《八年级数学《轴对称》期末复习第一节 轴对称》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学《轴对称》期末复习第一节 轴对称（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、用心 爱心 专心轴对称轴对称期末复习期末复习 第一节第一节 轴对称轴对称 一、一、 关键概念和原理关键概念和原理概念：轴对称图形，对称轴，轴对称，对称点，线段垂直平分线原理：轴对称图形的性质及判定；线段的垂直平分线的判定及性质；成轴对称的两个图形的性质；如何判定两个图形关于某条直线对称二知识点：二知识点：1轴对称与轴对称图形的联系与区别轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称两个图形关于某直线对称，也称为轴对称这条直线就是它的对称轴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直
2、线就是它的对称轴区别：轴对称图形是说一个具有特殊性质的图形，是对一个图形说的：轴对称是指两个图形之间的位置关系，是对两个图形说的联系：轴对称与轴对称图形都有对称轴，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称2线段的垂直平分线及其结论定义：经过线段中点并且垂直与这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线结论：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端的距离相等的点，在线段的垂直平分线上，所以线段的垂直平分线可以看作是到线段两端距离相等的所有点的集合两者的关系：点在线段的垂直平分线上点到线段两
3、端的距离相等3轴对称和轴对称图形的性质共同的特征：对折后的两部分是完全重合的，即对应线段相等，对应角相等性质：(1)关于某条直线成轴对称的两个图形全等；(2)对称轴是对应点所连线段的垂直平分线三典型例题三典型例题1运用轴对称进行图形设计例 1. 某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成(圆和正方形的个数不限)，并且使整个矩形场地成轴对称图形，请在矩形中画出你设计的方案。用心 爱心 专心解：本题考查轴对称图形的的性质利用圆和正方形是轴对称图形，可以有很多设计方式，如下图所示通过此题培养同学对轴对称图形的认识2运用线段垂直平分线的性质解决几何设计中
4、的选址问题例 2如图，某地有两所大学和两条交叉的公路，点 M、N 表示大学，OA、OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库应该建在什么位置吗?请在图中画出你的设计解：与 M、N 两点的距离相等，说明要找的点在线段 MN 的垂直平分线上；到AOB 两边的距离相等，说明要找的点又在AOB 的平分线上故符合条件的点是 MN 的垂直平分线与AOB 的平分线的交点 第二节第二节 轴对称变换轴对称变换 一关键概念和原理一关键概念和原理概念：轴对称变换原理：作轴对称图形，一个点关于 x 轴、Y 轴的对称点的坐标的特点二知识点二知识点1轴对称
5、变换定义：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换轴对称变换同旋转变换、平移变换一样，都是图形变换的一种，轴对称变换的实质就是图形的翻折，而翻折问题往往可以看作是图形的全等问题，解这类问题的关键是利用图形的全等，找出对应线段对应角，挖掘题目的隐含条件，再利用结论使问题得解注意：经过变换以后，只是位置发生了变化，图形的形状和大小并未改变2关于坐标轴对称的点的特点让学生学会用方程组表示，数形结合，为今后解综合题打下基础即点 A(x1,y1)与 B(x2,y2)关于 x 轴对称用心 爱心 专心点 A(x1,y1)与 B(x2,y2)关于 y 轴对称点 A(x1,y1)与 B(x2,y2)关于原
6、点对称三典型例题三典型例题例 3如图，请写出ABC 中各顶点的坐标在同一坐标系中画出直线 m：x=-1，并作ABC 关于直线 m 对称的ABC若 P(a，b)是ABC 中 AC 边上一点，请表示其在ABC中对应点的坐标解：由图可知，ABC 中各顶点的坐标分别为 A(1，4)，B(1，1)，C(2，1)而直线m：x=一 1 是过点(-1，0)并且平行于 y 轴的一条直线ABC的各顶点的坐标分别为 A(-3，4)，B(-1，1)，C(-4，-1)注意到关于直线 m 对称的点纵坐标不变，结合图形可知P(a，b)关于直线 m 对称的点的坐标是(-2-a，b)例 4在下图这一组中找出它们所蕴含的内在规律
7、，然后在横线的空白处设计一个恰当的图形。解：注意到这组图形都是轴对称图形，但不能认为随便作一个轴对称图形即可要求同学画出它们的对称轴，形成一个习惯通过对称轴我们发现，分布在对称轴右侧正好是一个阿拉伯数字，按顺序正好是1，2，3，正整数序列因此可以在空白处设计正确的图形，是由 6 对称并且拼接在一起的一个轴对称图形用心 爱心 专心例 5如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下一角，则展开后所得的图形是( )解：同学们可以实际操作，通过折纸来检验图形的形状但同时同学们也应该学会通过作图来更好地理解折叠过程，把思维提高一个层次本题选 C例 6如图 1，某公路的同一侧有 A、B、C 三个村庄，要在公
8、路边建一货栈 D，向A、B、C 三个村庄送农用物资，路线是：DABCD 和 DCBAD1试问在公路边上是否存在一点 D，使送货路程最短?(把公路边近似看作公路上)2将 A、B、C 三点放在平面直角坐标系中，把 x 轴建立在公路上，坐标如图所示请画出 D 点所在的位置，并写出画法3求出 D 点在该坐标系中的坐标(要求有运算过程)分析：要求送货路程最短，实质就是要 AD+CD 最小，本题可以运用轴对称的性质求最值(1)存在；(2)作点 A 关于 x 轴的对称点 A(1，-2)，连结 AC 与 x 轴的交点即为点 D；(3)先用待定系数法求出直线 AC 的解析式，设直线 AC 的解析式：y=kx+b
9、把点 A，C 的坐标代入解析式，得再求 D 点的坐标令 y=0，解得 x=3，所以求得 D(3,0)用心 爱心 专心例 7在锐角AOB 内有一定点 P，试在 OA、OB 上确定两点 C、D，使PCD 的周长最短分析：本题利用轴对称解决周长最小问题PCD 的周长等于 PC+CD+PD，要使PCD的周长最短，根据两点之间线段最短，只需使得 PC+CD+PD 的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点 P 关于直线 OA 和 OB的对称点 E、F，则PCD 的周长等于线段 EF 的长例 8(1)若点 M(2,a)和点 N(a+b,3)关于 x 轴对称，试求 a,b 的值；(2)若点 M(2,a)和点
10、N(a+b,3)关于 y 轴对称，试求 a,b 的值解：本题考查点关于横纵坐标轴对称的规律(1)(2)小结：关于坐标轴对称的规律是：横轴横不变，纵轴纵不变例 9(1)求一次函数 y=2x-1 的图象关于 x 轴对称的直线的函数解析式；(2)不作函数 y=-2x+1 与 y=2x-1 的图象，试判断它们的图象关于哪一个坐标轴对称解：本题考查轴对称变换与平面直角坐标系的综合应用用心 爱心 专心(1)要求函数的图象与直线 y=2x-1 的图象关于 x 轴对称(纵变横不变)要求的一次函数为-y=2x-1，即 y=-2x+1(2)函数 y=-2x+l 中的 x 乘以-1 就变为函数 y=2x+1，y=-
11、2x+1 与 y=2x+1 的图象关于 y 轴对称例 10如图，在平面直角坐标系中，点 P(2，3)，Q(3，2)，请在 x 轴和 y 轴上分别找到 M点和 N 点，使四边形 PQMN 周长最小(1)作出 M 点和 N 点(2)求出 M 点和 N 点的坐标解：(1)略(2)直线 PlQl的解析式为：y=-x+l，从而易求出 M(1，0)，N(0，1)例 11如图 1 所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的?分析：本题是轴对称性质的应用，但要注意：从镜子里看物体左右相反解答略例 12如图，是一只停泊在平静水面上的小船，它的“倒影”应是图中的( ) 分析：本题是轴对称性质的应
12、用，但要注意：从水中看物体上下颠倒本题应选 B 第三节第三节 等腰三角形等腰三角形 一关键概念和原理一关键概念和原理概念：等腰三角形，顶角，底角，腰，底边，等边三角形原理：等腰三角形的性质、判定；等边三角形的性质、判定；直角三角形的性质二知识点二知识点用心 爱心 专心1等腰三角形的概念、性质及判定定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高(或底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线性质：等腰三角形，底边上的高，底边上的中线和顶角的平分线三线合一；等腰三角形中相等的边所对的角也相等判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等2等边三角
13、形及其性质定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形性质：(1)等边三角形是轴对称图形且有三条对称轴；(2)等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60；(3)等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的一切性质判定：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形3直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半三、典型例题三、典型例题例 13等腰ABC 中，AB=2BC，且三角形周长为 40求 AB 的长分析：由于边没明确腰、底，因此要注意分类讨论解：若 AB 为底边，则 AC=BC但 AB=2BC=AC+BC，与三角形的
14、条件矛盾若 BC 为底边，则 AB=AC三角形周长为AB=16例 14(1)已知等腰三角形有一个内角为 70，求其余两个内角的度数(2)已知等腰三角形有一个内角为 100，求其余两个内角的度数分析：由于内角没明确是顶角还是底角，因此要注意分类讨论解：(1)若内角 70是顶角，则两个底角是 55若内角 70是底角，则另一个底角是 70，而顶角是 40(2)由于等腰三角形的底角只能是锐角，所以内角 100是顶角，则两个底角是 40用心 爱心 专心例 15如图，以ABC 的两边 AB、AC 向外作等边三角形 ABE 和等边三角形 ACD，连结 BD、CE，相交于 O(1)试写出图中和 BD 相等的一
15、条线段并说明你的理由；(2)BD 和 CE 夹角的大小与ABC 的形状有关吗?说明理由分析：本题考查了等边三角形中有关边、角数量关系的探究解：(1)可以证明AECBAD，BD=EC(2)由(1)可知，AEC=ABD，设 AB、EC 交于点 F，又AFE=BFO(对顶角相等)EOB=EAB=60所以 BD 和 CE 夹角恒为 60，与ABC 的形状无关例 16等腰三角形的周长为 20cm(1)求底边 y(cm)与腰长 x(cm)之间的关系式；(2)求出自变量 x 的取值范围；(3)画出该函数的图象分析：综合考查中代数与几何的结合是难点本题考查等腰三角形在函数中的应用，要注意等腰三角形的特殊性解：(1)y=20-2x(2)依题，得解得：5x10用心 爱心 专心(3)当 x=5 时，y=10；当 x=10 时，y=0线段 AB(A、B 两点除外)为所求函数图象例 17如图，在等边三角形 ABC 所在平面内找一点 P，使PAB，PBC,PAC 都是等腰三角形，你能找出几个这样的点?请画出它们的位置分析：可以利用等腰三角形的轴对称性寻找特殊点本题应利用等边三角形的轴对称性从一条对称轴上开始考虑做到不漏共 l0 个点例 18如图，上午 9 时，一条渔船从 A 出发，以 12 海里时的速度向正北航行，11 时到达 B 处，从 A
