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1、1专题十六 解答题解题策略南昌外国语学校 梁懿涛【高考命题趋势】解答题是高考数学试卷中处于极其重要的核心地位，不但分值约占总分值的一半，而且高考数学选 拨性功能，主要依托这种题型来实现新课标下的高考数学解答题，已由单纯的知识叠加型转化为知识、 方法与能力综合题，具有容量大，方法多样，运算技巧及能力要求高等特点分析近几年的高考数学试 卷，解答题主要分为：三角与向量、数列、概率与统计、立体几何、解析几何、函数与导数在高考数 学考场上，能否做好解答题，是决定高考成败的关键因此，在高考备考中学会怎样解解答题，是一项 很重要的内容以下从解题策略的角度来分析解答题的一般方法 策略一策略一：题设条件的充分理
2、解与运用：认真仔细地分析题中每一个条件，理解每一个条件的表面信 息及内含信息，揣摩条件给出的意图在没搞清每个条件的内涵及外延之前，不急于下手解题，以免事 倍功半、徒劳无功例 1 （2013 年南昌市一模理）设正项数列的前项和为，若和都是等差数列，且公nannSnanS差相等，()求的通项公式；() 若恰为等比数列的前三项，记数列na125,a a a nb，数列的前 n 项和为，求证：对任意 224 (121)n n nbcb ncnT*,2.nnNT都有【分析】本题题设条件是：正项等差数列的前项和组成的数列也是等差数列，且与nannSnS公差相同，对此很容易理解表面化、肤浅化，只考虑其一般形
3、式：na，这样往下算，就陷入复杂运算的泥沼考虑其内涵，是等差* 112(,2)nnnSSSnNnnS数列，则必有，或是考虑其外延，数列为等差数列的充要条件是，所2132 SSSnanaanb以是等差数列，就必须能够表示成的形式nSnSanb【解析】()方法一：设的首项为，公差为，且，是等差数列，na1ad10a 0d nSQ，两边平方整理得，2132 SSS1112 233adaad12da11(1)22nn nSnaa，的公差为由与公差相同，得，1a nnS1anSna112aa11 4a 21 4nna方法二：设的首项为，公差为，且，则，是na1ad10a 0d 1(1) 2nn nSna
4、dnSQ公差为的等差数列，dnSdnb222 1(1)22n nnadd ndbnb2 2dd122dadb2，化简得，20b 111,42ad21 4nna方法三：同方法二，由是等差数列，则对于二2 11(1)()222nn nddSnadnannS次式，必有，得，又，得2 1()22ddnan0 12da 2ndSn2dd111,24da21 4nna() 易知， 当2n 时，1134n nb22 3 (31)nnnc1212 32 32 3 (31)(31)(33)(31)(31)nnnnnnnn 当2n 时，111 3131nn222222332 32 331111()()2(31)(
5、31)22313131nnnTL+1111()22313131nnnL，且1322T ，故对任意*nN，2nT 变式训练：（2013 年江西卷理）正项数列的前项和满足: nannS222(1)()0nnSnnSnn()求数列的通项公式；nana()令,数列的前项和为.证明:对于任意的,都有221 (2)n nnbna nbnnT*nN5 64nT 【解析】() 由,得. 由于是正项数列,所222(1)()0nnSnnSnn2() (1)0nnSnnSna以.于是. 所以数列的通项. 20,nnSSnn11,12,12,22 ,2n nnSnnanSSnn n na2nan() 由于，则，2na
6、n221 (2)n nnbna22221111 4(2)16(2)nnbnnnn222222222111111111111632435(1)(1)(2)nTnnnn.222211111151(1)162(1)(2)16264nn【点评】本题的关键是对题设条件“”的理解，能正确理解此式是一222(1)()0nnSnnSnn个关于的一元二次方程，再考虑其外延“方程的根的情况” ，则本题迎刃而解.另外题中另一隐含条件nS3“正项数列” ，也不能忽视 策略二：策略二：执果索因，从结论入手：题设条件的运用是多向的、不定的，而我们解题的目的是确定的、 惟一的从结论出发，层层推进，执果索因，寻找结论成立的充
7、分条件，使之与题设条件吻合，试题得 以解决，而思维量大为减少这是解题思维定向化在解题中的具体运用例 2 （2013 年北京卷理）如图,在三棱柱中, 是边长为 4 的正方形,平面111ABCABC11AAC C平面,.ABC11AAC C3,5ABBC()求证:平面；()求二面角的余弦值；1AAABC111ABCB()证明:在线段存在点,使得,并求的值.1BCD1ADAB1BD BC【分析】第一问、第二思路清楚，证明计算都较简单第三问是确定点的位置，使得因D1ADAB为结论的抽象与不确定，所以可先固定点，使得，以此为出发点（当作条件） ，往下推导：D1ADAB，平面，根据三垂线逆定理，必有在平面
8、上的射影垂直于，由1ADAB1AB 11AAB BAD11AAB B1AB此可确定射影的位置，进而确定点的位置，得到的值.D1BD BC【解析】 ()略； ()；()，平面，平面16 251111111,C AAA C AABQ11C A11AAB B平面设点为线段上一点，过作，垂足为，则平11C AB 11AAB BD1BCD1DEABEDE 面要使得，只需，因为此时就有平面，11AAB B1ADAB1AEAB1AB ADE成立在中，,求得由于1ADAB1Rt A AB113,4,5ABAAAB9 5BE ，所以.综上分析，在线段存在点,使得DE11C A119 25BDBE BCBA1BC
9、D，且1ADAB19 25BD BC变式训练.（2013 年安徽五校二模）如图，在四棱锥中，平面平面，且PABCD PAC ABCD， 四边形满足，点分PAAC 2PAAD ABCDBCADPABAD 1ABBC ,E F别为侧棱上的点，且,PB PC PEPF PBPC （）求证：平面；EFPPAD（）当时，求异面直线与所成角的余弦值； 1 2 BFCD（）是否存在实数，使得平面平面？若存在，AFD PCDPDABCFE4试求出的值；若不存在，请说明理由【解析】（）略；（）；（）,平面，3 3,CDAC CDPAQCDPACCDAF当时，有平面，平面，从而平面平面在AFPCAF PCDAF
10、AFDAFD PCD中，,，,存在Rt PAC2,2PAACQ6PC2 3 3PAACAFPC2 6 3PF 2=3PF PC ，使得平面平面2=3AFD PCD【点评】从平面平面出发，寻找结论成立的充分条件本题中平面容易发现，AFD PCDCD PAC，从而只要平面上任意一条直线即可，由此本题迎刃而解CDAFAF PAC 策略三策略三：等价转化，化陌生为熟悉：把不熟悉、不规范、复杂的问题等价转化为熟悉、规范甚至是 模式化、程式化的相对简单、易于解决问题转化可以是多次的，但每次转化一定要注意等价例 3 （2013 年北京市朝阳区高三上学期期末理）已知点是椭圆的左顶点，A22 :109xyCtt
11、直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，的面:1()l xmymRC,E FxB0m AEF积为. 16 3 （）求椭圆C的方程； （）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点AEAF3x MNMN ？并请说明理由.B 【分析】第一问可直接求解；第二问， “以为直径的圆是否经过点”等价于MNB“或是否成立” 在具体运算过程中要注意“设而不求”技巧的灵活运用1MBNBkk 0BM BNuuu u r uuu r【解析】 （）当时，直线 的方程为，设点在轴上方，由,解得0m l1x Ex22 19 1xy t x ,所以.因为的面积为，解得.2 22 2(1,),(1,)33
12、ttEF4 2 3tEF AEF14 2164233t 2t 所以椭圆C的方程为.22 192xy（）由得，显然.设,则22 192 1xyxmy 22(29)4160mymymR1122( ,),(,)E x yF xy，,.又直线的方程为，121222416,2929myyy ymm111xmy221xmyAE11(3)3yyxx由,解得，同理得.所以,11(3)33yyxxx 116(3,)3yMx 226(3,)3yNx 121266(2,),(2,)33yyBMBNxxuuu u ruuu r又因为121266(2,) (2,)33yyBM BNxxuuu u r uuu r1212
13、1212363644(3)(3)(4)(4)y yy y xxmymy1212 2 12124(4)(4)36 4 () 16mymyy y m y ym yy2222216(436) 16 416 4(29) 3216(29)mmm mm5.所以,所以以为直径的圆过点.2226457664128576 9mmm0BMBNuuu u ruuu rMNB变式训练（北京市通州区 2013 届高三上学期期末理）已知椭圆的中心在原点O，短半轴的端点到其右焦点2,0F的距离为10，过焦点F作直线l，交椭圆于,A B两点（）求这个椭圆的标准方程； （）若椭圆上有一点C，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求
14、直线l的斜率【解析】 （）设椭圆方程为222210xyabab，由已知10a ，2c 所以221046bac，所以椭圆方程为22 1106xy （）若直线lx轴，则平行四边形AOBC中，点与点关于直线l对称，此时点坐标为COC 2 ,0c因为2ca ，所以点在椭圆外，所以直线l与x轴不垂直于是，设直线l的方程为C2yk x，点11,A x y，22,B xy，则 整理得，22 1106 (2)xyyk x 2222352020300kxk xk，212220 35kxxk，所以 12212 35kyyk 因为 四边形AOBC为平行四边形，所以 OAOBOCuu u ruuu ruuu r ，所以 点C的坐标为2222012,3535kk kk，所以 222222012 35351106kk kk，解得21k ，所以1k 【点评】 “四边形AOBC为平行四边形”等价于“OAOBOCuu u ruuu r
