正方体的六组线面垂直关系

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1、正方体的六组线面垂直关系正方体的六组线面垂直关系胡寅年【专题名称专题名称】高中数学教与学高中数学教与学【专专 题题 号号】G312】G312【复印期号复印期号】2010】2010 年年 0707 期期【原文出处原文出处】中学数学：高中版中学数学：高中版(武汉武汉)2010)2010 年年 4 4 上期第上期第 58586060 页页【作者简介作者简介】胡寅年，福建省龙岩第一中学胡寅年，福建省龙岩第一中学(364000)(364000)。【关关 键键 词词】EEUUEEUU正方体是空间图形中特殊且内涵丰富的几何图形之一，在正方体中能反映空间基本的线线关系、线面关系、面面关系（尤其是平行垂直关系）

2、.通过对正方体的截割，可以得到多种多样的柱体、锥体、台体。可以说，正方体是研究空间线面位置关系的一个重要载体，也是展开空间想象的一个重要依托。那么，哪些是正方体丰富的线线、线面、面面平行垂直关系？哪些方面体现了正方体与其他几何体之间的内在关系？对此，历年全国高考试题都作了很好的诠释，它对于立体几何的复习也是一个很好的导向。本文介绍正方体六组线面垂直关系，并运用它们分析近几年的高考立体几何试题。一、图形数学通报2008 年第 10 期刊登的数学问题 1755，我们曾经研讨了正方体的基本截面图形，即由正方体的顶点或棱的中点共 20 个点可以确定平面 16 类，共 299 个。经进一步探究，我们得到

3、了以下六组在立体几何学习中十分常见的正方体线面垂直关系图形。二、应用立体几何是一门以探究空间线面平行垂直关系为中心的学科，空间线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化；角、距离、体积的计算等等，都与空间线面垂直关系息息相关，而上述正方体六组线面垂直关系的灵活运用，则往往能寻找到一些立体几何问题的自然、简洁、合理的有效途径。1.棱与表面互相垂直在正方体的六组线面垂直关系中，“棱与表面垂直”（图 1）是最简单的一组线面垂直关系，学生掌握起来特别容易。历年高考试题中，单一考查这一组线面垂直关系的情形很少。2.面对角线与对角面互相垂直在正方体的六组线面垂直关系中，“面对角线与对角面互相垂直”（图 2

4、）是简单的一组线面垂直关系，学生掌握起来比较容易。历年高考试题中，以这一组线面垂直关系为背景的立体几何题，对学生的空间想象能力要求较低。例 2 （2006 年上海）如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是。分析 本题以“正交线面对”为“背景”创设了一个陌生的情境，考查正方体线面垂直关系的直接运用。由图形 1、2，在一个正方体中，一个表面有四条棱与之垂直，正方体的六个表面构成了 24 个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，正方体的六个对角面构

5、成了 12 个“正交线面对”，所以共有 36 个“正交线面对”。例 3 （2009 年四川）如图 8(1)，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，ABE 是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，AEF=45。(1)求证：EF平面 BCE；(2)设线段 CD 的中点为 P，在直线 AE 上是否存在一点 M，使得 PM平面 BCE?若存在，请指出点 M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；(3)求二面角 F-BD-A 的大小。图 8分析 显然，题中图形由正方体截割而成，将它放入正方体 DR 之中（如图(2)），解法容易些。解 (1)由图形 2，AR平面 B

6、CE，又 FEAR，所以 EF平面 BCE(2)设 AR 与 BE 相交于点 N，由于 PMCN，且 CN平面 BCE，于是在直线 AE 上存在一点 M，使得 PM平面 BCE，此时 M 为AE 的中点。(3)过点 F 作 FO直线 AB 于 O，则 FOEA，由图 1，EA面 ABCD，所以 FO面 ABCD，作 OHBD 于 H，连结 FH，所以 FHBD，所以FHO 为二面角 F-BD-A 的平面角。明显地，本题通过补成正方体，直接运用正方体基本的线面垂直关系去分析，取得了很好的效果。3.体对角线与正三角形平面互相垂直在正方体的六组线面垂直关系中，“体对角线与正三角形平面互相垂直”（图

7、3）是基本的一组线面垂直关系，学生掌握起来并不困难。历年高考试题中，以这一组线面垂直关系为背景的立体几何题，对学生的空间想象能力要求不高。例 4 （2009 年福建）如下页图 9，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MD平面 ABCD，NB平面 ABCD，且 MD=NB=1，E 为BC 的中点。(1)求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值；(2)在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES平面 AMN?若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由。图 9图 10分析 不难看出，题目中的几何体由正方体截割而成，将它放入正方体 AR 之中（如图 10），解法简单些。解 (1)略。(2)

8、设 AN 与 BP 相交于点 S，由图形 3，PC平面 AMN，又 SEPC，所以 ES 上平面 AMN，(1)求异面直线 BF 与 DE 所成角的大小；(2)证明：平面 AMD平面 CDE；(3)求二面角 A-CD-E 的余弦值。分析 不难看出，题中的五面体由正方体截割而成，将它放入正方体 HQ 之中（如图 14），思路简单多了。解 (1)显然，BFHP，PDH 为等边三角形，于是异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60。图 14(2)设 K、N 分别为正方体棱的中点，由图形 2，HP平面 AMD，又 HP平面 CDE，因此平面 AMD平面 CDE。（未完待续）NU1DA20100909