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1、电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法本 节 内 容本 节 内 容静电场边值问题、惟一性定理静电场边值问题、惟一性定理镜像法镜像法分离变量法分离变量法电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法3.5 静电场边值问题，唯一性定理3.5 静电场边值问题，唯一性定理Electrostatic-Field Boundary-Value Problems, Uniqueness Theorem边值问题：边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程，以得到任意点位函数或场强；在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方
2、程，以得到任意点位函数或场强；本节内容本节内容本节内容本节内容 3.5.1 3.5.1 边值问题的类型边值问题的类型边值问题的类型边值问题的类型3.5.2 3.5.2 惟一性定理惟一性定理惟一性定理惟一性定理电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法 静态场问题静态场问题已知场域边界 上各点电位值电位值 sfs1分布型问题分布型问题 给定场源分布，求任意点场强或位函数；给定场源分布，求任意点场强或位函数；边值型问题边值型问题 给定边界条件，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程，以得到任意点位函数或场强；给定边界条件，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程，以得到任意点位函
3、数或场强；静态场问题静态场问题第一类 边界条件第一类 边界条件第二类 边界条件第二类 边界条件第三类 边界条件第三类 边界条件一、二类边界条件的线性组合线性组合，即 sfs31 sfns42已知场域边界上各点电位的法向导数电位的法向导数 sfns2电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法一、静电场边值问题及其分类一、静电场边值问题及其分类1. 边值问题的分类边值问题的分类-根据根据场域边界条件场域边界条件的的不同不同狄利克雷问题：给定整个场域边界上的电位函数值 （第一类）聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 （第二类）混合边值问题：给定边界上的位函数及其法
4、向导数的线性组合 （第三类） sfs1 sfns2 sfs31 sfns42电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法 2. 边值条件包括：边值条件包括：1. 场域场域的边界条件的边界条件2. 衔接衔接条件条件-不同不同媒质分界面上媒质分界面上的边界条件的边界条件3. 周期周期边界条件边界条件4. 自然自然边界条件 （无界空间）边界条件 （无界空间）电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法 边值条件边值条件有限值 r rlim自然边界条件 （无界空间）自然边界条件 （无界空间）周期边界条件周期边界条件(2)衔接条件衔接条件-不同媒质不同
5、媒质分界面上的边界条件分界面上的边界条件，如，如12 1212,nn12122rS电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法例：例：22220xy (0, )0, ( , )0ya y0( ,0)0, ( , )xx bU（第一类边值问题）（第一类边值问题）0UbaOxy0UbaOxy0x0x22220xy00,0xx axx0( ,0)0, ( , )xx bU（第三类边值问题）例：（第三类边值问题）例：电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法计算法实验法图解法边值型问题解法边值型问题解法解析法解析法数值法数值法有限差分法有限元法边界
6、元法矩量法有限差分法有限元法边界元法矩量法 镜像法分离变量法镜像法分离变量法复变函数法格林函数法复变函数法格林函数法3.5 静电场边值问题，唯一性定理3.5 静电场边值问题，唯一性定理3. 边值型问题的解法边值型问题的解法电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法二、惟一性定理二、惟一性定理Uniqueness Theorem即，即，满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。3.5 静电场边值问题，唯一性定理3.5 静电场边值问题，唯一性定理在场域在场域V 的边界面的边界面S上给定或的值，则泊松方程或拉普拉斯方
7、程在场域上给定或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具有惟一值。具有惟一值。n惟一性定理的表述惟一性定理的表述SV惟一性定理的重要意义惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据为求解结果的正确性提供了判据电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法3.6 镜像法3.6 镜像法Image Method镜像法的镜像法的基本原基本原理理接地导体平面接地导体平面的镜像点电荷对的镜像点电荷对无限大介质平面无限大
8、介质平面的镜像的镜像导体球面导体球面的镜像的镜像导体圆柱面导体圆柱面的镜像的镜像线电流线电流对无限大对无限大磁介质平面磁介质平面的镜像的镜像本节内容本节内容电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代1. 问题的提出问题的提出几个实例
9、几个实例q q一一、镜像法的基本原理镜像法的基本原理接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。qq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法 接地导体球附近有一个点电荷，接地导体球附近有一个点电荷，如图如图。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代接地导体柱附近有一个线电荷。接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电荷为线电荷。情况与上例类似，但等效电荷为线电荷。q q非均匀感应电荷非均匀感应电荷qq等效
10、电荷等效电荷结论：结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。问题：问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法 2. 镜像法的原理镜像法的原理镜像法概念：在一定条件下，用一个或多个一个或多个位于待求场域边界以外边界以外虚设的较简单的较简单的等效电荷等效电荷来等效替代场域等效替代场域边界上边界上未知的较为未知的较为复杂的电荷分布复杂的电荷分布的作用，且保持原有边界上边界条件不变保持原有边界上
11、边界条件不变，则根据惟一性定理，待求场域空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。从而将原含该边界的从而将原含该边界的非均匀媒质空间非均匀媒质空间变换成变换成无限大单一均匀媒质的空间无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化；，使分析计算过程得以明显简化；这些等效电荷称为镜像电荷镜像电荷，这种求解方法称为镜像法镜像法。电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法用虚设的镜像电荷来替代实际边界用虚设的镜像电荷来替代实际边界,将原来具有边界的空间变成同一媒质空间同一媒质空间，使计算简化。镜像法镜像法:3. 理论依据：理论依据：惟一性定理电磁场电磁场
12、第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法个数、位置个数、位置、电量大小电量大小“三要素三要素” 。4. 镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点5. 确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”镜像电荷的确定镜像电荷的确定镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定；镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定；电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法二、 接地导体
13、平面的镜像二、 接地导体平面的镜像1. 点电荷点电荷对无限大接地导体平面的镜像对无限大接地导体平面的镜像2. 线电荷线电荷对无限大接地导体平面的镜像对无限大接地导体平面的镜像3. 点电荷点电荷对半无限大接地导体角域对半无限大接地导体角域 (导体劈导体劈) 的镜像的镜像电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法 二、 接地导体平面的镜像二、 接地导体平面的镜像1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像求（1）导体上方（即z0的空间）的电位分布导体上方（即z0的空间）的电位分布；（2）导体表面的感应电荷。3.6 镜像法3.6 镜像法q qh待
14、求场域：上半空间边界： 无限大导体平面边界条件：0电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法q*3.6 镜像法3.6 镜像法有效区域有效区域 RR q qhh q q qh电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法 222222)hz(yx1)hz(yx1 4q R1 R1 4q于是，注意：仅对上半空间等效。* 此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。可见，引入镜像电荷后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z0的空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理知结果正确。qq:0RRR040Rqq 故对z=0平面上任意点有Rq Rq 44
15、* 选无穷远处为参考点无穷远处为参考点，则在z0的空间任一点p的总电位是：zxq h),(zyxpqq得3.6 镜像法3.6 镜像法电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法镜像电荷Z0空间的电位分布：镜像电荷Z0空间的电位分布：有效区域有效区域 RR q qhh q q qh 222222)(1)(1 411 4hzyxhzyxq RRq hhqq，电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法E 3/23/222222204()()xqxxE xyz dxyz d3/23/222222204()()yqyyE xyz dxyz d3/23/222222204()()zqz dz dE xyz dxyz d上半空间的电场强度：电磁场电磁场第第3章静电场及其边值问题的解法章静电场及其边值问题的解法2322200 2hyxqh zn
