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1、x=11O534216y3x+5y-30=0x-3y+4=0x2x-y=054230:2CAll6lB1例例 1、求与直线 3x+4y+12=0 平行，且与坐标轴构成的三角形面积是 24 的直线 l 的方程。 分析分析：满足两个条件才能确定一条直线。一般地，求直线方程有两个解法，即用其中一个条件列出含待定系数的 方程，再用另一个条件求出此参数。 解法一解法一：先用“平行”这个条件设出 l 的方程为 3x+4y+m=0再用“面积”条件去求 m，直线 l 交 x 轴于，交 y 轴于由，得，代入得所求直线的方程为：) 0 ,3(mA )4, 0(mB244321mm24m02443 yx解法二解法二
2、：先用面积这个条件列出 l 的方程，设 l 在 x 轴上截距离 a，在 y 轴上截距 b，则有，因为 l 的2421ab倾角为钝角，所以 a、b 同号，|ab|=ab，l 的截距式为，即 48x+a2y-48a=0又该直线与 3x+4y+2=0 平行，148ay ax，代入得所求直线 l 的方程为248 43482aa8a02443 yx说明说明：与直线 Ax+By+C=0 平行的直线可写成 Ax+By+C1=0 的形式；与 Ax+By+C=0 垂直的直线的方程可表示为 Bx-Ay+C2=0 的形式。例例 2、若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点，其中 A(-2, 3)，B(3,2)
3、，求实数 m 的取值范围。 解解：直线 mx+y+2=0 过一定点 C(0, -2)，直线 mx+y+2=0 实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段 AB 有交点，则直线只能落在ABC 的内部，设 BC、CA 这两条直线的斜率分别为 k1、k2，则由斜率的定义可知，直 线 mx+y+2=0 的斜率 k 应满足 kk1或 kk2， A(-2, 3) B(3, 2) 2534 21kk-m或-m 即 m或 m34 253425说明说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这 里要清楚直线 mx+y+2=0 的斜率-m 应为倾角的正切，而当倾角 在(0,90)或(90,1
4、80)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在ACB 内部变化时，k 应大于或等于 kBC，或者 k 小于或等于 kAC，当 A、B 两点的坐标变化时，也要能求出 m 的范围。例例 3 3、已知 x、y 满足约束条件x1，x-3y-4，3x+5y30， 求目标函数 z=2x-y 的最大值和最小值.解：解：根据 x、y 满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分（包括边界）. 作直线：2x-y=0，再作一组平行于的直线：2x-y=t，tR R.0l0ll可知，当在的右下方时，直线上的点（x，y）满足 2x-y0，即 t0，而且直线往右平移时，t 随之增大.当l0lll直线平移至的位置时，
5、直线经过可行域上的点 B，此时所对应的 t 最大；当在的左上方时，直线上的点l1ll0ll（x，y）满足 2x-y0，即 t0，而且直线往左平移时，t 随之减小.当直线平移至的位置时，直线经过可行域ll2loxyA BC(0,-2)上的点 C，此时所对应的 t 最小. x-3y+4=0，由 解得点 B 的坐标为（5，3） ；3x+5y-30=0，x=1，由 解得点 C 的坐标为（1，）.5273x+5y-30=0，所以，=25-3=7；=21-=.最大值z最小值z527 517例例 4、已知椭圆，能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 M，使它到左准线的距离为它到两13422 yx焦点
6、F1、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。解：解：假设存在满足条件的点，设 M（x1，y1）a2=4，b2=3，a=2，c=1，3b21e，点 M 到椭圆左准线的距离2 12 122 1121414)(|xxeaexaexaMFMF，或4121xcaxd2 12 121)4(414 ,xxdrr04832512 1xx41x，这与 x1-2，0)相矛盾，满足条件的点 M 不存在。512 1x例例 5、已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距为 4，离心率为，y32（）求椭圆方程； （）设椭圆在 y 轴正半轴上的焦点为 M，又点 A 和点 B 在椭圆上，且 M 分有
7、向线段所成的比为 2，求线段AB AB 所在直线的方程。解解：（）设椭圆方程为 由 2c=4 得 c=2 又 12222 bx ay 32ac故 a=3， 所求的椭圆方程为5222cab22 195yx（）若 k 不存在，则，若 k 存在，则设直线 AB 的方程为：y=kx+2 2 MBAM又设 A ),()(221, 1yxByx由 得 195222yxkxy 02520)59(22kxxk 12220 95kxxKL12225 95xxKL点 M 坐标为 M（0，2） )2,()2 ,(2211yxMByxAM由得2 MBAMMBAM2)2,(2)2 ,(2211yxyx代入、得 212x
8、x2220 95kxk2 2225295xkL由、 得 2 2202()95k k225 95k21 3k 3 3k 线段 AB 所在直线的方程为：。233xy说明说明：有向线段所成的比，线段的定比分点等概念，本身就是解析几何研究的一类重要问题。向量概念的引入，yxOABP使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点公式，也可以直接用有向线段的比解题。 另外，向量的长度，点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系，向量与解析几何的结合，为解决这些问题开 辟了新的解题途径。例例 6、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是（1）求双曲线的12222 by ax 332e), 0()
9、,0 ,(bBaA.23方程；（2）已知直线交双曲线于不同的点 C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心的圆上，求 k 的值.)0(5kkxy解解：（1）原点到直线 AB：的距离.,332ac1by ax.3, 1.2322abcab baabd故所求双曲线方程为 .1322 yx（2）把中消去 y，整理得 .33522yxkxy代入07830)31 (22kxxk设的中点是，则CDyxDyxC),(),(2211),(00yxE.11,31553115 200200221 0kxykkkxykkxxxBE, 000kkyx即7,0,0315 31152 22kkkkk kk又故所求 k=.7说
10、明：说明：为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.kk例例 7、过点作直线 与椭圆 3x2+4y2=12 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，求OAB 面积的最大值)0 , 3(Pl 及此时直线倾斜角的正切值。分析：分析：若直接用点斜式设 的方程为，则l)3(0xky要求 的斜率一定要存在，但在这里 的斜率有可能不存在，因ll 此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线的方程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了，l3 myx 从而简化了运算。解：解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， ：l3 myx)(3|)|(|3|21|21212121yyyyyOPyO
11、PSAOB把代入椭圆方程得：，即3 myx0124) 332( 3222ymyym，0336)43(22myym4336221mmyy433221myy48144431 4312 )43(108|2 2222221xmmmmyy3) 13(1334 431334 43394222222mm mm mm23234133133422mmm，此时 3223S 13313 22 mm36mxoyCTMBA令直线的倾角为，则26 63tg即OAB 面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。326练习1、已知 P 是以、为焦点的椭圆上一点，若 ，则椭1F2F)0( 12222 baby ax021PFPF
12、21tan21FPF圆的离心率为 （ ） （A） （B） （C） （D） 21 32 31 352、已知ABC 的顶点 A(3, -1)，AB 边上的中线所在直线的方程为 6x+10y-59=0，B 的平分线所在直线的方程为： x-4y+10=0，求边 BC 所在直线的方程。 3、求直线 l2：7x-y+4=0 到 l1：x+y-2=0 的角平分线的方程。 4 4、已知三种食物 P、Q、R 的维生素含量与成本如下表所示.现在将 xkg 的食物 P 和 ykg 的食物 Q 及 zkg 的食物 R 混合，制成 100kg 的混合物.如果这 100kg 的混合物中至少 含维生素 A44 000 单位
13、与维生素 B48 000 单位，那么 x，y，z 为何值时，混合物的成本最小？5 5、某人有楼房一幢，室内面积共 180，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为 18，可住游客2m2m5 名，每名游客每天住宿费为 40 元；小房间每间面积为 15，可住游客 3 名，每名游客每天住宿费为 50 元.装修大2m 房间每间需 1000 元，装修小房间每间需 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大 房间和小房间各多少间，能获得最大收益？ 6、已知ABC 三边所在直线方程 AB：x-6=0，BC：x-2y-8=0，CA：x+2y=0，求此三角形外接圆的方程
14、。7、已知椭圆 x2+2y2=12，A 是 x 轴正方向上的一定点，若过点 A，斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长为，3134求点 A 的坐标。8、已知椭圆（ab0）上两点 A、B，直线上有两点 C、D，且 ABCD 是正方形。此12222 by axkxyl:正方形外接圆为 x2+y2-2y-8=0，求椭圆方程和直线 的方程。l9、求以直线为准线，原点为相应焦点的动椭圆短轴 MN 端点的轨迹方程。2:xl 10、若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为，求椭圆的方程。12 11、已知直线与椭圆相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直线1xy)0( 12222 baby ax上.02:yxl （）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线 的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.l422 yx练习题练习题1、解：、解：设 c 为为椭圆半焦距， 021PFPF21PFPF 又 21tan21FPF212)2(122122 22 1PFPFaPFPFcPFPF食物 P食物 Q食物 R 维生素 A（单位/kg）4
