要剪切和大面积粘贴 （8）带子价格 d 元/m2 （9）剪切费用 a 元/m （10） 粘贴费用 b 元/m2 （11） 螺旋缠绕费用 c 元/m2 (6) 由于剪切过程需要精确测量计算.因此耗费较大.粘贴过程要用粘也许 花费较大成本而且为了保证粘贴效果要精细
10、的劳动,而缠绕则较为简单.因此 可以近似估计 dabc模型构建与求解：模型构建与求解：不需剪切，让带子与管道以 x 角度斜向包扎即 ： 斜向螺旋缠绕包扎 如图（5） 先假设缠绕过程中不重叠。则带子折下来后展开图 如图（6）n ni x L图 6 图 5展开图中阴影部分面积即是附着在管道上的那部分则阴影部分面积 s4=圆柱侧面积 s2 即 Li-0.5nSinxnCosx2=s2=Nn 又 Sinx=i/n=0.3/0.5=3/5 得 x=370 所以 L=(Nn+0.5nSinxnCosx2)/i =(300.5+0.50.60.50.8)/0.3 =50.400(m)经计算得： 剪切总长度
11、p=0缠绕总面积 k=500.3=15m2带子总面积 s1=15.12(m2)由于此模型在缠绕完毕后，仅需在两端有极小面积粘贴即可 则 q0，则可忽略粘贴费用总费用 Y3=kc+s1d=15c+15.12d 现题中所给带子长度为 51m 即赋值于 L=51m显然缠绕过程有重叠部分 将重叠的纸带折下来展开图形如图（8）中宽为 h 的阴影部分5n sasb i hxL图 8 假设变量：令带长 L 带宽 i，圆柱长 N, 圆柱横切面周长为 n 设 圆柱表面积为 s圆柱横切面周长展开线(即 n)与带子展开图的长边成角为 x 如图 8 则有 h+nSinx=0.3.(1) 图中 两个直角梯形面积 sa+
12、sb=s.(2)因为 s=300.5=15m2(3)sa=0.5(L-2nCosx+L-nCosx)nSinx(4)sb=0.5(i-nSinx+i)nCosx(5) 将（3） （4） （5）同时代入（2）式得： 0.5(2L-3nCosx)nSinx+0.5(2i-nSinx)nCosx=15 将 i, n 的数据代入并化间得：Lsinx+0.3Cosx-SinxCosx=30.(6) 由（1）得：Sinx=(0.3-d)/n因为 d0 所以 Sinx0.3/n=0.3/0.5=0.600x370 0Sinx0.6 L(30+0.60.8-0.30.8)/0.6=50.400(m) 现有一条
13、带子长 51m 即 L=51 代入(3) 51Sinx+0.3Cosx-SinxCosx=30(*)现在关键的问题就是求出 Sinx Cosx 及 x 得值,就可以求出 d 得值用 Visual Basic6.0 编一个程序计算 sinx 和 cosx 由 sinx2+cosx2=1(*)式可化 511-cos2x +0.3cosx-cosx1-cos2x =30注：所注：所编编程序及程序运行程序及程序运行结结果果见见附附录录所以 h=0.3-nSinx=0.3-0.50.5929505179749740.0035(m) 即带子重叠处宽度为 h=0.0035(m)经计算 得： 剪切总长度 p=0 缠绕总面积 k=15m2 带子面积 s2=510.3=15.3m2因为缠绕工作完毕后仅需要极小面积得粘贴,可认为最小粘贴面积 q=0所以总耗费 y3=15c+15.3d6模型分析 我们讨论了 3 种模型,表 1 中给出了在一定条件下不同模型的耗费： 模型耗费人力物力最小费用L=51 时费用 一大Y1=25.7a+15(b+d)y1=26.2a+15.3(b+d) 二大Y2=29.7a+15(b+d)y2=29.
