迅猛龙的野外追猎分析

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1、迅迅 猛猛 龙龙 的的 野野 外外 追追 猎猎 分分 析析小组成员小组成员: :刘榕婵刘榕婵 王晨曦王晨曦 郑艺鹏郑艺鹏迅猛龙的野外追猎分析迅猛龙的野外追猎分析摘要摘要：这篇论文试着分析迅猛龙的追捕策略和奇异龙的逃脱策略，从数学的角度研究，提出了迅猛龙的单独猎食模型和成对猎食模型，但重点分析了迅猛龙的单独猎食模型。在迅猛龙的单独猎食模型上，首先，建立基础物理运动学的运动方程式，然后以传统的微分方程为理论基础,利用高阶微分模型讨论分析迅猛龙是否能追捕到奇异龙，建立迅猛龙和奇异龙的运动轨迹模型，利用 Matlab画出迅猛龙和奇异龙的运动轨迹图形，接着利用解析方法求解分析迅猛龙的追捕策略和奇异龙的逃

2、脱策略。最后针对所提出来的模型的优缺点进行评价。关键词关键词：运动学理论，高阶微分；运动轨迹；一一问题的提出问题的提出迅猛龙是一种食肉恐龙，它专门捕食一种称为奇异龙的食草恐龙。由于食物充沛，没有形成大群的必要，所以这时它们会单独行动，到了猎物渐渐稀少，它们往往会成对出现进行野外追猎以便捕食猎物。问题一：假设迅猛龙是一只独居的猎食其他动物的恐龙，建立数学模型来描述迅猛龙的捕食策略和奇异龙的脱逃迅猛龙的捕食策略。问题二：假定在问题一的假设和限制的条件下，描述成对迅猛龙迅猛潜近并追逐一只奇异龙的策略，以及这只奇异龙应该如何逃避迅猛龙的捕食策略。二二分析与假设分析与假设成年的迅猛龙平均身长 3 米，髋

3、高 0.5 米，体重约 45 千克，这种恐龙跑得非常快，60 公里/小时的速度可持续 15 秒。在突然加速之后要停下来，在肌肉中积累乳酸以恢复体力。假定迅猛龙捕食一种与它差不多大小的，称为奇异龙的两足食草动物。 从奇异龙化石的生物力学分析可知，它能以 50 公里/小时的速度长时间奔跑.而且，假定当迅猛龙潜近到奇异龙的 15 米以内时，后者总能觉察到，而且根据栖息地和气候的不同甚至在更大的范围(远达 50 米)都能觉察到捕食者的存在。此外，迅猛龙在全速奔跑时的转弯半径受到它的身体结构和体能的限制，估计转弯半径时其髋高的 3 倍。另一方面，奇异龙却是及其灵活的，其转弯半径只有 0.5 米.由此，我

4、们做出如下假设：1. 迅猛龙追捕奇异龙的地理环境是空旷，光滑且没有任何障碍物；2. 因为体形大小相近且与讨论的问题无关，所以将这两种恐龙均考虑成质点；3. 迅猛龙和奇异龙用于加速的时间忽略不计；4. 这两种恐龙在追捕与逃跑过程中总是保持全速运动；5. 如果奇异龙在 15 秒内未被捕获，那么将视为脱逃成功；6. 其中反应时间定义为迅猛龙的开始追捕与奇异龙的开始逃跑的间隔时间； 7. 一旦奇异龙察觉到迅猛龙，它将开始逃跑，同时迅猛龙也开始展开追捕。三三模型的建立模型的建立 迅猛龙单独猎食物模型 模型（一）：模型（一）： 模型假设模型假设： 迅猛龙在追捕奇异龙的过程中始终朝向奇异龙，而且二者均做直线

5、运动。假定迅猛龙在时刻内没捕获到奇异龙将停下来不再追捕了。但是，迅猛龙在0t经过 15s 后只是跑动但是在追到奇异龙的情况下还是有力气进行美餐的。 符号说明：符号说明：迅猛龙所跑的路程（即）1S11( )SS t：奇异龙所跑的路程（即2S22( )SS t：迅猛龙的追捕奇异龙的速度（60km/h50/3 m/s）1v：奇异龙逃避迅猛龙追捕的速度（50km/h125/9 m/s）2v：迅猛龙与奇异龙之间的距离（即奇异龙察觉到迅猛龙的潜伏时开始逃跑前d的距离，其中迅猛龙尽可能的潜伏接近奇异 龙） ：迅猛龙追捕奇异龙的时间t模型方程的建立：模型方程的建立：根据分析与各符号的说明，结合假设，可以建立如

6、下方程组：12(t)(t)SSd11(t)tSv22( )S tvtd15 50，由以上方程组，可求得： 27/5,18t模型分析：模型分析：因为迅猛龙跑的非常快，60 公里/小时的速度可持续 15 秒。在突然加速之后要停下来，在肌肉中积累乳酸以恢复体力。当， ，015tt0125/3d 故，当，在假定的条件下，迅猛龙能捕获奇异龙；当15,125/3d ，在假定的条件下，奇异龙能幸运逃脱迅猛龙的追捕；125/3,50d 因此可得： 迅猛龙的策略：要潜伏在与奇异龙得的距离为不超过 125/3m，方可捕获奇异龙；奇异龙的策略：奇异龙要保持敏锐的警惕性，要在发现迅猛龙距离自己 125/3m 之外就要

7、开始逃跑，这样就能逃过迅猛龙的追捕。 模型（二）：模型（二）： 模型的假设模型的假设 1迅猛龙在追击过程中始终朝向奇异龙；2迅猛龙在追捕奇异龙的轨迹可看作是一条光滑的曲线，即将动点的( , )P x y轨迹看作是一条曲线，该曲线方程式表示为。( )yf x3在时，奇异龙的位置作为直角坐标原点，朝向迅猛龙的方向作为 X 轴的0t 正方向，显然有奇异龙位置的横坐标为。10x 对迅猛龙来说，当，即。0y |0xdy在 t=0 时，表示刚开始追捕，迅猛龙的奔跑方向朝向奇异龙，此时即为X 轴的负方向，则有。|0xdy符号说明：符号说明： ：迅猛龙追捕奇异龙的速度（60km/h50/3 m/s）1v：奇异

8、龙逃避迅猛龙的速度（50km/h125/9 m/s）2v： 迅猛龙追捕奇异龙的时间（t=0 时，表示迅猛龙开始追捕奇异龙的时刻）t：在时刻 ，迅猛龙所跑过的路程（单位：m） 1St：在时刻 ，奇异龙所跑过的路程（单位：m）2St：表示在时刻 ，迅猛龙的坐标( , )P x yt：表示在时刻 ，奇异龙的坐标( , )Q x yt：表示为迅猛龙和奇异龙之间的间距d建立模型：建立模型：追捕方向的讨论：由于迅猛龙始终朝向奇异龙，则迅猛龙所在位置为点( , )P x y过迅猛龙轨迹处的切线在 y 轴上的截距为，设切线上的动点坐标为，1y(, )M X Y则切线方程为。（1）()YyyXx在（1）中，令，

9、则截距为。由此，可以建立方程组得：0X YyyxYyyx12yvt1Yy21Sy121.2SS即：2 221 ()1.2dy d ydx dxx 可降阶二次微分方程。初始条件为 |0,|0xdxdyy即可求得: 迅猛龙的运动轨迹方程为：1151 666 5 63331111yxd xd d 1151 666 5 63331111yxd xd d 因为迅猛龙奔跑 15 秒以后就会停止追捕，所以在 15 秒内奇异龙没有被追捕到就可以成功逃脱。所以 P 点坐标的 y1 要大于等于奇异龙在 15 秒内奔跑的路程，其中奇异龙经过 15 秒后经过的路程为=*15=625/3（就是奇异龙跑的maxy2vma

10、xy最大距离） 。同时奇异龙是否被抓的另一个重要因素还有开始跑之前两者间的距离 d,当 d=50 时两者追击图如下：-1001020304050050100150200250图 1在图形的运行过程中，奇异龙有被追上的迹象，因此将换小点，当maxy=138 时，其运动的轨迹图像如下：maxy-1001020304050020406080100120140图 2当=138 的时候迅猛龙已经追上奇异龙。因此其模型产生一定的误差，在两maxy者间的距离 d 为最大时，P 点也会到 y 轴。当 P 到达 y 轴时迅猛龙奔跑的路线 是一条直线，而模型二是将迅猛龙的奔跑轨迹视为光滑的曲线，所以这个模型 得出

11、的结论是不科学的。因此迅猛龙的奔跑轨迹应该先是曲线然后是直线。其奔跑的轨迹为( )yf x改进后的模型三：改进后的模型三： ：迅猛龙追捕奇异龙的速度（60km/h50/3 m/s）1v：奇异龙逃避迅猛龙的速度（50km/h125/9 m/s）2v： 迅猛龙追捕奇异龙的时间（t=0 时，表示迅猛龙开始追捕奇异龙的时刻）t：在时刻 ，迅猛龙所跑过的路程（单位：m） 1St：在时刻 ，奇异龙所跑过的路程（单位：m）2St：表示在时刻 ，迅猛龙的坐标( , )P x yt：表示在时刻 ，奇异龙的坐标( , )Q x yt：表示为迅猛龙和奇异龙之间的间距d：x=0 时 P 点的纵坐标的值2y追捕方向的讨

12、论：由于迅猛龙始终朝向奇异龙。情况一 当迅猛龙的奔跑轨迹是曲线，即时，则迅猛龙所在位置为02yy点过迅猛龙轨迹处的切线在 y 轴上的截距为，设切线上的动点坐标( , )P x y1y为，则切线方程为。（1）(, )M X Y()YyyXx在（1）中，令，则截距为。由此，可以建立方程组得：0X YyyxYyyx12yvt1Yy21Sy121.2SS即：2 221 ()1.2dy d ydx dxx 初始条件为 |0,|0xdxdyy即可求得: 1151 666 5 63331111yxd xd d 当 x=0 时带入方程 求得： 1151 666 5 63331111yxd xd d 23()1

13、1yd迅猛龙的运动轨迹方程为： 1151 666 5 63331111yxd xd d 情况二 迅猛龙的运动轨迹是直线即，则迅猛龙的运动轨迹方程max2yyy为：21yyvt则其迅猛龙的运动轨迹的方程应该是两个方程式的组合：1151 666 5 63331111yxd xd d 20yy21yyvt2maxyyy05101520253035404550050100150200250图 3在这种情况下，迅猛龙是一定能捕获奇异龙。迅猛龙成对猎食物模型：迅猛龙成对猎食物模型：考虑两个迅猛龙追捕一个奇异龙的情况，我们忽略反 应时间，并假设两条迅猛龙为和,总是同时1Velo2Velo发起进攻的，在奇异龙

14、出现在它们两个之间的时候。假设奇异龙直线逃跑，并在，改变自己1,20min（d d）d的方向。令为奇异龙的方向和两条迅猛龙之间重锤线之间的夹角，如图 2.5.4 所示：为了得到最有的角度，令奇异龙和两条迅猛龙之间的初始距离为 50m。利用欧拉的多边弧方法，我们估算出了迅猛龙俘获奇异龙的时间。如表 2.5.2因此对于奇异龙来说最优的角度为。00如果，奇异龙将会在内被捕。假设，1,20min（d d）d012/dl vv1,20min （d d ）=d然而，如果,则，奇异龙将会被捕到。012/dl vv015t015t 012/dl vv在这里为从开始追捕到的时间。0t1,20min （d d ）

15、=d因此我们估算出的有效时间，计算结果如表 2.5.30t通过表可以知道，即使奇异龙非常容易改变它的方向，但是还是不能逃跑。因此在一对迅猛龙追捕的情况下，即使，奇异龙在 50m 以内就发现了迅猛龙，它也是没有机会逃脱的。模型的优点和缺点：模型的优点和缺点：我们这个模型的最大的优点在于它的灵活性。不仅仅可以用于研究狮子，老虎，等类似的捕食动物的行为，还可以用于研究类似的实际问题，例如，碰触躲避问题。另外一个比较大的优点在于，我们比较完整的讨论了单个追捕的情况，得出的结果比较准确。这个模型也是非常实用的，因为他们并不是很复杂。实际上，在模型一的推断过程中，也是非常容易理解的，没有什么非常深奥的知识。不好的是，我们的模型也有一些缺点。由于缺乏一些实际的资料，我们的模型更多的建立在假设的基础上。并且，由于问题二的复杂性，我们仅仅只对它做了一些定性的分析。参考文献：参考文献：1 王沫然 MATLAB 6.0 与科学计算 北京 电子工业出版社 2001 年 9 月2 钱颂迪 运筹学 北京 清华大学出版社 1990 年 1月3 姜启源 数学模型 北京 高等教育出版社 1993 年 8月4 王能超 计算机方法简明教程 北京 高等教育出版社 2004 年1 月附录：附录： 模型二 function sim_l