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1、 1 第一章第一章 行列式习题答案行列式习题答案 二、三阶行列式及二、三阶行列式及n阶行列式的定义部分习题答案阶行列式的定义部分习题答案 1.计算下列二阶行列式 （1）23112； （2）cossin1sincos ； （3）1111121221212222abab abab 11 2211 2211 2211 22a aa bb ab b=+ 12 2112 2112 2112 21a aa bb ab b- （4）1112111221222122aabb aabb 11 2211 2212 2112 21a ab ba ab b=+- 2.计算下列三阶行列式 （1）103 12126 23
2、1 ； (2)1112132223323300aaaaaaa11 22 3311 23 32a a aa a a=-()1122 3323 32aa aa a=- （3）acbbaccba3333abcabc=+- 3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）3214； （2）614235. 123t = += 1 12217t = + + = （3）12322524212nnnn 当n为偶数时，2nk=，排列为 143425212221223412kkkkkkkk1122(1)(1)tkkk=+-+-+L(1)(2)21kk+-+-+L ()()()()()22(1)131
3、3142nkkkkkkn轾+-=-=-犏臌L 2 其 中11(1)(1)kk+ +-+-L为1434252122kkkk的 逆 序数；k为21k+与它前面数构成的逆序数；(1)(2)21kk-+-+L为 23,25,2(21)kkkk+-L与它们前面数构成的逆序数的和； ()()()()()()113131kkkk+-L为2k，22,24,2kk-L 与它们前面数构成的逆序数的和. 当n为奇数时，21nk=+，排列为 142345212223225412kkkkkkkk()1122tkk=+ +L (1)21kk+-+L () ()()2213323432nkkkkkkn+轾+?+=+=-臌L
4、 其中1122kk+ +L为1423452122kkkk的逆序数；(1)21kk+-+L为23,25,2(21)kkkk+L与它们前面数构成的逆序数的和；() ()()3323kkkk+?+L为2 ,22,2kk-L与它们前面数构成的逆序数的和. 4.确定, i j，使 6 元排列2 316ij为奇排列. 解：4,5ij=，2 3162431655tijt为奇排列. 5.写出 4 阶行列式中含有13 21a a的项. 解：13 21 32 44a a a a；13 21 34 42a a a a 6.按定义计算下列行列式： （1）00010020 03004000(4321)( 1)2424t
5、= -= （2）000 000000000a cdb(1342)( 1)abcdabcdt= -= 3 7. 求123 0312( )123 122x xf xx xx的展开式中4x和3x的系数. 4x的 系 数 为6-； 含3x的 项 只有(4231)( 1)( 3 )3txxx-?创， 所 以3x的 系 数 为( 4 2 3 1)(1)3(3)1 19t-?创= 行列式的性质与展开部分行列式的性质与展开部分习题答案习题答案 1.计算下列行列式： （1）200819861964 200919871965 201019881966； 解：3221200819861964 1110 111rr
6、rr D- - = (2) 1231231231 1 1aaa aaa aaa ； 解：2312323231 (1)1 1 11aa Daaaaa aa=+ +各列加到 第一列后 提取公因式21312312331 (1) 01 001rr rraa aaaa- - =+123(1)aaa=+ （3）41232013201 11601160 11101110 31023500rr D+-=-2133 1 4116116 ( 1)111027 3500818rrr+ +- = -=-20= - 4 （4）2112011101 11611261 11211221 11001000cc D-=-314
7、 1101100 ( 1)26126116 221223cc- += -= -= -. （5）00 10 01 001D . 4010 10 0101D ()()()32212DDDDDabababababab轾=+-=+-臌432234aa ba babb=+ 2.证明： （1）011cbadbadcdacbdcbaD； 证明：将D的各列都加到最后一列再提出公因式有 1 111(1)0111 1abcdab bcadbcDabcdcdabcd dabcda+ +=+=+ +（2）33()axbyaybzazbxxyz aybzazbxaxbyabyzx azbxaxbyaybzzxy . 证
8、明：左式12axayazbybzbx aybzazbxaxbyaybzazbxaxbyDD azbxaxbyaybzazbxaxbyaybz 5 311rbrxyzxyz Da aybzazbxaxbya aybzazbxaxby azbxaxbyaybzazaxay 23223rbrxyzxyzxyz a aybzazbxaxbya ayazaxayzx zxyzxyzxy 类似有132332 2( 1)rr rryzxxyz Dbzxyyzx xyzzxy , 所以33()axbyaybzazbxxyz aybzazbxaxbyabyzx azbxaxbyaybzzxy 3.计算n阶行列式
9、 （1）nD=abbbbabbbbabbbba.； 各行加到第一行后提取公因式有： 111.1 . (1). .nbabb Danb bbabbbba=+-211111.1 00.0 (1)00.0. 000.nrbrrbrab anbabab- =+-L()1(1)nanb ab-=+- （2）1212 1212nnan anDna 1 2(0)na aa . 2112 1211 121 2 12 121 12100120000n nnrrnrrrnrraan nanaaanaaaaaaaaaa 6 11 122 21211nnn niianaiaaaaaaaa4.利用范德猛行列式计算： 1
10、111 1234 14916 182764D . 222233331111 1234(21)(3 1)(41)(32)(42)(43)121234 1234 克拉默法则部分习题答案克拉默法则部分习题答案 1.用克拉默法则解线性方程组 （1）1223132 23(0) 0bxaxab cxbxbcabc cxax-= -+= += ； 解：0 0235 0ba Dcbabc ca- =-= -，2 120 235 00aba Dbccba bc a- =-= 2 220 035 0bab Dbcbab c ca- = -，22 025 00baab Dcbcabc c- =-= - 123,xa
11、 xb xc= -= （2）123412341234123432125323348246642xxxxxxxxxxxxxxxx . 解：1321 2532173482 6164D ,11321 3532344482 2164D 7 21121 233203482 6264D ,31311 2532173442 6124D ,1321 2533853484 6162D 12342,0,1,5xxxx 2.当为何值时，齐次线性方程组 0 0 0433221321xxxxxxx(1) 仅有零解；(2) 有非零解 解：34 10(1)(3) 01Dl lll l= -=-， （1）1l 且3l 时0D
12、，该齐次线性方程组只有零解。 （2）要使该齐次线性方程组有非零解，则1l =或3l =时。经验证，1l =时方程组有非零 解 ，1231 ,1xxx 就 是 一 组 非 零 解 . 3l =时 方 程 组 有 非 零 解 ，1233,1,3xxx 就是一组非零解. 第一章自测题与答案第一章自测题与答案 第一章自测题第一章自测题 一.判断题（每题 3 分，共 15 分） 1.1423 1423 3241 3241000 000 000 000a aa a a aa a . ( 错 ) 2.在四阶行列式4ijDa 中，23a的余子式23M与代数余子式23A互为相反数. ( 对 ) 3.111213
13、1112132122232122233132333132331,1,aaabbb aaabbb aaabbb 则1111121213132121222223233131323233330ababab ababab ababab .（错） 4.1112132122233132331aaa aaaaaa,则1323331222321121311aaa aaa aaa. （ 错） 8 5. 21241644164 2362071881 601160112 22122212rr D. （ 对 ） 二.填空题（每题 4 分，共 16 分） 1.已知1112132122233132331aaa aaa aaa ，则 22121 2121222321222311121321112131112132122233132333132333132332 242444 2rcrraaaaaaaaa aaaaaaaaa aaaaaaaaa 2.已知1112132122233132332aaa aaa aaa，则 121311131112 212223213122322333 2223212321220aaaaaaaaaa Aa Aa Aaaaaaa-+=-+= 121311131112 212223 323331333132aaaaaaaaaaaa
