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1、1数学分析（二）试卷数学分析（二）试卷 10一、叙述题叙述题：（每小题 5 分，共 15 分） 1、 开集和闭集 2、 函数项级数的逐项求导定理 3、 Riemann 可积的充分必要条件二、计算题计算题：（每小题 7 分，共 35 分）1、9131dxxx2、求绕 x 轴旋转而成的几何体的体积)0()(222babbyx3、求幂级数的收敛半径和收敛域nnnxn12)11 (4、 11lim 222200yxyxyx5、，l 为从点 P0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求 fl(P0)22),(yzxyxzyxf三、讨论与验证题讨论与验证题：（每小题 10 分，共 30 分）1、已
2、知，验证函数的偏导数在原点不 0, 0001sin)(),(22 2222yxyxyxyxyxf连续，但它在该点可微2、讨论级数的敛散性。12211lnnnn3、讨论函数项级数的一致收敛性。 1 , 1)1(11 xnx nxnnn四、证明题证明题：（每小题 10 分，共 20 分）1、 若收敛，且 f（x）在a,+）上一致连续函数，则有adxxf)(0)(lim xf x2、 设二元函数在开集内对于变量 x 是连续的，对于变量 y 满足),(yxf2RD Lipschitz 条件：其中为常 ),(),(yyLyxfyxfLDyxyx,),(),( 数证明在 D 内连续。),(yxf2参考答案
3、一、1、若集合 S 中的每个点都是它的内点，则称集合 S 为开集；若集合 S 中包含了 它的所有的聚点，则称集合 S 为闭集。2、 设函数项级数满足（1）在a，b连续可导1)(nnxu), 2 , 1)(Lnxun（2）在a，b点态收敛于1)(nnxu)(xS（3）在a，b一致收敛于1)(nxu n)(x则=在a，b 可导，且)(xS1)(nnxu11)()(nn nnxudxdxudxd3、有界函数在a，b上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当)(xf时 Darboux 大和与 Darboux 小和的极限相等0)(max 1 inix二、1、令（2 分）（5 分）31xt7468)1 (3
4、12033913dtttdxxx2、， （2 分）所求的体积为：22 222 1,xabyxaby（5 分）badxyyaa222 22 12)(3、解：由于收敛半径为(4 分） ，当e nnnnnnnn1 )111 (1) )111 ()11 ( lim( 11e1时，所以收敛域为 (3 分）ex1)(01) 1()1()11 (2nennnn)1,1(ee4、：2) 11(lim ) 11)(11() 11)(lim 11lim22002222222200222200 yx yxyxyxyxyxyxyx yx yx（7 分）5、解： 设极坐标方程为（4 分）4)2 , 1, 2(. 0)2
5、 , 1, 2(, 2)2 , 1, 2(zyxfff（3 分）136)2 , 1, 2(lf3三、1、解、（4 分）由 000)1cos11(sin22222 222222yxyxyxyxyxxfx于当趋于（0，0）无极限。所以不连续，同理可的也不连续， （222221cos1 yxyxyf分） 2、解：（5 分）收敛，所以原级数收敛（5 分）11211ln lim222nnnn1212nn3、解：部分和（3 分） ， 取，时有1)(1nxxxSnn, 0 1NNn ，所以级数一致收敛（7 分）nnxxxSnn1 1)(1四、证明题证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1、证明：用反证法
6、若结论不成立，则 ，使得， （3 分）又因为在 f（x）XxaX00,., 000)(xf在a,）上一致连续函数，只要，有axx 0,),1 , 0(0 xx， （3 分）于是，取上述使的点2)()(0 xfxf1,00AXaA令00)(xf，不妨设，则对任意满足的，有,0Xx 0)(0xf00 xxx取 A 和 A分别等于和，则022)()(00 0xfxf20 0x20 0x有，由 Cauchy 收敛定理，不收敛，矛盾（4 分）00 2)( AAdxxfadxxf)(2、证明：，由 Lipschitz 条件Dyx),(00),(),(),(),(),(),(000000yxfyxfyxfyxfyxfyxf（1） ， （6 分）又由二元函数在开集内),(),(0000yxfyxfyyL),(yxf2RD 对于变量 x 是连续的， （1）式的极限为 0，在连续，因此在 D 内),(yxf),(00yx),(yxf4连续（4 分）
