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1、20032003 年线代复习提纲年线代复习提纲222003 年线代复习提纲2 编辑：shu 作者： 出处：人人软件站 更新日期：2003-7-7 3. 乘积矩阵的列向量组和行向量组,设 A 是 mn 矩阵 B 是 ns 矩阵. A 的列向量组为 a1, a2,? ,an,B的列向量组为 b1, b2,? ,bs, AB 的列向量组为 g1, g2,? ,gs,则根据矩阵乘法的定义容易看出: AB 的每个列向量组为 gi=Abi,i=1,2,?,s.即 A(b1, b2,? ,bs)= (Ab1,Ab2,? ,Abs). b=(b1,b2, ?,bn)T,则 Ab= b1a1+b2a2+ ?+b
2、nan.应用这两个性质可以得到:乘积矩阵 AB 的第 i 个列向量 gi 是 A 的列向量组为 a1, a2,? ,an 的线性组合,组合系数就是 B 的第 i 个列向量 bI 的各分量.类似地, 乘积矩阵 AB 的第 i 个行向量是 B 的行向量组的线性组合,组合系数就是 A 的第 i 个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难看出.然而它们无论在理论上(有助于了解代数学中各部分内容的联系)和解题中都是很有用的.请读者注意例题中对它们的应用.下面是几个简单推论.用对角矩阵 L 从左侧乘一个矩阵,相当于用 L 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对
3、角矩阵 L 从右侧乘一个矩阵,相当于用L 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.数量矩阵 kE 乘一个矩阵相当于用 k 乘此矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个作同次方幂.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两中基本形式的矩阵方程. (I) AX=B. (II) XA=B.其中 A 必须是行列式不等于 0 的 n 阶矩阵,这样这两个方程都是唯一解.当 B 只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它是唯一解.设 B 有 s 列, B=(b
4、1, b2,? ,bs),则 X 也有 s 列,记 X=(c1, c2,?,cs).得到 Aci=bi,i=1,2, ?,s,这些方程组都是唯一解,从而AX=B 唯一解.这些方程组系数矩阵都是 A,可同时求解,即得(I)的解法:将 A 和 B 并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得 A 边为单位矩阵,此时 B 边为解 X.(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:ATXT=BT.再用解(I)的方法求出 XT,转置得 X.矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往比较复杂,要用恒等变形简化为下上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵定义 设 A 是 n 阶矩阵,如果存在 n 阶矩阵 B,
5、使得 AB=E, BA=E,则称A 为可逆矩阵.此时 B 是唯一的,称为 A 的逆矩阵,通常记作 A-1.矩阵可逆性的判别: n 阶矩阵 A 可逆?|A|10. n 阶矩阵 A 和 B 如果满足 AB=E,则 A 和 B 都可逆并且互为逆矩阵.(即 AB=E?BA=E.)可逆矩阵有以下性质: 如果 A 可逆,则A-1 也可逆,并且(A-1)-1=A,|A-1|=|A|-1.AT 也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T. 当 c10 时, cA 也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1.对任何正整数 k, Ak 也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵 A 的负整数次方幂 A-k=(
6、Ak)-1=(A-1)k. 如果 A 和 B 都可逆,则 AB 也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1. 如果 A 可逆,则 A 在乘法中有消去律: AB=0TB=0. BA=0TB=0. AB=ACTB=C. BA=CATB=C. 如果 A 可逆,则 A 在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C?B=A-1C. BA=C?B=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B 的解 X=A-1B ; (II) XA=B 的解 X= BA-1.这种解法自然好记,但是计算量必初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 逆矩阵的计算和伴随矩阵逆矩阵的计算有两种方法.初等变换
7、法: A-1 是矩阵方程 AX=E 的解,于是对(A|E)用初等行变换把化为 E,则 E 化为 A-1. 伴随矩阵法若 A 是 n 阶矩阵,记 Aij 是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定 A的伴随矩阵为 A11 A21 ? An1 A*= A12 A22 ? An2 =(Aij)T.? ? ? A1n A2n ? Amn 规定伴随矩阵不要求 A 可逆.但是在 A 可逆时, A*和 A-1 有密切关系.基本公式: AA*= A*A= |A|E.于是对于可逆矩阵 A,有A-1= A*/|A|, 或 A*=|A| A-1.因此可通过求 A*来计算 A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等
8、变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非 n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于 2 阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当 ad-bc10 时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质: 如果 A 是可逆矩阵，则 A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*. |A*|=|A|N-1. (A-T)*=(A*)T. (cA)*=c n-1A*. (AB)*= B*A*; (Ak)*= (A*)k. (A*)*=|A|N-2 A.练习题二1.设 a=(1,2,3,4)T,b=(1,1/2,1/3/1/4)T, A=abT,
9、求 An . 1 1/2 0 2设 A= 2 1 0 ，求 An1 1/2 0 1 0 03设 a=(1,0,1)T,b=(0,1,1)T,P= 1 1 0 , A= P-1ab TP,求 A2003.0 0 14. 设 a=( 1,-1,2)T ,b=(2, 3, 2)T ,-1 2 0A = 0 1 1 ，B=Aab T ,求 B53 0 -1 5 已知 3 阶行列式|a,b,g|=3，求|3a-b+2g,-a+b+g,2a+5b-7g|. 6已知 3 0 1 A= 1 1 0 ，AB=A+2B，求 B 0 1 4 7 已知 0 1 0 1 -1 A= -1 1 1 ，B= 2 0 ，X=
10、AX+B,求 X. -1 0 -1 5 3? 8已知 1 -2 0 B= 2 1 0 ，(A- E)B = A，求 A. 0 0 2 9已知 1 1 -1 A= -1 1 1 ，A*X= A-1+2X，求 X 1 -1 1 10已知 0 1 1 A= 1 0 1 ，A-1BA=6A+BA，求 B0 1 0 11. 1 0 0设 A = -2 3 0 , B=(A+E)-1(A-E),则(B-E)-1= .0 -4 512. A 是一个 3 阶矩阵, 3 维向量组 g1, g2 ,g3 线性无关,满足Ag1=g2+g3, Ag2=g1+g3, Ag3=g1+ g2 .求|A|.13. 设 1 0
11、 0 1 0 0A = 0 0 0 , B= 2 -1 0 , X B = B A,求 X 和 X11. 0 0 -1 2 1 114. 2 0 0设 A =(1/2) 0 1 3 ,求(A*)-1.0 2 515设 n 阶矩阵 A 满足 A2+3A- 2E=0，证明 A 可逆，并求 A-1 和(A+E)-1 ?16.设 n 阶矩阵 A 满足 AK=0，(k 为一个自然数)，证明 E-A 可逆.17设 n 阶矩阵 A 满足 A2-3A+2E=0， 并且 A 不是数量矩阵问 a为什么数时 A-aE 可逆？18. 已知 n 阶矩阵 A2=A, (A+B) 2=A2+B 2, 证明 AB=0 19设
12、 A，B，C 都是 n 阶可逆矩阵，D=(ABAC)-1，证明BACD=CDAB20设 A，B 都是 n 阶矩阵，AB+E 可逆证明 BA+E 也可逆，并且(BA+E)-1=E-B(AB+E)-1A 21A，B 都是 n 阶矩阵，并且 B 和 E +AB 都可逆，证明：B(E +AB)-1B-1= E-B(E + AB)-1A 22.设 A,B 是两个 n 阶矩阵，则（ ）是 A,B 可交换的充分必要条件.(A) (A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3 .(B) A2 与 B2 可交换.(C) A+B 与 A-B 可交换. (D) (AB)2=A2B2.23设 A,B 是两个 n 阶
13、矩阵,满足(AB)2=E,则( )成立.(A) AB=E.(B) |A|B|=1.(C) AB=BA.(D)(BA)2=E .24.设 A,B 是两个 3 阶矩阵,|A-1|=2,|B-1|=3,则|A*B-1-A-1B*|=( ).(A)36.(B)1/36.(C)-6.(D) 6.25已知 3 阶矩阵 A 满足:2 1 -3 -5 -3 9 A2= 1 1 -2 , A3= -3 -2 6 , 求 A. -3 -2 6 9 6 17 26设 A,B 是两个 n 阶矩阵,则( )成立.(A) 如果 A,B 都可逆,则 AB= BA. (B)如果 AB 是非零数量矩阵,则AB= BA.(C)
14、如果 A*B= BA*,则 AB= BA. (D)如果(AB)2= A2B2,则 AB= BA.27设 a=(-1,-1,2), b=(1,1,0), A=2E+aTb ,B=E+3b Ta ,则 AB-BA= . 参考答案 1. 4nA . 2 2 n-1A. 1 1 1 3A2003= A=-1 -1 -1 .1 1 14. -6 -9 -9B5=B=Aab T = 2 3 3 2 3 35 -135. 6 5 -2 -2 B= 4 3 2 .-2 2 3 7 3 -1X= 2 0 .1 -1?8 1 1/2 0A= -1/2 1 0 .0 0 19 1 1 0 X=1/4 0 1 1 .
15、1 0 1 10 2 2 2B=-3 1 3 2 .1 1 2 11. (B-E)-1= -(A+E)/2. 12. 2.13. 设 1 0 0 1 0 0A = 0 0 0 , B= 2 -1 0 , X B = B A,求 X 和 X11. 0 0 -1 2 1 114. (A*)-1=-4A. 15 A-1=(A+3E)/2 ,(A+E)-1= (A+2E)/4. ?16.设 n 阶矩阵 A 满足 AK=0，(k 为一个自然数)，证明 E-A 可逆.17 A 不等于 1 和 2.18. 已知 n 阶矩阵 A2=A, (A+B) 2=A2+B 2, 证明 AB=0 19设 A，B，C 都是
16、 n 阶可逆矩阵，D=(ABAC)-1，证明BACD=CDAB20设 A，B 都是 n 阶矩阵，AB+E 可逆证明 BA+E 也可逆，并且(BA+E)-1=E-B(AB+E)-1A 21A，B 都是 n 阶矩阵，并且 B 和 E +AB 都可逆，证明：B(E +AB)-1B-1= E-B(E + AB)-1A 22. (C).23(D).24. (B).25 -1 0 10 0 1 .1 1 -226(B).27 2 2 -2 AB-BA=3(aTbb Ta-b TaaTb)=6 2 2 -2 .2 2 4 第四章 向量组的线性关系与秩1. 向量组的线性表示关系如果 n 维向量 b 等于 n 维向量组 a1, a2,? ,as 的一个线性组合，就说 b 可以用 a1, a2,? ,as 线性表示.判别“b 是否可以用 a1, a2,? ,as 线性表示? 表示方式是否唯一？”就是问：向量
