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1、1E HFCNMGBAD动态几何问题动态几何问题一、知识方法一、知识方法1、动态几何问题是关于几何图形存在动点、动图形等方面的问题。是用运动变化的观点，创 设一个由静止的定态到按某一规则运动的动态情景，通过观察、分析、归纳、推理，动中窥定， 变中求静，以静制动，从中探求本质、规律和方法，明确图形之间的内在联系。 2、动态几何型中考题关心“不变量”所体现的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数 与方程、函数与不等式联系起来，实际上是一般化与特殊化方法当求变量之间关系时，通常建 立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系和值时，常建立方程模型求解 3、解决这类问题时，要搞清图形的变化过程，正确
2、分析变量与其它量之间的内在联系，建立 它们之间的关系；要善于探索动点运动的特点和规律，抓住图形在变化过程中不变的东西；必要 时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法。二、考题回顾二、考题回顾（2001 年南京市中考数学试题）如图，E、F 分别是边长为的正方形 ABCD 的边 BC、CD上的点，CE=1，CF=，直线 FE 交 AB 的延长线于 G过线段 FG 上的一个动点 H 作34HMAG，HNAD，垂足分别为 M、N设 HM=x，矩形 AMHN 的面积为 y(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；(2)当 x 为何值时，矩形 AMHN 的面积最大，最大面积是多少? 注：本题是典型的
3、函数类问题，是几何中函数关系问题【解解】（1）正方形 ABCD 的边长为 4，CE1，CF，CFAG，BE334 BGCF，BG4BECEHMAG，CBAG，HMBEMGxyx（44BGMG BEHM 34x）x28x34 34（2）yx28x（x3）21234 34x3 时，y 最大，最大面积是 12（2004 年南京市中考数学试题）如图，在矩形 ABCD 中，AB20 cm，BC4 cm，点 P 从 A 开始沿折线 ABCD 以 4 cm/s 的速度移动，点 Q 从 C 开始沿 CD 边以 1 cm/s 的速度移动， 如果点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，当其中一点到达 D 时，另一点
4、也随之停止运动设运动时 间为 t（s）2ECBADO（1）t 为何值时，四边形 APQD 为矩形？（2）如图 420，如果P 和Q 的半径都是 2 cm，那么 t 为何值时，P 和Q 外切？注：在运动中寻找特殊位置，利用方程解决问题，这是求解本题的根本所在【分析分析】(1)由矩形的判别方法可列方程 4t=20-t，从而解决问题。(2) P 和Q 外切要分四种情况：如果点 P 在 AB 上运动，当四边形 APQD 为 QD 为矩形时。 如果点 P 在 BC 上运动，此时，t5。则 CQ5，PQCQ54，P 与Q 外离。点 P 在 CD 上运动，且点 P 在点 Q 的右侧。点 P 在 CD 上运动
5、，且点 P 在点 Q 的左侧。【解解】(1)根据题意，当 AP=DQ 时，由 APDQ，A=90，得四边形 APQD 为矩形。此时， 4t=20-t。解得 t=4(s)。t 为 4 s 时，四边形 APQD 为 QD 为矩形。(2)当 PQ=4 时，P 与Q 外切。如果点 P 在 AB 上运动，只有当四边形 APQD 为 QD 为矩形时， PQ=4。由(1)，得 t=4(s)。如果点 P 在 BC 上运动，此时，t5。则 CQ5，PQCQ54，P 与Q 外离。如果点 P 在 CD 上运动，且点 P 在点 Q 的右侧。可得CQ=t，CP=4t-24。当 CQ-CP=4 时，P 与Q 外切。此时，
6、t-(4 t-24)=4。解得 t=(s)。如320果点 P 在 CD 上运动，且点 P 在点 Q 的左侧。当 CP-CQ=4 时，P 与Q 外切，此时，4t-24-t=4。解得 t=(s)。点 P 从 A 开始沿折线 A-B-C-D 移动到 D 需要 11 s，点 Q 从 C 开始沿 CD328边移动到 D 需要 20 s，而11，当 t 为 4 s，s，s 时，P 与Q 外切。328 320 328【点评点评】本题中，由于点 P、Q 是矩形 ABCD 边上的两个动点，点 P 运动的速度比点 Q 快，所以 在运动过程中，P 与Q 的位置不断发生变化，这两圆外切也可能出现数种情况，必须全面考
7、虑。（2005 年南京市中考数学试题）如图，形如量角器的半圆 O 的直径 DE12 cm，形如三角板 的ABC 中，ACB90，ABC30，BC12 cm半圆 O 以 2cm/s 的速度从左向右运 动，在运动过程中，点 D、E 始终在直线 BC 上设运动时间为 t（s），当 t0 s 时，半圆 O 在 ABC 的左侧，OC8cm（1）当 t 为何值时，ABC 的一边所在的直线与半圆 O 所在的圆相切？（2）当ABC 的一边所在的直线与半圆 O 所在的圆相切时，如果半圆 O 与直径 DE 围 成的区域与ABC 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积注：例题是从不同侧面考查了三到四种数学思想方
8、法 BQPCD PCDBQAA3E BCDAOEBCDAO【解解】t=1s t= 4s 重叠部面积为 9cm2t=7s t=16s 重叠部分面积为（9+6）cm2 3三、他山之石三、他山之石（2002 年江西省）如图，正三角形 ABC 的边长为 6厘米，O 的半径为 r 厘米，当3 圆心 O 从点 A 出发，沿着线路 AB-BC-CA 运动，回到点 A 时，O 随着点 O 的运动而 移动。CBAO图 920（1）若 r厘米，求O 首次与 BC 边相切时，AO 的长3（2）在O 移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同的情 况下，r 的取值范围及相应的切点个数。设O 在移动
9、过程中，在ABC 内部、O 未经过 的部分的面积为 S，在 S0 时，求 S 关于 r 的函数解析式，并写出自变量 r 的取值范围【解解】解： （1）设O 首次与 BC 相切于点 D，则有 ODBC，且 ODr，在 RtBDO3 中，OADCB EEBCDAO4 OBD60， OB2，AOABOB（62）（厘米）。60sin33（2）由正三角形的边长为 6厘米，可得它一边上的高为 9 厘米。3 当O 的半径 r9 厘米时，O 在移动中与ABC 的边共相切三次，即切点个数 为 3。当 0r9 时，O 里移动中与ABC 的边共相切六次，即切点个数为 6。当 r9 时，O 与ABC 不能相切，即切点
10、个数为 0。 （3）如图，易知，在 S0 时，O 在移动中，在ABC 内部未经过的部分为正三角形， 记作ABC，这个正三角形的三边分别与原正三角形三边平行，且平行线间的距离等于 r。连接 AA，并延长 AA，分别交 BC、BC 于 E、F 两点，则 AFBC，AEBC，且 EFr又过点 A作 AGAB 于点 G，则 AGr。 GAA30， AA2r ABC 的高 AEAF3r93rBCAE2（3r） ABC的面积 SBCAE3332321（3r）2 所求解析式为 S3（3r）2（0r333又SBGFBFGM，SBEFBFEN, SBGFSBEF同理可证 SBDGSBDE21 21（05 嘉兴）
11、在坐标平面内，半径为 R 的O 与 x 轴交于点 D（1，0）、E（5，0），与 y 轴的 正半轴相切于点 B。点 A、B 关于 x 轴对称，点 P（a，0）在 x 的正半轴上运动，作直线 AP，作 EHAP 于 H。（1）求圆心 C 的坐标及半径 R 的值；（2）POA 和PHE 随点 P 的运动而变化，若它们全等，求 a 的值；（3）若给定 a=6，试判定直线 AP 与C 的位置关系（要求说明理由）。【解解】（1）连 BC，则 BCy 轴。取 DE 中点 M，连 CM，则 CMx 轴。OD=1，OE=5，OM=3。OB2=ODOE=5，OB=。圆心 C，半径 R=3。5(3, 5)（2）P
12、OAPHE，PA=PE。OA=OB=，OE=5，OP=a，522225,(5)PAaPEa 225(5)2aaa（3）解法一：过点 A 作C 的切线 AT（T 为切点）交 x 正半轴于 Q，设 Q（m,0）,则 QE=m-5,QD=m-1,HEPBACOD5ABCDM 65图 1ABCDM 65图 2EQT=QA-AT=QA-AB=252 5m 由 OT2=OEOD，得22(52 5)(5)(1)mmm222 5(5)31011600mmmm600,11mma=6，点P（6，0）在点 Q的右侧，直线 AP 与C 相离。60(,0)11解法二：设射线 AP、BC 交于点 F，作 CTAF 于 T
13、，则AOPCTF，而 AO=，AP=，CTAO CFAP541CF=BF-BC=12-3=9，直线 AP 与C 相离59 59 539414145CTCTR（05 河南）如图 1，中，,点在边上，且ABCRt90C12AC5BCMAB 。6AM(1)动点在边上运动，且与点，均不重合，设DACACxCD 设与的面积之比为，求与之间的函数关系式（写出自变量的取值范ABCADMyyx 围）；当取何值时， 是等腰三角形？写出你的理由。xADM（2）如图 2，以图 1 中的为一组邻边的矩形中，动点在矩形边上运动一周，能使是以 M 为 顶角的等腰三角形共有多少个（直接写结果，不要求说明理由）？【解解】64
14、2-25Q TAMECBD642-2510FPTAMECBOD6ABCDPP图 1ABCDP图 2(05 无锡)已知，点 P 是正方形 ABCD 内的一点，连 PA、PB、PC。（1）将PAB 绕点 B 顺时针旋转 90到PCB 的位置（如图 1）。设 AB 的长为 a，PB 的长为 b（ba），求PAB 旋转到PCB 的过程中边 PA 所扫过区 域（图 1 中阴影部分）的面积；若 PA=2，PB=4，APB=135，求 PC 的长。（2）如图 2，若 PA2+PC2=2PB2，请说明点 P 必在对角线 AC 上。【解解】（1）S阴影=22 4ba7连结 PP，证PBP为等腰直角三角形，从而 PC=6;（2）将PAB 绕点 B 顺时针旋转 90到PCB 的位置，由勾股逆定理证出PCP=90， 再证BPC+APB=180，即点 P 在对角线 AC 上。(05 新疆)四边形 OABC 是等腰梯形，OABC。在建立如图的平面直角坐标系中，A（4，0）， B（3，2），点 M 从 O 点以每秒 3 个单位的速度向终点 A 运动；同时点 N 从 B 点出发以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动，过点 N 作 NP 垂直于 x 轴于 P 点连结 AC 交 NP 于 Q，连结 MQ。（1）写出 C 点的坐标；（2）若
