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1、3谈条件概率常见问题解题法谈条件概率常见问题解题法王宁忠王宁忠 750002 宁夏（银川）六盘山高级中学宁夏（银川）六盘山高级中学 贺永超贺永超750002 摘要摘要:条件概率是高中概率知识较难学的知识点之一，本文在于如何通过条 件概率的概念及性质来总结和概括条件概率的解题方法和常见的应用 问题，以利于教师和学生更好地学习条件概率知识。关键词关键词:条件概率，事件、样本空间1.条件概率的概念条件概率的概念一般地，设为两个事件，且，称为在事BA,0)(AP)|(ABP)()( APABP件发生的条件下，事件发生的条件概率条件概率。 关于条件概率，有下面的定理:AB定理 1:设事件的概率，则在事件
2、已经发生的条件下事件的A0)(APAB条件概率等于事件的概率除以事件的概率所得的商: ABA)|(ABP)()( APABP推论：二事件的交的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件已发 生的条件概率的乘积: )|()()|()()(BAPBPABPAPABP性质：1. =1- ()P B A)|(ABP2.条件概率条件概率 P(BA)与积事件与积事件 P(AB)概率的区别概率的区别 与这是两个截然不同的事件概率设是随机试验对)|(ABP)(ABPBA,应的样本空间中的两个事件，是事件同时发生的概率，而)(ABPBA, 是在事件已经发生的条件下事件B的概率。从样本空间的角度看，这)|(AB
3、PA两种事件所对应的样本空间发生了改变, 求时，仍在原来的随机试验中)(ABP所对应的样本空间中进行讨论；而求时，所考虑的样本空间就不是)|(ABP了，这是因为前提条件中已经知道了一个条件(即已经发生)，这样所考虑A 的样本空间的范围必然缩小了,当然乘法公式 给出了它们之间的联系。)(ABP)|(ABP)(AP)0)(AP3.条件概率的解题方法：条件概率的解题方法：解答条件概率问题，首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件 概率问题。如果所要考虑的事件是在另一事件发生的前提下出现的，那么这一 事件的概率，必须按条件概率来处理。求解简单条件概率问题，有五种基本方 法: （1） 化为古典概型
4、解决化为古典概型解决)()(n )()()(AnBA APBAPABPABA事件包括的基本事件（样本点）数事件包括的基本事件（样本点）数 （2） 化为几何概型解决化为几何概型解决)()( )()()(ABA APBAPABP(,)(,)ABA区域的几何度量长度面积体积等区域的几何度量长度面积体积等（3） 条件概率公式法条件概率公式法如果,则先在原样本空间中中计算和，再按公式0)(AP)(ABP)(AP)|(ABP3计算)()( APABP（4）缩减样本空间法）缩减样本空间法： 在事件发生的前提下，确定事件B的缩减样本空间，并在AAA 中计算事件发生的概率，从而得到AB)|(ABP (5)(5)
5、利用条件概率的性质利用条件概率的性质=1 -()P B A1()P B A性质)()( AnBAn4.条件概率常见应用问题类型条件概率常见应用问题类型类型类型 1：掷骰子子问题：掷骰子子问题 例 1 将一枚硬币抛掷三次，记事件为 “至少出现一个正面“，记事件为 AB “至少出现两个反面”，求.)|(),|(BAPABP 解法 1：化为古典概型解决：表示“恰有一个正面两个反面，AB =HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT,=TTT A ,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH, = HTT,THT,TTHB, , )(AP87)(BP21 84)(ABP83)|
6、(ABP73 )()(APABP)|(BAP43解法 2：缩减样本空间法：缩减样本空间法：在缩减样本空间中看，共有 7 个元素，AAA其中只有 3 个属于，故有，B)|(ABP73)|(BAP43类型类型 2：摸球问题：摸球问题 例2：袋中有10个球，其中6个白球，4个黑球，从中一次次摸球，每次摸一个， 摸后不放回，求第1次摸到白球的前提下，第2次摸到黑球的概率。 解法1：条件概率公式法 设第1次摸到白球；第2次摸到黑球AB 求：袋中有10个球，每个球等可能地被取中。考虑两次取球的随机试验；)(AP从袋中不放回地摸取两次，每一次个，共有种摸法即样本点总数为2 10A个。第1次摸到白球的摸法有种
7、，第2次可能摸到白球或黑球，于是，只2 10A1 6C能从9个球中摸一球，有种摸法，因此A包含的样本点数为个。故由古典1 9C1 91 6CC慨型的概率计算公式得=)(AP532 101 91 6ACC求：考虑上述同个随机试验的样本空间，样本点总数仍为个，其中)(ABP2 10A事件AB表示“第1次摸到白球且第2次摸到黑球”，因此，AB包含的样本点数为个,于是由古典概率计算公式可得, 故由条件概论可得1 41 6CC)(ABP2 101 41 6 ACC=)|(ABP)()( APABP 94解法二：缩减样本空间法缩减样本空间法: :对方法一中的样本空间进行缩减，在“第1次摸到白 球”的条件下
8、，样本空间所包含的样本点数为其中“第2次摸到黑球”A1 91 6CC的样本点数为。故由古典概率计算公式可得1 41 6CC)|(ABP941 91 61 41 6CCCC3类型类型3：产品检验问题：产品检验问题： 例3：设有某产品一盒共6只，已知其中有2只次品，从中取二次，每次任取一只， 作不放同抽样。求第一次取到次品后第二次再取到次品的概率。 解法：设事件为“第一次抽得次品”，事件为“第二次抽到次品”，则AB为“第一次和第二次都抽得次品”，故有,AB1 61 2)(CCAP2 62 2)(CCABP52 )()()|(APABPABP类型类型 4：整数的倍数问题：整数的倍数问题 例 4:从
9、1-100 共 100 个正整数中，任取一数，已知取出的一数不大于 50,求此数 是 2 或 3 的倍数的概率? 解：设事件为“取出的数不大于50，事件为“取出的数是2的两倍，事件CA 为“取出的数是3的倍数”, 则，且求概率为B5 . 0)(CP)| )(CBAP )|()|()|(CABPCBPCAP66. 0)08. 016. 025. 0(2 类型类型 5;5;等候问题等候问题 例 5：两人约好于某一天早晨 8 时到 9 时之间在某地会面，并约定先到者等候 另一人 30 分钟方可离开，已知两人会上了面，求先到者等候另一人超过 20 分 钟的概率。 解：设事件 两人会上了面 ， 先到者等
10、候另一人超过 20 分钟 A B 先用集合表示该试验的样本空间及事件、，得ABAB，(,) 060,060 x yxy 且(,)30 Ax yyx， ，(,) 2060 Bx yyx(,) 2030 ABx yyx（ 样本点 -对应基本事件“两人到达某地的时刻分别为、，、(,)x yxyx 的单位： 时 分 ）y 如图所示。于是，所求事件的概率为：)()( )()()|(AAB APABPABP几何定义条件概率 的面积区域的面积区域 AAB )3060(21)3060(21)3040(213040(2122222222222230603040 277 2700700类型类型 6:6:医疗诊断问
11、题医疗诊断问题 例 6：据调查，在 50 个耳聋人中有 4 人色盲，在 9950 个非耳聋人中有 796 人3色盲，分析两种疾病是否相关.解:设事件为耳聋人，事件为色盲人，则.依题意ABpAP)(pAP1)(可得，,，概率公式，08. 0)|(ABP08. 09950796)|(ABP)|()()|()()(ABPAPABPAPBP08. 0)1 (08. 0pp08. 0所以，,事件与事件相互独立. 经过以上分( )(|)(|)0.08P BP B AP B AAB 析得出结论：耳聋与色盲无关. 类型类型 7:7:其它类型其它类型 例 7：某校计科系一年级 100 名学生中有男生 80 名，
12、来自南京的 20 名学生中有男生 12 名，选修数学建模课的 40 名学生中有男生 32 名， 求碰到选修数学建模课的学生的情况下，是一名女生的概率。 解：A=()P A C() ()P AC P C条件概率1 8 1 40CC8 40也可利用条件概率的性质解决：=1- ()P A C)|(CAP1 32 1 40C1C古典定义8 40例 8：一个家庭中有两个小孩，假定生男生女是等可能的，已知 这个家庭有一个是女孩，问这时另一个孩子是男孩的概率？已知其 中一个是女孩，问另一个也是女孩的概率？ 解：(1)基本事件空间=（男，男）（男，女）(女，男）（女， 女），记事件 =“其中一个是女孩”，=“
13、其中一个是男孩”,AB 显然： 事件包括（男，女）（女，男）（女，女）三个结果；A 事件包括（男，女）（女，男）两个结果；事件与的关系可ABAB 以用韦恩图表示为（图 1）：故由条件概率公式易得: 32 )()(4342)()()()()()()|(AnABnnAnnABnAPABPABP由上面的推导过程不难得到： 结论 1：当问题为古典概型时，经类比推理可得)()()|(AnABnABP结论 2：当问题为几何概型时)()( )()()|(AAB APABPABP(2)记事件为“其中一个是女孩”,事件为“另一AC 个也是女孩”,由韦恩图明显看出事件的集合是事件集合的子集 （图 2）CA由条件概
14、率-古典概型公式得 31 )()( )()()|(AnCn AnACnACP3观察得到等式： 且 1)|()|(ACPABPBC 故可以推断条件概率性质：1)|()|(ABPABP 总结: 解条件概率题首先要判明问题的性质，确定所解的问题 是不是条件概率问题,如果所要考虑的事件是在另一事件发生的前提 下出现的，那么这一事件的概率，必须按条件概率来处理。条件概 率的问题，必须从题设情形出发，灵活运用条件概率的有关性质或 公式解答条件概率间题。 参考文献参考文献 1 沈恒范概率论与数理统计教程M北京：高等教育出版社，2003. 2 薛留根概率论解题方法与技巧M北京：国际工业出版社，l999 3孙荣
15、恒. 应用概率统计M . 2版. 北京: 科学出版社, 2006. 4赵焕宗. 应用高等数学M . 上海: 上海交通大学出版社, 2001.作者简介：王宁忠，作者简介：王宁忠，1989 年毕业于陕西师范大学，研究生学历，宁夏年毕业于陕西师范大学，研究生学历，宁夏银川六盘山高级中学教务处主任，中学数学高级教师，自治区数学学会理事、银川六盘山高级中学教务处主任，中学数学高级教师，自治区数学学会理事、自治区骨干教师、自治区教育教学管理专家组成员，自治区骨干教师、自治区教育教学管理专家组成员，提高高中数学课堂有效提高高中数学课堂有效性的途径初探性的途径初探、浅谈高中数学的学法指导浅谈高中数学的学法指导等等 20 余篇论文在教育教学杂志余篇论文在教育教学杂志上公开发表上公开发表,教研课题教研课题数学研究性学习中存在的问题及解决策略数学研究性学习中存在的问题及解决策略获自治区新获自治区新课程科研一等奖。课程科研一等奖。作者简介：贺永超，毕业于宁夏大学数学系，研究生学历，宁夏银川六盘山作者简介：贺永超，毕业于宁夏大学数学系，研究生学历，宁夏银川六盘山 高级中学数学高级教师，自治区骨干教师，高级中学
