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1、20092009 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 新疆维吾尔自治区预赛试题新疆维吾尔自治区预赛试题（考试分值：150 考试时间：120 分钟，考试时间：2009 年 5 月 24 日）一、选择题（每小题一、选择题（每小题 6 6 分，共分，共 3636 分）分）1、下列方程中与 sinxcosx0 解集相同的是（ ）Asin2x1cos2x BsinxCcos2x0 D21sin xcos20cossinx xx2、已知 是第三象限的角，且的取值范围是（ ）sincos,444则A3372k2k2k2kk4848ZU（，）（，），B5117152k2k2k2kk4848ZU（，）（，），
2、C337kkkkk4848ZU（，）（，），D 511715kkkkk4848ZU（4，4）（4，4），3、数且 n2009，设x为 x 的整数部分，则除以 8 的余2n*38n)N（）（2n38 （）数是（ ） A1 B3 C4 D74、已知 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当时，f（x）x2，若直线0x1与的图像恰好有两个公共点，则 a（ ）1yxa2yfx（）A Bk,Z C D 11kkk216Z或，11kkk216Z2 或2 ，5、如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，PA1B1C1D1是正四棱锥，且 P 到平面 ABC 的距离为，则异面直线 A1P 与 BC1的
3、距离是（ ）3 2ABA B C D3 36 36 63 66、已知 f（x）的定义在实数上的函数，且f33（），则 f（2009）（ ）fx2 1fx)=1+f(x)（）（A B C D 232333CBADD1C1B1A1P二、填空题（每题二、填空题（每题 9 9 分，共分，共 5454 分）分）7、已知 C 与 F 是线段 AB 上的两点，AB12，AC6，D 是以 A 为圆心，AC 为半径的圆 上的任意点， ，线段 FD 的中垂线与直线 AD 交于点 P。若 P 点的轨迹是双曲线，则此双曲 线的离心率的取值范围是 8、在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且都是方程sin
4、,sinCB AA的根，则ABC 的形状是 loglog (44)bbxx9、设函数 f(x)=的最大值为 an，最小值为 bn，则 an-bn=_2 * 2()1xnnNxx10、不等式的解集是 200920092009(1)2660xxx11、有 6 本不同的书，其中一本数学书，两本英语书，三本音乐书，将他们排成一排，若 英语书不相邻，音乐书也不相邻的不同排法数为 12、曲线的点到坐标原点的距离的最小值为 22231xxyy三、解答题（每小题三、解答题（每小题 2020 分，共分，共 6060 分）分）13、已知 P 是圆上一动点，向量依逆时针方向旋转 90得到向22x2y21（）（）OP
5、uu u r量，又点 P 关于 A(3，0)的对称点为 T，求的取值范围。OSuu u r |TSuu r14、已知ABC 的内切圆半径为 2，且 tanA=，求ABC 面积的最小值.4 315、从直线 l：上任意一点 p 向椭圆 C：1128xy引切线 PA,PB，切点分别为 A、B，试22 12416xy求线段 AB 中点 M 的轨迹方程。DOABClMOPBA参考答案： 1、D 2、B 3、A 4、C 5、B 6、A7、(1,28、A30，B60的直角三角形9、解：由 y=，得 yx2+yx+y=x2+n, 即：(y-1)x2+ yx+y-n=0.221xn xx y1 时，y2-4(y
6、-1)(y-n)0，即：3y2-4(n+1)y+4n0. 可知 an,bn是方程 3y2-4(n+1)y+4n=0 的两根. 所以：an+bn=, anbn=，故(an-bn)2=(an+bn)2-4anbn=4(1) 3n4 3n=216(1)16 93nn216(1)9nn因为 anbn，所以 an-bn=2413nn10、解：整理，不等式化成 20092009(1)6(1)(2 )6 (2 )xxxx 设，且不等式化为2009( )6f xxx(1)(2 )f xfx是 R 上的增函数，故，得( )f x12xx 1x 故不等式的解集为x|x1，xR 11、120 种12、51 213、
7、设点 P(x，y)，则点 S（y，x） ，点 T（6x，y） ，又圆心为 C（2，2） ，半径 r1,其中 B（3,3）2222|(6)()2(3)(3)2 |TSxyyxxyPB uu rmaxmin|2(| 1)2( 261),|2(| 1)2( 261)TSCBTSCBuu ruu r2( 261) |2( 261),TSuu r14、解：设 AB=c, BC=a, AC=b，D 为切点，可知：2AD+2a=a+b+c 得：AD=(b+c-a)，由 tanA=，可1 24 3得：tanDAO=2， 所以：DO=b+c-a=2，sinA=.4 5SABC=bcsinA=(a+b+c)21 21 2即：bc=2(b+c)-2，所有 bc=5(b+c)-510-52 5bc设=t，则知：t2-10t+50，所以 t5+2或 t5-2(舍)bc55故 bc45+20，所以 SABC=bc18+8，b=c=5+2时取等号。52 555故ABC 面积的最小值为 18+8.515、点 M 是以（1，1）为中心长短半轴分别为，且长轴与 x 轴平行的椭圆（不1015,23包括原点）DOABC
