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1、2004 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析理工数学一试题详解及评析 一、 填空题一、 填空题 （1）曲线lnyx=与直线1=+ yx垂直的切线方程为 . 【答】 1yx=. 【详解】 由()1ln1,yxx=得1,x =可见切点为()1,0，于是所求得切线方程为， ()011 ,yx= 即1yx= （2）已知xxxeef=)(，且( )10f=，则( )f x = . 【答】 2)(ln21x. 【详解】 令tex=，则txln=，于是有 tttfln)(=， 即 .ln)(xxxf= 积分得 Cxdxxxxf+=2)(ln21ln)(. 利用
2、初始条件( )10f=， 得0,C = 故所求函数为 ( )21(ln )2f xx=. （3）设L为正向圆周222=+ yx在第一象限中的部分，则曲线积分 Lydxxdy2的值为 【答】 23. 【详解】正向圆周222=+ yx在第一象限中的部分，可表示为 .20:,sin2,cos2 = yx于是 dydxxdy Lsin2sin22cos2cos222 0+=22 032sin.2d =+=（4）欧拉方程)0(02422 2=+xydxdyxdxydx的通解为 . 【答】 221 xc xcy+=. 【详解】 令tex=，则 dtdy xdtdyedxdt dtdy dxdyt1=111
3、22222222dtdy dtyd xdxdt dtyd xdtdy xdxyd=+= 代入原方程，整理得 02322 =+ydtdy dtyd解此方程，得通解为 .2212 21xc xcececytt+=+=（5）设矩阵 = 100021012A， 矩阵 B 满足EBAABA+=*2， 其中*A为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则=B . 【答】 91. 【详解】已知等式两边同时右乘A，得 AABAAABA+=*2 而3=A，于是有 ABAB+= 63， 即 ABEA=)63(， 再两边取行列式，有 363=ABEA， 而 2763= EA，故所求行列式为.91=B （6）设随机变量 X 服从
4、参数为的指数分布，则DXXP . 【答】 e1. 【详解】 由题设，知21 =DX，于是 DXXP=dxeXPx+=11 =.1 1eex=+二、选择题选择题 （7）把+ 0x时的无穷小量dttdttdttxxx= 03002sin,tan,cos2 ，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 (A) ,. (B) ,. (C) ,. (D) ,. 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 0cos2tanlim costan limlim20020002= + xxxdttdttxxxxx，可排除(C),(D)选项， 又 xxxxdttdttxxxxxtan221sin lim t
5、ansin limlim230003002 = + = +20lim41 xxx， 可见，是比低阶无穷小量，故应选(B). （8）设函数( )f x连续，且, 0)0( f则存在0，使得 (A) ( )f x在（0，)内单调增加. （B）( )f x在)0 ,(内单调减少. (C) 对任意的), 0(x有( )( )0 .f xf (D) 对任意的)0 ,(x有( )( )0 .f xf 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 由导数的定义，知 0)0()(lim)0( 0= xfxff x根据保号性，知存在0，当), 0()0 ,(x时，有 0)0()( xfxf即当)0 ,(x时，( )(
6、 )0 .f xf. 故应选(C). （9）设=1nna为正项级数，下列结论中正确的是 (A) 若nnna lim=0，则级数=1nna收敛. (B) 若存在非零常数，使得= nnnalim，则级数=1nna发散. （C）若级数=1nna收敛，则0lim2= nnan. （D）若级数=1nna发散, 则存在非零常数，使得= nnnalim. 【 】 【答】应选（B）. 【详解】 取nnanln1=，则nnna lim=0，但=11ln1nnnnna发散，排除(A)，(D)； 又取nnan1=，则级数=1nna收敛，但= nnan2lim，排除(C), 故应选(B). （10）设 f(x)为连续
7、函数，=ttydxxfdytF 1)()(，则)2(F等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】交换积分次序，得 =ttydxxfdytF 1)()(= =txtdxxxfdxdyxf 111) 1)()( 于是，) 1)()(=ttftF， 从而有 )2()2(fF=，故应选(B). （11） 设A是 3 阶方阵， 将A的第 1 列与第 2 列交换得B,再把B的第 2 列加到第 3 列得C, 则满足AQC=的可逆矩阵Q为 (A) 101001010. (B) 100101010 . (C) 110001010. (
8、D) 100001110【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 由题设，有 010100, 001AB = CB= 100110001于是， . 100001110100110001100001010CAA= = 可见，应选(D). （12）设,A B为满足0AB =的任意两个非零矩阵，则必有： （A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关. （D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关. 【 】 【答】 应选（A）. 【详解 1】设A为nm矩阵，B为sn矩阵，则由0AB =知， n
9、BrAr.可见( )( ),r An r BnuXP，若=nXXXn?独立同分布，且其方差为. 02 令 =niiXnY11，则 (A) Cov(.),21nYX= (B) 2 1),(=YXCov. (C) 2 12)(nnYXD+=+. (D) 2 11)(nnYXD+= 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 Cov( =+=niiniiXXCovnXXCovnXnXCovYX21 11111),(1),(1)1,(), 2 111.DXnn= （15）设2ebae. 【证法 1】 对函数x2ln在,a b上应用拉格朗日中值定理，得 .),(ln2lnln22baabab时， , 0)(
10、，即 2222lnln eee=【证法 2】 设xexx224ln)(=，则 24ln2)(exxx=， 2ln12)(xxx= , 所以当xe时，, 0)(eeex 即当2exe，即 aeabeb22 224ln4ln， 故 )(4lnln222abeab （16）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100 . 66=k问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？ 注 kg 表示千
11、克，km/h 表示千米/小时. 【详解 1】 由题设， 飞机的质量 m=9000kg， 着陆时的水平速度0700v =km/h. 从飞机接触跑道开始记时，设 t 时刻飞机的滑行距离为( )x t，速度为( ).v t 根据牛顿第二定律，得 kvdtdvm= 又 dxdvvdtdx dxdv dtdv= 由以上两式得 dvkmdx=，积分得 .)(Cvkmtx+= 由于0)0(,)0(0=xvv，故得0vkmC =， 从而 ).()(0tvvkmtx= 当0)(tv时， ).(05. 1100 . 67009000)(60kmkmvtx= 所以，飞机滑行的最长距离是1.05()km. 【详解 2
12、】 根据牛顿第二定律，得 kvdtdvm=,所以 .dtmk vdv= 两端积分得通解tmk Cev=，代入初始条件00vv t= =解得0vC =， 故 .)(0tmk evtv= 飞机滑行的最长距离为 ).(05. 1)(0000kmkmvekmvdttvxtmk =+或由tmk evdtdx=0，知) 1()(000=tmkttmk emkvdtevtx， 故最长距离为当t时，).(05. 1)(0kmmkvtx= 【详解 3】 根据牛顿第二定律，得 dtdxkdtxdm=22 , 022 =+dtdx mk dtxd， 其特征方程为02=+mk，解之得mk=21, 0， 故 .21tm
13、k eCCx+= 由 002000, 0vemkC dtdxvx ttmkttt= =得 ,0 21kmvCC= 于是 ).1 ()(0tmk ekmvtx= 当+t时，).(05. 1)(0kmkmvtx= 所以，飞机滑行的最长距离是1.05()km. （17）计算曲面积分 ,) 1(322233dxdyzdzdxydydzxI += 其中是曲面)0(122=zyxz的上侧. 【详解】 取1为 xoy 平面上被圆122=+yx所围部分的下侧， 记为由与1围成的空间闭区域，则 dxdyzdzdxydydzxI +=1) 1(322233.) 1(3221233dxdyzdzdxydydzx +
14、 由高斯公式知 dxdydzzyxdxdyzdzdxydydzx +=+)(6) 1( 322222331=rdzrzdrdr)(620101022 +=.2)1 ()1 (2112232210=+drrrrr 而 +=+123322133) 1(322yxdxdydxdyzdzdxydydzx， 故 .32=I （18）设有方程01=+nxxn，其中 n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根nx，并证明当1时，级数=1nnx收敛. 【证明】记 . 1)(+=nxxxfn n由01)0(= nfn，及连续函数的介值定理知，方程01=+ nxxn存在正实数根).1 , 0(nx 当0x时，0)(1+=nnxxfn n， 可见)(xfn在), 0 +上单调增加, 故方程01=+ nxxn存在惟一正实数根.nx 由01=+ nxxn与0n
