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1、2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按 照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请 参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试第一试一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 42 分，每小题分，每小题 7 分）分）1. 设，则 （ ）71a 32312612aaaA.24. B. 25. C. . D. .4 7104 712【答】A.由，得，故.所以71a 282 762
2、aa226aa.32223126123 (2 )6612aaaa aaaa2612126 6 1224aa 2在ABC 中，最大角A 是最小角C 的两倍，且 AB7，AC8，则 BC （ ）A. B. . C. . D. .7 2101057 3【答】C.延长 CA 至 D，使 ADAB，则，所以1D =ABD =CAB =C2CBDDAB，所以，故，BDCD=ABBD2BDAB CD7 (87)105所以.又因为，所以.BD105CD 105BCBD3用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为 （ ） xx22 30xxA.1. B. 2. C. 3. D. 4. 【答】C.由方程得，而，所
3、以，即，解得，从而只232 xx xx232xx2230xx13x x可能取值.1,0,1,2,3当时，解得； 1x 21x 1x 当时，没有符合条件的解； 0x 23x 当时，没有符合条件的解； 1x 25x 当时，解得； 2x 27x 7x 2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 1 页（共 8 页）DBAC当时，解得. 3x 29x 3x 因此，原方程共有 3 个解. 4设正方形 ABCD 的中心为点 O，在以五个点 A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出 两个，它们的面积相等的概率为 （ ）A. B. . C. . D. .3 143 71 24 7
4、 【答】B. 不妨设正方形的面积为 1.容易知道，以五个点 A、B、C、D、O 为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角 形，它们可以分为两类： （1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形 ABCD 的四个顶点之一，这样的三角形有 4 个，它们的面积都为；1 2（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形 ABCD 的中心 O，这样的三角形也有 4 个，它们的面积都为.1 4 所以以五个点 A、B、C、D、O 为顶点可以构成 448 个三角形，从中任意取出两个，共有 28 种取法. 要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有 12 种.因此，所求的概率为.123
5、2875如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC2，以 BC 为直径在矩形内作半圆，自点 A 作半圆的切线 AE，则CBE （ ）sinA. B. . C. . D. .6 32 31 310 10【答】 D. 设 BC 的中点为 O，连接 OE、CE. 因为 ABBC，AEOE，所以 A、B、O、E 四点共圆，故BAECOE. 又 ABAE，OC=OE，所以ABEOCE，因此，即.CEOC1=BEAB3BE3CE又 CEBE，所以，故CBE.22BC =BE +CE =10CEsinCE10=BC106设是大于 1909 的正整数，使得为完全平方数的的个数是 （ ）n1909 2009n n
6、 nA.3. B. 4. C. 5. D. 6. 【答】B.设，则，它为完全平方数，不妨设为（其中为2009na190910010012009na naa21001ma m正整数） ，则.21001ma验证易知，只有当时，上式才可能成立.对应的值分别为 50，20，10，2.1,2,3,7m a因此，使得为完全平方数的共有 4 个，分别为 1959，1989，1999，2007.1909 2009n n n2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 2 页（共 8 页）ODABCE二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 28 分，每小题分，每小题 7 分）分）1已知 是实数，
7、若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则t, a bx2210xxt 的最小值是_.22(1)(1)ab【答答】.3因为是关于的一元二次方程的两个非负实根，所以, a bx2210xxt 解得.2( 2)4(1)0,10,2,tabtab 12t ，2222222(1)(1)()() 1()()21abababababab 22(1)42(1) 14ttt 当时，取得最小值.1t 22(1)(1)ab32 设 D 是ABC 的边 AB 上的一点，作 DE/BC 交 AC 于点 E，作 DF/AC 交 BC 于点 F，已知 ADE、DBF 的面积分别为和，则四边形 DECF 的面积为_.mn【答
8、答】 .2 mn设ABC 的面积为,则因为ADEABC，所以.SADESAD ABS又因为BDFBAC，所以.BDFSBD ABS两式相加得，即，解得.1ADEBDFSSADBD SSABAB1mn SS2()Smn所以四边形 DECF 的面积为.2()2mnmnmn3如果实数满足条件，则_., a b221ab22|1 2| 21ababa ab【答答】 .1因为，所以.由可得221ab11, 11ab 22|1 2| 21ababa ，从而，解得.2222|1 2|21121abbaaaaa 222aa 2220aa10a 从而，因此，即，整理得，1 20ab21 222abaa 2212
9、2(1)bab 2230bb解得（另一根舍去）.1b 3 2b 把代入计算可得，所以.1b 212ba 0a 1ab 2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 3 页（共 8 页）FEBCAD4已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_对., a b15152()ab( , )a b【答答】 7. 设（为正整数） ，则，故为有理数.1515 2k abk2151515 4kkbaa15 a令，其中均为正整数且.从而，所以，故，所以.2215q ap, p q( , )1p q 2215aqp2|15q1q 151 ap同理可得（其中为正整数） ，则.151 bmm11
10、 2k pm又，所以，所以.1,1mp1122k pm1,2,3,4k （1）时，有，即，易求得或（3,6）或（6,3）.1k 111 2pm(2)(2)4pm( ,)(4,4)p m （2）时，同理可求得.2k ( ,)(2,2)p m （3）时，同理可求得或（1,2）.3k ( ,)(2,1)p m （4）时，同理可求得.4k ( ,)(1,1)p m 因此，这样的有序数对共有 7 对，分别为（240,240） ， （135,540） ， （540,135） ， （60,60） ， （60,15） ，( , )a b（15,60） ， （15,15）.第二试第二试 （A）一一 （本题满分（
11、本题满分 20 分）分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为 A、B，与轴的2(0)yxbxccxy交点为 C.设ABC 的外接圆的圆心为点 P. （1）证明：P 与轴的另一个交点为定点.y（2）如果 AB 恰好为P 的直径且，求和的值.2ABCSbc解解 （1）易求得点的坐标为，设，则，.C(0, )c1A( ,0)x2B(,0)x12xxb 12x xc设P 与轴的另一个交点为 D，由于 AB、CD 是P 的两条相交弦，它们的交点为点 O，所以yOAOBOCOD，则.121x xcOA OBODOCcc因为，所以点在轴的负半轴上，从而点 D 在轴的正半轴上，所以点 D 为定点，它的坐标为0c
12、 Cyy(0,1). 10 分2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 4 页（共 8 页）（2）因为 ABCD，如果 AB 恰好为P 的直径，则 C、D 关于点 O 对称，所以点的坐标为，C(0, 1)即. 15 分1c 又，所以222 121212()4()44ABxxxxx xbcb，2114 1222ABCSAB OCb 解得. 20 分2 3b 二二 （本题满分（本题满分 25 分）分）设 CD 是直角三角形 ABC 的斜边 AD 上的高，、分别是ADC、BDC 的内心，1I2IAC3，BC4，求.1I2I解解 作EAB 于 E，FAB 于 F.1I2I在直角三角形 ABC 中，AC3，BC4，.22AB =AC +BC5又 CDAB，由射影定理可得，故，2AC9AD =AB516BD = AB AD5. 5 分2212CD =ACAD5因为E 为直角三角形 ACD 的内切圆的半径，所以.1I1I E13(AD CD AC)2510 分连接 D、D，则 D、D分别是ADC 和BDC 的平分线，所以DCDADC1I2I1I2I1I1I2IDB45，故D90，所以DD，2I1I2I1I2I. 15 分1 1 13 I E3 25DIsinADIsin455同理，可求得，.
