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1、山西师范大学本科毕业论文矩阵可逆的若干判别方法矩阵可逆的若干判别方法姓 名郭晓平院 系数学与计算机科学学院专 业数学与应用数学班 级0701 班学 号0751010139指导教师宋蔷薇答辩日期成 绩I矩阵可逆的若干判别方法内容摘要 对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵 又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不 可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中， 它均有重要意义。而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通 过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是
2、解决实际 问题比较常用的工具之一。鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆 的判别方法也就相当有必要了。本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的 判别方法及其证明过程。其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判 别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。另外，本文还给 出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以 便我们更好的掌握矩阵可逆的判别方法。【关键词】 矩阵 逆矩阵 初等变换 伴随矩阵 线性方程组 IISome Methods for Judging Invertible MatrixAb
3、stractThe matrix is a main research subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertible matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the ma
4、trix theory ,can not be replaced. It has the important meaning for solving linear equations, linear transformation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is
5、often need to establish proper mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judg
6、ing invertible matrix is quite necessary.Through combining with my knowledge, referring to the relevant materials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transform
7、ation method, linear equations method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special matrix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix.【Key Words】mat
8、rix inverse matrix elementary transformation adjoin matrixLinear equations III目 录一、引言(01)二、预备知识(01)（一）基本概念(01) （二）可逆矩阵的性质(01)三、矩阵可逆的若干判别方法(02)（一）定义判别法(02) （二）行列式判别法(02) （三）秩判别法(02)（四）伴随矩阵判别法(02)（五）初等变换判别法(02) （六）初等矩阵判别法(02) （七）矩阵向量组的秩判别法法(03) （八）线性方程组判别法(03)（九）标准形判别法(04)（十）多项式判别法(04) （十一）特征值判别法(05)四
9、、十种常见矩阵的可逆性(05)五、矩阵可逆判别方法的实例(07)六、小结(11)参考文献(11)致谢(12)IV- 1 -矩阵可逆的若干判别方法学生姓名：郭晓平 指导老师：宋蔷薇一、引言 在矩阵的乘法运算中，就像理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算理论体系 不可或缺的一部分。矩阵对解决数学中诸多理论问题都有重要意义。在矩阵理论中可 逆矩阵有如此重要的地位作用，所以学习、研究可逆矩阵的判别方法，有助于进一步 完善矩阵理论体系，也是相当有必要的。 解决实际问题（如国民经济中的调运方案等问题） ，第一步往往是建立合适的数学 模型，然后化为线性代数和代数学等的问题。很多有关代数学方面的研究多数会情况
10、 下转化为有关矩阵的研究，特别是可逆矩阵的研究。矩阵可应用于物理、数学、经济 等方面。可逆矩阵在矩阵中有着重要地位，可见研究可逆矩阵的判定也有着重要的实 践意义。 本文系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法。 二、预备知识 （一）基本概念 定义 1【1】 设数域上,阶方阵，如果存在阶方阵满足条件且FnAnBEAB ,就称可逆,并且称是的逆,记.EBA ABA1 AB 定义 2 记中的为，令,我们称矩阵为A元素ija代数余子式ijAT nnijAA)(*A的伴随矩阵。A 定义 31 矩阵的称为的秩，记作.A行秩和列秩A)(Ar 定义 42 矩阵的三类初等行变换： (1)互换某两行的位置；
11、 (2)用中某个非零数乘某行；F (3)将某行的另一行上。数倍加到 初等列变换与初等行变换完全类似，只需将行换成列即可。 定义 5 初等矩阵，是对单位矩阵施行一次初等变换得到的矩阵。E 定义 6 对施加一系列,它变为,则称与等价。A初等变换BAB （二） 矩阵可逆的性质 性质 1 ;AA11)(性质 2 ;11)()(TTAA性质 3 ;111)(ABAB性质 4 ;111)(AkkA性质 5 矩阵与它的具有相同的可逆性，即可逆,且A伴随矩阵*AA*A- 2 -*1*)(AAA性质 62 设,分别是阶和阶可逆方阵，.nmFAPQmn)()(ArPAQr且)()(AQrPAr三、矩阵可逆的若干若
12、干判别方法 （一）定义1判别法 设对于阶方阵，如果存在阶方阵满足条件且,就称可逆,nAnBEAB EBA A 并且称是的逆,记.BA1 AB 注：这种方法实际上是通过直接找到矩阵的逆，进而根据矩阵可逆的定义来证明 矩阵可逆的，所以它多适用于简单矩阵和非具体矩阵。 （二）矩阵行列式判别法 定理2：可逆是方阵且（非退化） 。AAA0（三）秩判别法 阶矩阵可逆.nAnAr)(证明:由可逆，知,再由矩阵秩的定义，可得.所以由可逆可推A0AnAr)(A得.反过来，必要性也显然成立。nAr)( （4）伴随矩阵判别法可逆存在,使得.A*1AAB EBAAB证明：若可逆，则显然,且.A0A*11AAA反过来，
13、如果有 ,*1AAB EBAAB则 . (1)*11AABA注：公式(1)便是求逆矩阵的公式。但是根据这个公式来求逆矩阵，矩阵阶数较大 时计算量往往是相当大的且繁琐，因此该方法适合阶数较小的矩阵。 （五）初等变换判别法 对矩阵施行初等行（或者列）变换得到的矩阵,则可逆可逆。ABBA 证明：设用初等行或列变换，将变为,因为初等变换是等价变换，从而并不改AB 变的秩，所以与秩相等，故与有相同的可逆性，从而可逆可逆。AABABBA 命题得证。 （6）初等矩阵判别法 定理1：方阵可逆可表成一些初等矩阵的乘积：AA.sQQQAL21证明：充分性,由题知， ,sQQQAL21 则有,02121ssQQQQQQALL故可逆。A 必要性的详细证明见于参考文献1第 191 页。 证毕。- 3 -定理1：方阵可逆可以经过初等行变换化为单位矩阵。AA 证明：必要性，由矩阵可逆，知它可以表示成一些初等矩阵的乘积，AsPPPL21 即,从而,也就是说，可以经过初等行变换化为单sPPPAL21EAPPP
