《逆分圆多项式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《逆分圆多项式（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、S u b m i t t e di np a r t i a l f u l f i l m e n to f t h er e q u i r e m e n t s如rt h ed e g r e eo f m a s t e ri nF u n d a m e n t a lM a t h e m a t i c sI n v e r s eC y c l o t o m i cP o l y n o m i a l sP OS T G R A D U A T E ：G a n gQ i a n M E N T O R ：P r o f e s s o rH o u r o n gQ
2、i nS P E C I A L I Z A T I O N ：F u n d a m e n t a lM a t h e m a t i c sU N I V E R S I T Y ：N a n ji n gU n i v e r s i t yA p r i l2 0 1 1致谢致谢首先非常感谢我的导师秦厚荣教授，谢谢他在我研究生阶段对我悉心的指导。他不仅在学业上对我谆谆教诲，对我的生活也是关怀有加。他严谨的治学态度，优秀的教学方式，将激励我不断的进取，不断攀登新的高峰。还要感谢数学系的各位任课老师们，感谢黄兆泳老师在代数基础课上给予帮助，感谢丁南庆老师这么精彩的同调代数课程，让我的代
3、数基础有了更好的提高，感谢其他老师丰厚的知识积累和敬业精神，给予我很多教益。感谢和我朝夕相处的同学们，一起上课一起讨论问题，一起面对挫折，感谢他们在我遇到困难时给予的帮助。三年的研究生生活给我留下了美好的回忆，它将成为我今后人生旅途中新的起点。最后感谢我的父母，感谢他们对我的学习、生活付出的巨大的精力，感谢他们为我所做的一切。目录目录致谢1中文摘要3英文摘要4第一章背景介绍51 1 分圆多项式简介51 2 逆分圆多项式简介6第二章准备知识72 1( 逆) 分圆多项式性质介绍72 2 二元分圆多项式吆扛) 92 3 低元平坦逆分圆多项式1 0第三章主要结果1 23 1皿p 叮r ( z ) 的平
4、坦性，其中g = P + 2 ，r 三1 ( r o o d p ) 1 3第四章结果改进2 34 1 阿( z ) 的平坦性，其中g 三2 ( m o d p ) ，r 兰l ( m o d p ) 2 3参考文献2 52毕业论文题目：堂金堡垒亟叁塞熊麴鲎专业2 Q Q 墨级硕士生姓名：焦塑指导教师( 姓名、职称) ：盔壁蓥塾撞摘要有关分圆多项式圣。( 茁) 系数已经有了较为深入的研究，令1 1 次逆分圆多项式雪nx ) = ( z n 1 ) ( z ) 。我们用c O O 表示佗次逆分圆多项式绝对值最大的那个系数的绝对值。P i e t e rM o r e e Z E 他的逆分圆多项式
5、文章中证明C ( p 妒) ( P 1 ) ，同时给出了等号成立的充要条件。本文首先证明在P ，口，r 为素数且满足q = P + 2 ，r 兰l ( m o d p ) 的条件下，当7 垒- 。一1 ) 抖( q - 】a ) ，C ( p q r ) = 1 ；在r ( p - - 1 ) ( + q - - 】1 ) ，J i 么C ( p q r ) = 1 ；若r ( p - 口一1 ) P ( + q - 11 ) a n dC ( p q r ) 2i f r _ ( p - q 卅1 ) ( q - - 1 1 ) a n dC ( p q r ) 2i f r 1 ，如果(
6、2 ，n ) = 1 ，那么圣2 n ( z ) = 西。( 一z ) ；( 2 ) 对于任意的正整数n 1 ，我们有z p ( n ) 圣他( 1 x ) = 圣。( z ) ；( 3 ) 如果pI 视，那么西肼( z ) = 圣。( z p ) ；( 4 ) 如果pfn ，那么西肼( z ) = 圣。( z p ) 圣。( 2 ) 。7口第二苹准备知识证明注：式( 1 ) 说明我们考虑分圆多项式是，只需考虑奇数次分圆多项式，下面我们只证明式( 3 ) ( 4 ) ，其余的类似可以证明。( 3 ) 若Pl 礼，则我们有：圣m ( z ) = I I 一1 ) p d i P n因为pIn ，
7、所以上述试若p 十d ，那么p ( 警) = 0 ，下面我们只需考虑pId 。令d = p t ，则( z ) = I I ( z d 一1 ) p 警 d l 册= I I ( z p 。一1 ) p 孚d = p t ，t i n= ( z p ) ( 4 ) 若P f 礼，则我们有：( z ) = I I ( 一一1 ) 肛警 d I p n= I I ( z d 一1 ) 肛等I I ( z 讲一1 ) p 孚趔nd = p t ，列“因为Pfn ，所以我们有p ( 警) = 一肛( 罟) ，所以我们有( z ) = ( z d 一1 ) 肛警I I ( 一1 ) p 詈= I I (
8、 一一1 ) 州昔n ( 一1 ) 肛詈d l nd = p t ，t i n n ( 一1 ) 肛( )：宅喾_ 丽= ( z p ) 西。( z ) 2 r i i ；了二= _ i 矿2 掣n 。z 7 掣“。z d I n得证。性质2 1 2 对于逆分圆多项式皿。( z ) ，却是素数，我们有( 1 ) 设n 1 ，如果( 2 ，n ) = 1 ，那么2 n ( z ) = ( 1 一X n ) n ( 一z ) ；( 2 ) 对于任意的正整数n 1 ，我们有皿。( z ) = 一皿n ( 1 z ) x ”妒( ”；( 3 ) 如呆ln ，那么皿p n ( z ) = 皿。( z p
9、 ) ；( 4 ) 如果p n ，那么m 册( z ) = 皿。( z p ) 圣。( z ) 。8口第二章准备知识2 2 二元分圆多项式( I ) p q ( x )定理2 2 1 ( 出自文献【1 l 】) 却、g 是素数，p 和盯是非负整数，使得0 1 ) ( 口一1 ) 能够唯一的表示成卯+ 盯g 的形式，那么我们有：P叮q 一1p - 1 ( z ) = ( 一) ( x J q ) 一( z 巾) ( z j 9 ) z 喇同时，对于任意的o k ( P 1 ) ( g 1 ) ，我们容易得到如下结论： 洲0 卿( 七) = 1 甘存在i 【o ，纠，J 0 ，盯 ，使得k = i
10、 p + J q ； 例o p 口( 七) = 一1 甘存在i P + 1 ，g 一1 】，J p + 1 ，P 一1 】，使得k + P q =咖+ J q ；( 2 1 ) a p q ( k ) = 一1 令存在i 0 ，q - 2 - p ，歹 o ，P 一2 一盯】，使得k = i p + j q + l ；例其余情况( 膏) = 0 。证明根据初等数论的结论，我们很容易得到咿( p g ) = ( p 一1 ) ( 口一1 ) 可以唯一的表示成卯+ 盯q 的形式，即一1 ) ( g 一1 ) = 卯+ a q ，很容易看出p q 一2 ，盯P 一2 ，下面我们首先证明：P盯q -
11、1p - - 1 ( z ) = ( z 咖) ( 。) 一( z 咖) ( z 为) z 一 i = Oj = oi = p + - 1j = a + l设 丁或者歹 1 时， 譬】 ( t ) 七 q r ，q 矿( 七) = b ( k q r ) = a p q ( 后一( q + 歹) 7 ) 其中当q r 7 - ，勺旷( 七) = b ( k q r ) = ( 七一( q + J ) r ) ； j = o 其中当7 ( p - - 口呻1 ) ( + q - - 1 1 ) ，那么 l ( m ) + ( m + r ) + ( m + 2 r ) l 1 证明因为r - (
12、 p - g 一1 ) 卅( q - 11 ) - ，即：口r ( P 1 ) ( g 一1 ) + 0 1 ) r = 7 - 根据引理3 0 2 ，我们只需要考虑其中( o ) 的情形，同时我们根据r 气等铲且g = p + 2 ，所以我们有一1 ) ( g 一1 ) = q a ( p q ) 3 r 时，我们有( i ) = 0 。所以考虑形试化成本引理的形式。由于 ( p 一1 ) ( g 一1 ) ：p 一1 ) ( p + 1 ) ：早p + 早口根据定理2 2 1 我们知道，存在唯一的P ，盯使得一1 ) ( g 一1 ) = P P + 盯q 成立，所以 一p 一1P 一1P
13、2 - _ ，盯2T 要证明这个引理的结论成立，下面我们只需要证明n p 口( m ) ，a p q ( m + r ) ，a p 。( m +2 r 1 这三项中不可能出现有两项同时为l 或同时为一1 的情况。1 3第三章主要结果首先我们证明这三项不会同时出现两项为1 ：( a ) 我们设 Q 册( 仇) = 1 ，( m + r ) = 1 那么，字，o 堑掣 学+ 2 _ ( i 4 - i 3 ) p + g 得到矛盾。下面我们分别证明当p = 5 和p = 3 的情况下，此引理也是正确的。( i ) 当p = 3 时，我们根据推论2 3 1 B pn - I “ 得到结果。( i i
14、 ) 当p = 5 时，根据引理条件2 r 塑；墼型 7 ，而2 r = ( i 4 一i 3 ) p + q 2 聿5 + 7 1 7 得到矛盾，甚P a p q ( m ) ，n 舢( m + 2 r ) 不能同时为l 。用同样的方法我们可以证明( m ) ，a p q ( 仇+ r ) ，n p q ( m + 2 r ) 这三项中不可能出现有两项同时为一1 ，所以n p q ( m ) + ( m + r ) + ( m + 2 r ) I 1 口定理3 11却 一( p _ g - - 呻1 ) ( + q - - 1 1 ) ，那么如翱，g 是孪生素数( 即g = P + 矽，且r
15、 三l ( m o d p ) ，那么皿p 口r ( z ) 是平坦的。证明由于1 6一妒Z卜Z+打Z+川矿吣ZZ加肿圣H 9 H| |=Z婶I第三章主要结果因为r 措qP1 = 掣，一+5即q r T 根据引理3 0 2( i ) 当k q r 时，同理可证。口从上面定理可知，存在无限多平坦的三元逆分圆多项式，而M o r e eP 7 只给出当P = 3 的情况下，存在无限多平坦的三元逆分圆多项式，我们将此结果推进了一步。下面我们开始考虑当r t 时，( u + s r ) = 0 ，那么本引理即可成立。不妨设是满足上面条件的t ，我们令u = U + t o r ，因为n 加( 钉) 0 ，下面我
