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1、1倍长中线（线段）造全等倍长中线（线段）造全等1、已知：如图，、已知：如图，AD 是是ABC 的中线，的中线，BE 交交 AC 于于 E，交，交 AD 于于 F，且，且 AE=EF，求证：，求证：AC=BFABCDEF分析：要求证的两条线段分析：要求证的两条线段 AC、BF 不在两个全等的三角不在两个全等的三角 形中，因此证形中，因此证 AC=BF 困难，考虑能否通过辅助线把困难，考虑能否通过辅助线把 AC、BF 转化到同一个三角形中，由转化到同一个三角形中，由 AD 是中线，常采是中线，常采 用中线倍长法，故延长用中线倍长法，故延长 AD 到到 G，使，使 DG=AD，连，连 BG， 再通过
2、全等三角形和等线段代换即可证出。再通过全等三角形和等线段代换即可证出。2、已知在、已知在ABC 中，中，AD 是是 BC 边上的中线，边上的中线，E 是是 AD 上一点，且上一点，且 BE=AC，延长，延长 BE 交交 AC 于于 F，求证：，求证：AF=EFF EDABC提示：倍长提示：倍长 AD 至至 G，连接，连接 BG，证明，证明 BDGCDA三角形三角形 BEG 是等腰三角形是等腰三角形3 3、已知，如图、已知，如图ABCABC 中，中，AB=5AB=5，AC=3AC=3，则中线，则中线 ADAD 的取的取值范围是值范围是_._.DCBA4、在、在ABC 中中,AC=5,中线中线 A
3、D=7，则，则 AB 边的取值范围边的取值范围 是是( )A、1AB29 B、4AB24 C、5AB19 D、9AB195、已知：、已知：AD、AE 分别是分别是ABC 和和ABD 的中线，且的中线，且BA=BD， 求证：求证：AE=AC21ABCDE6 6、如图，、如图，ABCABC 中，中，BD=DC=ACBD=DC=AC，E E 是是 DCDC 的中点，求证：的中点，求证：ADAD 平分平分BAE.BAE.EDCBA7、已知、已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是是ABD 的中的中 线，求证：线，求证：C=BAEABCDE提示：倍长提示：倍长 AE 至至 F，连结，连结 DF证明证明
4、 ABEFDE（SAS） 进而证明进而证明 ADFADC（SAS）8 8、如图、如图 2323，ABCABC 中，中，D D 是是 BCBC 的中点，过的中点，过 D D 点的直线点的直线 GFGF 交交 ACAC 于于 F F，交，交 ACAC 的平行线的平行线 BGBG 于于 G G 点，点， DEDFDEDF，交，交 ABAB 于点于点 E E，连结，连结 EGEG、EF.EF. 求证：求证：BG=CFBG=CF 请你判断请你判断 BE+CFBE+CF 与与 EFEF 的大小关系，并说明理由。的大小关系，并说明理由。2EDCBA12图 4-2FDCBA12图 4-3ADBCE4 321D
5、E ABC9、如图，、如图，AD 为为的中线，的中线，DE 平分平分交交 ABABCBDA 于于 E，DF 平分平分交交 AC 于于 F. 求证：求证：ADC EFCFBE一 14 一一 DFCBEA方法方法 1：在：在 DA 上截取上截取 DG=BD，连结，连结 EG、FG证明证明 BDEGDE DCFDGF所以所以 BE=EG、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边利用三角形两边之和大于第三边 方法方法 2：倍长：倍长 ED 至至 H，连结，连结 CH、FH证明证明 FH=EF、CH=BE利用三角形两边之和大于第三边利用三角形两边之和大于第三边1010、如图，、如图，ABCABC 中，中，
6、E E、F F 分别在分别在 ABAB、ACAC 上，上，DEDFDEDF，D D 是中点，试比较是中点，试比较 BE+CFBE+CF 与与 EFEF 的大小的大小. .EDFCBA11、已知：如图，在、已知：如图，在中，中，D、E 在在ABCACAB BC 上，且上，且 DE=EC，过，过 D 作作交交 AE 于点于点BADF / F，DF=AC. 求证：求证：AE 平分平分BAC一 1 一一 ABFDEC方法方法 1：倍长：倍长 AE 至至 G，连结，连结 DG 方法方法 2：倍长：倍长 FE 至至 H，连结，连结 CH截长补短截长补短7.9 作业：作业：已知，四边形已知，四边形 ABCD
7、 中，中，ABCD，12， 34。求证：。求证：BCABCD。1、如图，、如图，ADBC，点，点 E 在线段在线段 AB 上，上，ADE=CDE，DCE=ECB. 求证：求证：CD=AD+BC.证明：在证明：在 CDCD 上截取上截取 CF=BCCF=BC在在FCE 与与BCE 中，中，CECEBCEFCECBCFFCEBCE（SAS）, 2=1.ADBCEF12343FDCBA12EDCBA12又又ADBC，ADC+BCD=180， DCE+CDE=90， 2+3=90，1+4=90， 3=4. 在在FDE 与与ADE 中，中，43DEDEADEFDEFDEADE（ASA），）， DF=DA
8、， CD=DF+CF， CD=AD+BC.2、已知：如图，在、已知：如图，在ABC 中，中，C2B，12. 求证：求证：AB=AC+CD.DCBA12证明：方法一（补短法）证明：方法一（补短法） 延长延长 AC 到到 E，使，使 DC=CE，则，则CDECED，ACB2E， ACB2B， BE， 在在ABD 与与AED 中中,ADADEB21ABD AED（AAS）,AB=AE. 又又 AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二（截长法）方法二（截长法） AB 上截取上截取 AF=AC， 在在AFD 与与ACD 中中,ADADACAF 21AFDACD（SAS）, DF=DC，AF
9、DACD. 又又ACB2B，FDBB， FD=FB. AB=AF+FB=AC+FD， AB=AC+CD.3 3、如图，在、如图，在ABCABC 中，中，BAC=60BAC=60， ADAD 是是BACBAC 的平的平 分线，且分线，且 AC=AB+BDAC=AB+BD，求，求ABCABC 的度数的度数DCBA4 4、如图，已知在、如图，已知在ABCABC 中，中，B=60B=60，ABCABC 的角平分的角平分线线 AD,CEAD,CE 相交于点相交于点 O O，求证：，求证：OE=ODOE=ODOEDCBA5 5、已知、已知中，中，、分别平分分别平分ABC60AoBDCE 和和，、交于点交于
10、点，试判断，试判断、ABC. ACBBDCEOBE 、的数量关系，并加以证明的数量关系，并加以证明CDBC6 6、如图，已知在、如图，已知在内，内，ABCVDOECBA4，P P，Q Q 分别在分别在 BCBC，CACA 上，上，060BAC040C并且并且 APAP，BQBQ 分别是分别是，的角平分线。的角平分线。BACABC求证：求证：BQ+AQ=AB+BPBQ+AQ=AB+BPPQCBA7 7、如图在、如图在ABCABC 中，中，ABABACAC，1122，P P 为为 ADAD 上任意上任意一点，求证一点，求证;AB-AC;AB-ACPB-PCPB-PCP21DCBA8 8、如图，点、
11、如图，点为正三角形为正三角形的边的边所在直线上的所在直线上的MABDAB 任意一点任意一点( (点点除外除外) )，作，作，射线，射线与与B60DMNMN 外角的平分线交于点外角的平分线交于点，与与有怎样的数有怎样的数DBANDMMN 量关系量关系? ?角平分线上的点向角两边引垂线段角平分线上的点向角两边引垂线段1 1、如图，在四边形、如图，在四边形 ABCDABCD 中，中，BCBCBA,ADBA,ADCDCD，求证：求证：BAD+C=180BAD+C=180DCBA2、如图，四边形、如图，四边形 ABCD 中，中，AC 平分平分BAD，CEAB 于于 E，AD+AB=2AE，则，则B 与与
12、ADC 互补互补. 为什么？为什么？DBEAC3 3、如图、如图 4 4，在，在ABCABC 中，中，BD=CDBD=CD，ABD=ACD,ABD=ACD,求证求证 ADAD 平分平分BAC.BAC.ABCDNEBMAD5一 一 一43 21PABC4、如图，在、如图，在ABC 中，中，ABC=100，ACB=20， CE 平分平分ACB，D 是是 AC 上一点，若上一点，若CBD=20，求，求ADE 的度数的度数.7.5 作业：作业：已知，已知，ABAD，12，CDBC。 求证：求证：ADCB180。一 一21CBAD7.6 作业：作业：如图，如图，在在ABC 中中AABC,AACB 的外角
13、平分的外角平分线交线交 P.求证求证:AP 是是BAC 的角平分线的角平分线7.6 作业：作业：如图如图,B=C=90,AM 平分平分DAB,DM 平分平分ADC 求证求证:点点 M 为为 BC 的中点的中点连接法（构造全等三角形）连接法（构造全等三角形）7.9 作业：作业：已知：如图所示，已知：如图所示， ABAD，BCDC，E、F 分别是分别是 DC、BC 的中点，求的中点，求 证：证： AEAF。DBC cAFE1、如图，直线、如图，直线 AD 与与 BC 相交于点相交于点 O，且，且 AC=BD，AD=BC求证：求证：CO=DO AODCB2、已知：如图、已知：如图 16，AB=AE，
14、BC=ED，点，点 F 是是 CD 的中的中 点，点，AFCD求证：求证：B=E 6AFDCBE3、如图、如图 11-30，已知，已知 ABAE，BE，BCED， 点点 F 是是 CD 的中点的中点.求证：求证：AFCD.FEDCBA4 4、在正、在正内取一点内取一点，使，使，在，在外外ABCDDADBABC 取一点取一点，使，使，且，且，求，求. .EDBEDBC BEBABED5、如图所示，、如图所示，BD=DC,DEBC,交交BAC 的平分线于的平分线于 E，EMAB,ENAC,求证：求证：BM=CNACNEMBD6、如图，在、如图，在ABD 和和ACD 中，中， AB=AC，B=C求证：求证：ABDACDADCB全等全等+角平分线性质角平分线性质1 1、如图、如图 2121，ADAD 平分平分BACBAC，
