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1、 常微分方程复习题常微分方程复习题一、填空题一、填空题1微分方程的阶数是_.0)(22xydxdy dxdyn答答：12形如_ 的方程称为齐次方程.答：答： )(xygdxdy3方程的基本解组是 04 yy答：答：.cos2 ,sin2xx1. 二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件是 )(),(21xyxy答：答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）2. 方程的基本解组是 02 yyy答：答：xxxe,e3. 若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是 ( ) t( ) t( )XA t X( ) t( ) t。4.一阶微分方程是全微分方程的充分必要条件是 0),(),(d
2、yyxNdxyxM。5. 方程有只含的积分因子的充要条件是 0),(),(dyyxNdxyxMx。有只含的积分因子的充要条件是 。y6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点处 的切线斜率为，则曲线方程yx,yx2为 。7. 称为 n 阶齐线性微分方程。8. 常系数非齐线性方程(其中是 m 次( )(1) 11( )nnx nnmya yaya yePx ( )mPx多项式)中，则方程有形如 的特解。9. 二阶常系数线性微分方程有一个形如 的特解。32xyyye10. 微分方程的一般解为 。4210yyy9. 微分方程的阶数为 。4230xyyy10. 若为齐次线性方程的 n 个线性无关解，则这一
3、齐线性方程的( )(0,1,2, )ix t inL通解可表为 .11. 设为非齐次线性方程的一个特解, 是其对应的齐次线性( )x t( )(0,1,2, )ix t inL方程的一个基本解组, 则非齐线性方程的所有解可表为 .12. 若是齐次线性方程( )(0,1,2, )ix t inL的个解，为其朗斯基行列式，则满足( )(1) 11( )( )( )0nn nnya x yax yax y n)(tw)(tw一阶线性方程 。答：答：1( )0wa x w13. 函数 是微分方程 的通解.02 yyy14. 方程的基本解组是 02 yyy15. 常系数方程有四个特征根分别为(二重根)，
4、那么该方程有基本解组 11,0, 116. 一定存在一个基解矩阵，如果是的任一解，那( )YA x Y ( )x( )x( )YA x Y 么 。( )x17.若是的基解矩阵，则向量函数= 是)(t( )XA t X )(t的满足初始条件的解；向量函数= 是( )( )XA t XF t 0)(0t)(t的满足初始条件的解。( )( )XA t XF t )(0t18. 设分别是方程组，的解，则12( ),( )X tXt1( )( )XA t XF t 2( )( )XA t XF t 满足方程的一个解可以为 。12( )( )( )XA t XF tF t 19. 设为非齐次线性方程组的一
5、个特解, 是其对应的齐次*X( )( )XA t XF t )(t线性方程组的基解矩阵, 则非齐线性方程组的所有解可表( )XA t X ( )( )XA t XF t 为 .20.方程组的个解线性无关的充要条件是 .( )XA t X n12( ),( ),( )nX tXtXtL21. 若矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别是12,nv vvL，那么矩阵= 是常系数线性方程组的一个基12,n L( ) tXAX 解矩阵。二、单项选择题二、单项选择题1阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个n（A）； （B）1； （C）+1； （D）+2.nnnn2一
6、阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ） （A）不是其对应齐次微分方程组的解； （B）是非齐次微分方程组的解；（C）是其对应齐次微分方程组的解； （D）是非齐次微分方程组的通解.3若，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程)(1xy)(2xy的通解可用这两个解表示为（ C ） （A）； （B）；)()(21xx)()(21xx（C）； （D）.)()()(121xxxC)()(21xxC4下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) ； (B) ；2210xx 2 yxy (C) ； (D) (c 为常数）.2222uuu txy2yxc5. 下列微分方程是线性的是（ ）(A)
7、； (B) ； (C)； (D).22yxy 2xyye20yx2yyxy6. 方程特解的形状为( )2232xyyyx e(A)； (B)；22 1xyax ey22 1()xyaxbxc e(C)； (D).222 1()xyxaxbxc e222 1()xyxaxbxc e7. 下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A) ； (B)； (C)； (D).4,x2,2 ,xx x225,cos,sinxx21,2, , x x8. 下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)； (B)；20t dtxdxsin1x (C)(c 为常数)； (D). 1 yxc 22220uu xy9. 下列微
8、分方程是线性的是（ ）(A)； (B)； (C)； (D).21yy 1 1dy dxxy2ybycx 40yxy10. 方程特解的形状为( )22( cos2sin )xyyyexxx(A) ；1()cossin xyeAxBxCx(B) ；yeAxxCxx 1cossin (C) ；yeAxBxCxDxx 1()cos()sin (D).yxeAxBxCxDxx 1()cos()sin 11. 下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A); (B)；31, , x x222, ,xx x(C)； (D).21,sin,cos2xx225,sin (1),cos (1)xx12. 下列方程中
9、为常微分方程的是（ ）(A)； (B)；2210xy 2xyy (C)； (D)(c 为常数).222222uuu xy2xyc13. 下列微分方程是线性的是（ ）(A)dy dxy x； (B)； (C)； (D) .261yy3sinyyx 2cosyyyx14. 方程特解的形状为( )2sinyyx(A) ； (B) yAxx1sin； )sincos(1xBxAxy(C)yBxxcos； (D)yAxxx12(cossin ).15. 下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) ； (B)； 2220xyzycex(C) ； (D) y=c1cost+c2sint (c1, c2为常数).
10、22uu tx16. 下列微分方程是线性的是（ ）(A) ； (B)；( )( )x txf t3cosyyx (C) ； (D). 2xyy41 3yyy17. 方程特解的形状为( )23cosxyyyex(A)； (B) ；yAxBx1cossinyAex 1(C)； (D).yeAxBxx 1(cossin )yAxexx 1cos18. 下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A) ； (B) ；23,ttte ee20, , t t(C) ； (D) 4t, 2t3, 6t+8.)22cos(),1(sin12tt，19. 下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) x3+1=0； (B
11、)； (C)； (D) .ycex2 2 20uuatx2xyye20. 下列微分方程是线性的是（ ）(A)； (B)； (C) ； (D) xdx+ydy=0.221yyx 2cosyyx 222yyx21. 方程特解的形状为( )36916xyyye (A) ； (B)；3 1xyAeyAx ex 123(C) ； (D).yAxex 13yeAxBxx 1333(sincos)22. 下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)； (B)； (C)； (D).2,xxxexex e222,cos, cos xx21,2,x5420,xxe x e x23. 微分方程y3y+2y=2x2e
12、x的特解 y*的形式是 ( ) (A) (ax+b)ex (B) (ax+b)xex (C) (ax+b)+cex (D) (ax+b)+cxex24. 微分方程的通解是 y=( )230yyy(A)； (B) ； (C) ； (D) .33xxc xc x12 3c ec exx 123c ec exx 12325. 设是线性非齐次方程的特解，则yxyxyx123( ),( ),( )( )( )( )ya x yb x yf x( )yccyxc yxc yx()( )( )( )11211223(A) 是所给微分方程的通解； (B) 不是所给微分方程的通解；(C) 是所给微分方程的特解； (D) 可能是所给微分方程的通解 也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解.26. 微分方程的特解的形式是 y=（ ） yyx421 2cos(A)； (B)； cos2ax cos2axx(C)； (D).sin2cos2axbxsin2cos2
