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1、 中学数学通用教案设计精编之三复数的模与辐角主值的复习深化教案设计复数的模与辐角的主值，是复数的重要概念，对于理解复数的几何意义 和进行运算都起着重要的作用。尽管学生有所认识，但是由于综合运用各科 知识的能力较差，所以解题容易出错。本设计以一题多解的形式，探讨一下 怎样深化复数的模与辐角主值的复习教学。 【题目】 设复数 z 1 = c o s + i s i n ， （0 ， / 2 ） 、 z2= z1i + 1 ， z1，z2分别对应复平面上的点 A 、B ，O 为坐标原点，A O B = （0 ）， 求角的大小。 一、应用三角公式化复数为三角式 解法一（分析：因为复数 z1、z2分别对
2、应复平面上的点 A ，B 所以A O B 可以用 a r g z1与 a r g z2的差来表示。关键是把 z2化为三角式并且判断 a r g z1 与 a r g z2的大小。），（ ，）z = cos+isin012 z2= z1i + 1 = （c o s + i s i n ）i + 1=1- sin+icos=1+cos2+i sin2= 2cos4+ + + + + 24242cossini10cos40zargz=4argzargz2221， 时， ，这时，式是的三角形式，并且，2442222+ +。= argz - argz =+2-=421422cos，当时，（）22423
3、4420+0 ， 这种用复数的辐角主值的差来确定夹角的方法，思路清晰，但是将 z2化为三角形式是解答本题的前提；合理地分 与两022个区间，判断（）的值的符号则是关键。因此，只有熟练地应cos42+用三角变换公式，记住复数三角式的特点，并且善于讨论参数的范围，才能 正确作出解答。 二、应用复数除法法则 解法二（分析：若 a r g z2a r g z1，则由复数除法的几何意义可知：。）= argz z21 由解法一中的式与式知道：z ziii1222242422424242=+ + + +=+ + coscossincossincoscossin10，当 时，24422420+ , cos所以
4、式是的三角形式，且 ，z z2104242，当时， ，22423 4420+ cosz zi212425 425 42= + + coscossin所以式是的三角形式，且，z z213 45 42=argz z215 42 这种由复数的商的辐角主值来确定夹角的方法，是建立在对于复数相 除的几何意义有着深刻理解的基础上的。与解法一相比较，思路要复杂些， 因为两个复数的辐角主值的差是通过两个复数的商的辐角主值来体现的。这样，对于式来说，不仅要判断（）的值的符号还要分析cos4-422+的范围，没有较强的分析能力与扎实的基础知识是容易弄错的。 另解：若从 z1/ z2入手，则由于 z ziii122
5、22424212422424=+ + + = + + cossincoscossincoscossin10，当 时，同以前讨论式是的三角形式。212z z但是 ，可知，根据复数相除的几4240argzargz12何意义，可得。= -2442 =2，当时，同以前讨论，2124212z z= + coscossin23 423 4+ + 虽然式是的三角形式，但是，超出了z z1223 45 4+0 的范围，于是可以把式化为： z zi12124225 425 425 43 425 45 42= + + = =coscossin ，同上分析有-由以上的两种求商的不同解法可知，只要对复数相除的几何意义
6、以及辐 角主值范围有透彻的理解，都能够求出的大小。同时，通过逆向思维，加 深了对复数主值范围的理解，使感性知识上升为理性知识。 三、应用向量加法法则解法三：（分析：， ，|z |=1argz =0112 | z1i | = | z1| = 1 ，z2= z1i + 1 可以运用向量加法的平行四边形法则作出菱形， 易知 z2对应的向量 O B 相应于菱形的对角线 O B ，又因为a r g （z 1 i ） = + / 2 ， 所以 a r g z2就可以求出来了。） z 1 = c o s + i s i n ，0 ，且/ 2 。 z2= z1i + 1 ， | z1| = 1 ，| z1i
7、| = 1 。10，当 时，2 | z1| = | z1i | 1 ，z1与 z1i 分别对应的点 A 与 C 都在单位圆上，并且，。xOA =AOC=2xOC =+xOC22这种应用向量的有向性来确定夹角的方法，要求学生对复数的几何意 义理解清楚，对向量加法法则运用熟悉，作图准确，并且对的分区合理。 这样，既加深了对数形结合的认识，又提高了解题的技巧。四、应用余弦定理 解法四（分析：因为A O B是A O B的内角，所以，只要求出各边的长 度，即各相应向量所对应的复数的模，则能应用余弦定理求解。） z1= c o s + i s i n ，（0 ，/ 2 ）， z2= z1i + 1 = 1
8、 - s i n + i c o s 。 z2- z1= 1 - s i n - c o s + i （c o s - s i n ）。 | z1| = 1 。10cos0，当 时， ，为锐，则式为2此时 ，。04242=42cos0cos0，当时， ，则 ，为钝角，2所以。=5 42 这种应用余弦定理来确定夹角的方法，学生容易接受，但是在求| A B | 即| z2- z1| 时，容易算错。此外，有的学生演算到式再也不懂得如何做下去了。说明他们对于角，的范围与关系认识不清，三角函数式的变换能力 差，需要进一步落实双基与加强知识迁移能力的培养。 五、应用两条直线的夹角公式 解法五：（分析：因
9、O A ，O B 的方向可以用直线 O A ，O B 的斜率表示，所 以A O B 就可以用两条直线的夹角公式求解。） z1= c o s + i s i n ，（0 ，/ 2 ），与 z2= z1i + 1 = 1 - s i n + i c o s 分别对应复平面上的点 A 与 B 。 ktgktgkk kktgtgOAOBOBOAOBOA= +=+sin cos;cos sin cos sin cos sin11111= = 112242sin coscossin tg10，当 时， 。2042442=,当时， ，由 ，24420425 23 45 42+= 0=.这种解法，以平面解析几
10、何中两条直线的夹角公式为基础，以三角变换 为工具，脉络清楚，把复数、三角、解析几何的知识有机地结合起来，得到 很好的效果。 从以上的五个方面，可以看出，对于复数的模与辐角的主值范围的复习 教学，单凭定义上的理解是不够的。若将其与三角、解析几何等有关知识联 系起来，综合运用其内涵与外延，那么，学生对于复数的模与辐角主值概念 的理解与应用将达到了一个新的境界。这样对于拓宽学生的解题思路，提高 其分析问题与解决问题的能力都将起到积极的作用。复数的模与辐角内容分析及教案设计一、内容分析 复数的模与辐角是复数三角形式表示的两个基本元素，它分别与复数代 数形式表示的实虚部、向量形式表示的乘除运算以及复数本
11、身表示的互为共 轭复数的积等都是有机联系着的。要求学生能够“掌握复数的代数、几何、 三角表示及其转换。” 复数没有大小，但复数的模与辐角主值有大小。所以复数的模与辐角主 值常与函数的最值相结合，在求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还 需注意几何法及不等式| | z1| - | z2| | | z1z2| | z1| + | z2| 的运用。复数与复平面上的点以及原点为始点的向量之间具有一一对应的关系， 因此复数的向量表示及其几何意义与解析几何中点的坐标、距离等问题相互 联系，有些复数模的方程的几何意义表示曲线，求满足某种条件的复数，实 际上是求曲线交点所对应的复数，往往通过数形结合加以解决
12、。 总之，复数内容具有综合性；解决复数问题的方法具有选择性，这两者 往往与复数的模及辐角有机相联，既体现了综合运用基本知识及其基本技 能，又有效地发展逻辑思维及综合分析问题的能力。 二、教学方案 课题：复数的模与辐角。 课型：复习课。 教学目的：使学生掌握复数的模与辐角及其在代数、几何、三角形式相 互转换方面的运用。 教学方法：程序教学法。 （一）引入 1 . 师：前面我们复习了复数的三角形式，大家知道，模与辐角是复数三 角形式表示的两个基本元素，那么请同学们考虑：它们与复数代数形式表示 的实、虚部以及向量表示的乘除运算是否有联系，有什么联系？ 生：有 z = a + b i = r （c o
13、 s + i s i n ）中 a = r c o s ，b = r s i n ，r = a2+ b2， 乘除运算可以表示成复平面上向量的旋转与伸缩。 师：对，另外模与复数本身表示的互为共轭复数的积等都有一定的联系： z z = | z |2= | z |2，即“模方公式”。 2 . 师：下面请做练习： （1 ） 若虚数 z = a + b i（a ， b R ， b 0 ） ， 则| z2| 、 | z |2、 z2的关系是 （ ） 。A . 互不相等B . | z2| | z |2= z2C . | z2| = | z |2z2D . | z2| = | z |2= z2（2 ）设复数 z 的辐角主值是 0 ，则 z 2 的辐角主值是（ ）。 A . 2 B . 2 - 2 C . 2 - D . 2 或 2 - 2 检查学生答案后提问：那么“复数的模”与“实数的绝对值”以及“辐 角”与“辐角主值”各有什么关系呢？ 生： （教师帮助概括）对于 z = a + b i （a ， b R ）来说，当 b = 0 时，则 z = a + b i 是一个实数 a ，它的模就是| a | ，这与实数意义上的绝对值一致，与 b 0时 的几何意义亦相同，都表示其对应的点到坐标原点的距离，因此，复数的模 是实数绝对值概
