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1、- 1 -第第 2 2 课时课时 数学归纳法数学归纳法2008-11-252008-11-25授课班级：高三（9）班 授课人：林福济教学目标：教学目标：1.知知识识目目标标 （1）再次了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。（2）复习巩固理解数学归纳法原理。（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。（4）会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。2.能力目能力目标标（1）通过对数学归纳法的复习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。3.情感目情感目标标（1）通过对
2、数学归纳法原理的复习探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。教学重难点教学重难点- 2 -1.重重 点点（1）理解数学归纳法的原理。（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。（3）会用数学归纳法证明及运用。2.难难 点点（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。（2）假设的利用，即如何利用假设证明当 n=k+1 时结论正确。教学方法：教学方法：类比启发探究式教学方法教学过程：教学过程：（一）（一）
3、、 主要知识及主要方法：主要知识及主要方法：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头特点：特殊一般.1. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完2. 全归纳法头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头
4、头 头 头 头 头 头头 头3. 完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方 法，又叫做枚举法. .与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头数学归纳法:对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：4.n先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当(，)时命题成
5、立，n0nnk*kNk0n证明当命题也成立奎屯王新敞新疆这种证明方法就叫做数学归纳法.1nk数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，5.0n0nn命题成立，再假设当(，)时，命题成立. .(这时命题是否成立不是确nk*kNk0n定的)，根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有1nk不小于的正整数，命题都成立. .0n01n 02n 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：6.- 3 -证明：当取第一个值结论正确；假设当(，)时结论正确， 1n0n 2nk*kNk0n证明当时结论也正确头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头
6、http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头由，可知，命题对于从开始的所有正整数都正1nk 1 20nn确.数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结 论写明莫忘掉.用数学归纳法证题时，两步缺一不可；证题时要注意两凑：一凑归纳假设，二7. 1 2凑目标. （二）（二） 、题型讲解：、题型讲解： 题型一、用数学归纳法证明等式题型一、用数学归纳法证明等式例 1 用数学归纳法证明：时，nN111 1 33 5(21)(21)21n nnnL点评：用数学归纳法证明，一是要切实理解原理，二是严格按步骤进行，格式要规范， 从 n=k 到 n=k+1 时一定
7、要用归纳假设，否则不合理。变式 1.用数学归纳法证明111111111234212122nnnnnL题型二、用数学归纳法证明不等式例 2.证明1111,()1231nNnnnL点评：用数学归纳法证明不等式，推导 n=k+1 也成立时，证明不等式的常用方法，如比 较法、分析法、综合法均要灵活运用，在证明的过程中，常常利用不等式的传递性对式 子放缩建立关系。同时在数学归纳法证明不等式里应特别注意从 n=k 到 n=k+1 过程中项 数的变化量，容易出错。变式 2.若不等式对一切正整数都成立，求正整1111 1233124a nnnnLn数的最大值，并证明你的结论。a题型三、用数学归纳法证明整除问题
8、例 3.用数学归纳法证明：能被 9 整除。(31) 71,()nnnN点评：用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子， 然后证明剩下的式子也能被某式（或数）整除，拼凑式关键。- 4 -变式 3.试证当为正整数时，能被 64 整除。n22( )389nf nn题型四、归纳猜想证明例 4.数列满足，求数列的通项公式。 na0na 11()2nn nSaa nS分析：如何进行猜想？（试值猜想） 学生练习用数学归纳法证明1234,S SS SnS小结：探索性问题的解决过程（试值猜想、归纳证明） 点评：对于探索性命题，特别是数列的问题，它通过观察归纳猜想证明 这一完整的思路过
9、程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一 种思维能力。变式 4.是否存在常数使等式, ,a b c对一切正整数成立？222222421 (1 )2 (2 )()nnnnnanbnc Ln并证明你的结论。( (三）三） 、小结、小结（ （师师生共同完成）生共同完成）1 数学归纳法是科学的证明方法；利用它可以证明一些关于正整数 n 的命题。2 数学归纳法证明命题的两个步骤。3 用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可。- 5 -4 证明 n=k+1 命题成立时，一定要利用假设。5 证明 n=k+1 命题成立时，首先要明确证明的目标。6 书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，归纳 假设要用到，结论写明莫忘掉”；从 n=k 到 n=k+1 时，变形方法有乘法公 式、因式分解、添拆项、配方等 （四）（四） 、作业安排：、作业安排：以上变式题的整理及第一方案 P183 知能提升练习（五）（五） 、课后反思：、课后反思：
