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1、1E HFCNMGBAD动态几何问题动态几何问题一、知识方法一、知识方法1、动态几何问题是关于几何图形存在动点、动图形等方面的问题。是用运动变化的观点,创 设一个由静止的定态到按某一规则运动的动态情景,通过观察、分析、归纳、推理,动中窥定, 变中求静,以静制动,从中探求本质、规律和方法,明确图形之间的内在联系。 2、动态几何型中考题关心“不变量”所体现的数学思想方法是数形结合思想,这里常把函数 与方程、函数与不等式联系起来,实际上是一般化与特殊化方法当求变量之间关系时,通常建 立函数模型或不等式模型求解;当求特殊位置关系和值时,常建立方程模型求解 3、解决这类问题时,要搞清图形的变化过程,正确
2、分析变量与其它量之间的内在联系,建立 它们之间的关系;要善于探索动点运动的特点和规律,抓住图形在变化过程中不变的东西;必要 时,多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法。二、考题回顾二、考题回顾(2001 年南京市中考数学试题)如图,E、F 分别是边长为的正方形 ABCD 的边 BC、CD上的点,CE=1,CF=,直线 FE 交 AB 的延长线于 G过线段 FG 上的一个动点 H 作34HMAG,HNAD,垂足分别为 M、N设 HM=x,矩形 AMHN 的面积为 y(1)求 y 与 x 之间的函数关系式;(2)当 x 为何值时,矩形 AMHN 的面积最大,最大面积是多少? 注:本题是典型的
3、函数类问题,是几何中函数关系问题【解解】(1)正方形 ABCD 的边长为 4,CE1,CF,CFAG,BE334 BGCF,BG4BECEHMAG,CBAG,HMBEMGxyx(44BGMG BEHM 34x)x28x34 34(2)yx28x(x3)21234 34x3 时,y 最大,最大面积是 12(2004 年南京市中考数学试题)如图,在矩形 ABCD 中,AB20 cm,BC4 cm,点 P 从 A 开始沿折线 ABCD 以 4 cm/s 的速度移动,点 Q 从 C 开始沿 CD 边以 1 cm/s 的速度移动, 如果点 P、Q 分别从 A、C 同时出发,当其中一点到达 D 时,另一点
4、也随之停止运动设运动时 间为 t(s)2ECBADO(1)t 为何值时,四边形 APQD 为矩形?(2)如图 420,如果P 和Q 的半径都是 2 cm,那么 t 为何值时,P 和Q 外切?注:在运动中寻找特殊位置,利用方程解决问题,这是求解本题的根本所在【分析分析】(1)由矩形的判别方法可列方程 4t=20-t,从而解决问题。(2) P 和Q 外切要分四种情况:如果点 P 在 AB 上运动,当四边形 APQD 为 QD 为矩形时。 如果点 P 在 BC 上运动,此时,t5。则 CQ5,PQCQ54,P 与Q 外离。点 P 在 CD 上运动,且点 P 在点 Q 的右侧。点 P 在 CD 上运动
5、,且点 P 在点 Q 的左侧。【解解】(1)根据题意,当 AP=DQ 时,由 APDQ,A=90,得四边形 APQD 为矩形。此时, 4t=20-t。解得 t=4(s)。t 为 4 s 时,四边形 APQD 为 QD 为矩形。(2)当 PQ=4 时,P 与Q 外切。如果点 P 在 AB 上运动,只有当四边形 APQD 为 QD 为矩形时, PQ=4。由(1),得 t=4(s)。如果点 P 在 BC 上运动,此时,t5。则 CQ5,PQCQ54,P 与Q 外离。如果点 P 在 CD 上运动,且点 P 在点 Q 的右侧。可得CQ=t,CP=4t-24。当 CQ-CP=4 时,P 与Q 外切。此时,
6、t-(4 t-24)=4。解得 t=(s)。如320果点 P 在 CD 上运动,且点 P 在点 Q 的左侧。当 CP-CQ=4 时,P 与Q 外切,此时,4t-24-t=4。解得 t=(s)。点 P 从 A 开始沿折线 A-B-C-D 移动到 D 需要 11 s,点 Q 从 C 开始沿 CD328边移动到 D 需要 20 s,而11,当 t 为 4 s,s,s 时,P 与Q 外切。328 320 328【点评点评】本题中,由于点 P、Q 是矩形 ABCD 边上的两个动点,点 P 运动的速度比点 Q 快,所以 在运动过程中,P 与Q 的位置不断发生变化,这两圆外切也可能出现数种情况,必须全面考
7、虑。(2005 年南京市中考数学试题)如图,形如量角器的半圆 O 的直径 DE12 cm,形如三角板 的ABC 中,ACB90,ABC30,BC12 cm半圆 O 以 2cm/s 的速度从左向右运 动,在运动过程中,点 D、E 始终在直线 BC 上设运动时间为 t(s),当 t0 s 时,半圆 O 在 ABC 的左侧,OC8cm(1)当 t 为何值时,ABC 的一边所在的直线与半圆 O 所在的圆相切?(2)当ABC 的一边所在的直线与半圆 O 所在的圆相切时,如果半圆 O 与直径 DE 围 成的区域与ABC 三边围成的区域有重叠部分,求重叠部分的面积注:例题是从不同侧面考查了三到四种数学思想方
8、法 BQPCD PCDBQAA3E BCDAOEBCDAO【解解】t=1s t= 4s 重叠部面积为 9cm2t=7s t=16s 重叠部分面积为(9+6)cm2 3三、他山之石三、他山之石(2002 年江西省)如图,正三角形 ABC 的边长为 6厘米,O 的半径为 r 厘米,当3 圆心 O 从点 A 出发,沿着线路 AB-BC-CA 运动,回到点 A 时,O 随着点 O 的运动而 移动。CBAO图 920(1)若 r厘米,求O 首次与 BC 边相切时,AO 的长3(2)在O 移动过程中,从切点的个数来考虑,相切有几种不同的情况?写出不同的情 况下,r 的取值范围及相应的切点个数。设O 在移动
9、过程中,在ABC 内部、O 未经过 的部分的面积为 S,在 S0 时,求 S 关于 r 的函数解析式,并写出自变量 r 的取值范围【解解】解: (1)设O 首次与 BC 相切于点 D,则有 ODBC,且 ODr,在 RtBDO3 中,OADCB EEBCDAO4 OBD60, OB2,AOABOB(62)(厘米)。60sin33(2)由正三角形的边长为 6厘米,可得它一边上的高为 9 厘米。3 当O 的半径 r9 厘米时,O 在移动中与ABC 的边共相切三次,即切点个数 为 3。当 0r9 时,O 里移动中与ABC 的边共相切六次,即切点个数为 6。当 r9 时,O 与ABC 不能相切,即切点
10、个数为 0。 (3)如图,易知,在 S0 时,O 在移动中,在ABC 内部未经过的部分为正三角形, 记作ABC,这个正三角形的三边分别与原正三角形三边平行,且平行线间的距离等于 r。连接 AA,并延长 AA,分别交 BC、BC 于 E、F 两点,则 AFBC,AEBC,且 EFr又过点 A作 AGAB 于点 G,则 AGr。 GAA30, AA2r ABC 的高 AEAF3r93rBCAE2(3r) ABC的面积 SBCAE3332321(3r)2 所求解析式为 S3(3r)2(0r333又SBGFBFGM,SBEFBFEN, SBGFSBEF同理可证 SBDGSBDE21 21(05 嘉兴)
11、在坐标平面内,半径为 R 的O 与 x 轴交于点 D(1,0)、E(5,0),与 y 轴的 正半轴相切于点 B。点 A、B 关于 x 轴对称,点 P(a,0)在 x 的正半轴上运动,作直线 AP,作 EHAP 于 H。(1)求圆心 C 的坐标及半径 R 的值;(2)POA 和PHE 随点 P 的运动而变化,若它们全等,求 a 的值;(3)若给定 a=6,试判定直线 AP 与C 的位置关系(要求说明理由)。【解解】(1)连 BC,则 BCy 轴。取 DE 中点 M,连 CM,则 CMx 轴。OD=1,OE=5,OM=3。OB2=ODOE=5,OB=。圆心 C,半径 R=3。5(3, 5)(2)P
12、OAPHE,PA=PE。OA=OB=,OE=5,OP=a,522225,(5)PAaPEa 225(5)2aaa(3)解法一:过点 A 作C 的切线 AT(T 为切点)交 x 正半轴于 Q,设 Q(m,0),则 QE=m-5,QD=m-1,HEPBACOD5ABCDM 65图 1ABCDM 65图 2EQT=QA-AT=QA-AB=252 5m 由 OT2=OEOD,得22(52 5)(5)(1)mmm222 5(5)31011600mmmm600,11mma=6,点P(6,0)在点 Q的右侧,直线 AP 与C 相离。60(,0)11解法二:设射线 AP、BC 交于点 F,作 CTAF 于 T
13、,则AOPCTF,而 AO=,AP=,CTAO CFAP541CF=BF-BC=12-3=9,直线 AP 与C 相离59 59 539414145CTCTR(05 河南)如图 1,中,,点在边上,且ABCRt90C12AC5BCMAB 。6AM(1)动点在边上运动,且与点,均不重合,设DACACxCD 设与的面积之比为,求与之间的函数关系式(写出自变量的取值范ABCADMyyx 围);当取何值时, 是等腰三角形?写出你的理由。xADM(2)如图 2,以图 1 中的为一组邻边的矩形中,动点在矩形边上运动一周,能使是以 M 为 顶角的等腰三角形共有多少个(直接写结果,不要求说明理由)?【解解】64
14、2-25Q TAMECBD642-2510FPTAMECBOD6ABCDPP图 1ABCDP图 2(05 无锡)已知,点 P 是正方形 ABCD 内的一点,连 PA、PB、PC。(1)将PAB 绕点 B 顺时针旋转 90到PCB 的位置(如图 1)。设 AB 的长为 a,PB 的长为 b(ba),求PAB 旋转到PCB 的过程中边 PA 所扫过区 域(图 1 中阴影部分)的面积;若 PA=2,PB=4,APB=135,求 PC 的长。(2)如图 2,若 PA2+PC2=2PB2,请说明点 P 必在对角线 AC 上。【解解】(1)S阴影=22 4ba7连结 PP,证PBP为等腰直角三角形,从而 PC=6;(2)将PAB 绕点 B 顺时针旋转 90到PCB 的位置,由勾股逆定理证出PCP=90, 再证BPC+APB=180,即点 P 在对角线 AC 上。(05 新疆)四边形 OABC 是等腰梯形,OABC。在建立如图的平面直角坐标系中,A(4,0), B(3,2),点 M 从 O 点以每秒 3 个单位的速度向终点 A 运动;同时点 N 从 B 点出发以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动,过点 N 作 NP 垂直于 x 轴于 P 点连结 AC 交 NP 于 Q,连结 MQ。(1)写出 C 点的坐标;(2)若