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1、向量知识点一招掀向量知识点一招掀 考纲解读：考纲解读：平面向量的概念，平面向量的加法、减法及数乘运算，平面向量的 坐标表示为 B 级要求，即能会简单的运算，平面向量的数量积为 C 级要求即要 熟练运用，其实向量的数量积也可能会牵涉到向量加减数乘运算和坐标表示。 所以在学习向量时，向量概念，运算是重点，运算是难点，如何算，下面介绍 几招解决向量问题的有效办法。 知识体系知识体系:常用的公式定理有：常用的公式定理有：平面向量基本定理平面向量基本定理: :如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平12,e eu r u u r面内任一向量,有且只有一对实数,使，称为ar12, 1 122aee
2、ru ru u r1 122eeu ru u r的线性组合。12,e eu r u u r其中叫做表示这一平面内所有向量的基底;12,e eu r u u r平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和,12,e eu r u u r并且这种分解是唯一的.这说明如果且,那么.1 122aeeru ru u r 1 122aeeru ru u r1122当基底是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平12,e eu r u u r面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 常用的公式有：常用的公式有： 两个向量平行的充要条件两个向量平行的充要条件符号语言：)0
3、(/ bbaba坐标语言为：设非零向量,则(x1,y1)=(x2,y2)，1122,abx yxyrra b 即,或 x1y2-x2y1=0, 在这里,实数 是唯一存在的,当与同向时,1212xxyy a b0；当与异向时,0。|=, 的大小由及的大小确定。因此,当a b|b|a| a b,确定时， 的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中 的几何意义。a b两个向量垂直的充要条件两个向量垂直的充要条件符号语言： ba0 ba坐标语言：设非零向量，则1122,abx yxyrr ba02121yyxx两个向量数量积的重要性质： 即 (求线段的长度);22 | aa2 | aa(垂直的判断);
4、ba0 ba (求角度)。cosa bab r rrr招式一：考察向量概念和运算时，定义，定理，三角形法则等要会熟练运用。招式一：考察向量概念和运算时，定义，定理，三角形法则等要会熟练运用。 向量的线性表示是综合线性运算和平面向量的基本定理合成的，这里包含向量 的加减法，同学们要会利用三角形法则和平行四边形法则去解题。其中向量的 加减数乘等运算都是很容易上手的，但是同学们在解题时会遗忘最基本的向量 的基本定理，拿到题目不会去下手，主要是忽略的这个重要的定理。招式二：向量的运算更加依赖于给出条件，挖掘条件结论自然就出来了。招式二：向量的运算更加依赖于给出条件，挖掘条件结论自然就出来了。在填空题里
5、，要求算出几个向量的数量积往往用定义算不出来时，在这个时候我们就要把所要求的向量分解成已知条件中的那些向量利用已知条件的向量长度和夹角关系求出结论。招式三：利用解析法，把平面几何问题转化为代数问题。招式三：利用解析法，把平面几何问题转化为代数问题。在遇到规则图形时，可以建立直角坐标系，把向量转化成坐标形式，利用向量坐标的加减数量积解决可能会降低题目的难度，但同时增加了运算量，要求同学们用此法时要注意运算。招式四：利用数形结合，把代数问题利用图形去解决。招式四：利用数形结合，把代数问题利用图形去解决。有些填空题利用了图形的性质罗列出代数关系式，但学生处理时没有想到式子本质就是某个图形的性质，这样
6、就增加了题目的难度。平面向量的概念平面向量的概念考纲解读：对于向量的概念考纲解读：对于向量的概念 B 级要求，其中对于平面向量的基本定理是考察的级要求，其中对于平面向量的基本定理是考察的难点难点例 1：已知 a，b 是不共线的向量，ab，ab (，R)那ABuuu rACuuu r么 A，B，C 三点共线的充要条件为 答案： 1命题立意：三点共线就是对应向量共线，对应成比例关系。ABuuu rACuuu r点评：点评：这三道题目均运用了招式一。考察了平面向量的基本定理。例 2：已知ABC和点 M 满足0MA MB MC +.若存在实数 m 使得AB ACAMm 成立，则 m= 答案：3点评：由
7、条件可得，M 为三角形的重心，所以 m=3。例3：如下图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AMABm，ANACn，则nm的值为。 答案：2点评：本题考查了一个非常重要的结论，；, ,1AOABAC O B Cuuu ruuu ruuu r三点共线则，因为 M,O,N 三点共线所以 m+n=2。1()222mnAOABACAMANuuu ruuu ruuu ruuuu ruuu r高考链接：1：（2008 广东）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE，是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F若 AC uuu ra，BD uuu rb，
8、则AF uuu r答案 21 33ab2：（2009 安徽卷文）在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，或=+，其中，R ，则+= _.0.w.w.k. 答案 4/3解析 设BCbuuu rr、BAauu u rr则1 2AFbauuu rrr,1 2AEbauuu rrr, ACbauuu rrr代入条件得24 33uu点评：本题考查了平面向量的基本定理，用一组基底向量去表示未知向量并且线性系数是唯一确定的。3 如图 2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 ADxAByACuuu ruuu ruuu r ，则 x ，y . 图 2解析：（法一） 作DFA
9、B,设12ABACBCDE ，60DEBoQ,6,2BD由45DBFo解得623,222DFBF故31,2x 3.2y （法二）本题还可以采用招数三，建立坐标系解决。以 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴，不妨设 AB=AC=1， E 为 BC 中点，则 D 可以求出坐标。答案 31,2x 3.2y 平面向量的运算及坐标表示平面向量的运算及坐标表示考纲解读：平面向量的运算时向量考察的重点，数量积则是重中之重。例 1 已知平面内不共线的四点 0，A，B，C 满足12OBOAOC33uuu ruuu ruuu r，则|AB|:|BC|uuu ruuu r答案 2：1命题立意：本题主要考查向
10、量减法运算，善于对已有的式子加以变形。自主探究：已知平面上三点 A、B、C 满足的值等于 ABCACABCBCABCABCAB则, 5| , 4| , 3|答案：25点评：本题采用招数四，此三角形为直角三角形()()121acbcacbccab rrrrrrrrr rr为长度为的向量例 2（肥城市第二次联考）自圆 x2+y22x4y+4=0 外一点 P（0，4）向圆引两条切线，切点分别为 A、B，则PA PBuu u ruu u r等于 解析：设PAuu u r、PBuu u r的夹角为2，则切线长222| |04442PAPBuu u ruu u r，结合圆的对称性，2 5cos5，3cos
11、25，所以PA PBuu u ruu u r=12 5。点评：本题考查了向量数量积原始公式，运用了招数一。cosa ba brrr r自主探究 1：已知向量(1,1),(2, ),xab若a+b与4b2a平行，则实数x的值是 解法 1 因为(1,1),(2, )abx，所以(3,1),42(6,42),abxbax由于ab与42ba平行，得6(1)3(42)0xx，解得2x 。解法 2 因为ab与42ba平行，则存在常数，使(42 )abba，即(21)(41)ab，根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故2x 自主探究 2：设向量 (2，1)，(，1) (R)，若 、的夹角为arbr arb
12、r钝角，则 的取值范围是 答案：(, 2)(2, )21点评：本题考察了向量的坐标运算，若 、的夹角为钝角且不共线。arbr 0a br r则自主探究 3：（2009 闵行三中模拟）已知2a，2b，a与b的夹角为o45，要使ba与a垂直，则= 。点评：本题考查了两向量相互垂直的充要条件是两向量的数量积等于零。答案 2自主探究 4： ABCBCABABC则已知向量中),27cos2 ,63cos2(),72cos,18(cos,的面积等于 解析：而，2cos18 cos632cos72 cos272cosAB BCABBCoooouuu r uuu ruuu ruuu rABuuu r均为 1
13、所以两向量夹角为。BCuuu r135o答案：22自主探究 5（池州市七校元旦调研）设a、b、c是单位向量，且ab0，则 acbc的最小值为 解析：，() ()1() 1acbca cb cc ab rrrrrrrrr rr2abrr为长度为的向量所以当 与同向共线时有最小值crabrr答案：12自主探究 6:如图,正方形 ABCD 边长为 2,内切圆为,O 点 P 是上任意一点O(1) 求的值；PAPBPCPDuu u ruuu ruuu ruuu r(2) 求证: ()()PAPBPCPDuu u ruuu ruuu ruuu r(1)解:设正方形内切圆半径为 r，则 r=1 PAPBPC
14、PDOAOPOBOPOCOPODOPuu u ruu u ruuu ruuu ruu u ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r=，4OAOBOCODOPuu u ruuu ruuu ruuu ruuu r又,OAOBOCODO OPruu u ruuu ruuu ruuu ru r uuu r44PAPBPCPDruu u ruu u ruuu ruuu r(2)证明建立如图的直角坐标系， 1,1 ,1,1 ,1, 1 ,1, 1 ,ABCD 22,1P x yxy且 , 1,1,1,1PAxyPBxy uu u ruu u r,1, 1,1, 1PCxyPDxy uuu ruuu ryxPODCBAPODCBA,2 ,22,2 , 22PAPBxyPCPDxy uu u ruu u ruuu ruuu r224440PAPBPCPDxyuu u ruu u ruuu ruuu rg()()PAPBPCPDuu u ruu u ruuu ruuu r点评：本题第一问考察的向量的运算，第二问利用招数三课迎刃而
