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1、20162016 年湖南高考数学备考：专项练习及答案汇总年湖南高考数学备考：专项练习及答案汇总题型一、利用归纳推理求解相关问题例 1：如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第 1 个图形用了 3根火柴，第 2 个图形用了 9 根火柴，第 3 个图形用了 18 根火柴，则第 2014 个图形用的火柴根数为_。破题切入点：观察图形的规律，写成代数式归纳可得。答案：30212015解析：由题意，第 1 个图形需要火柴的根数为 31;第 2 个图形需要火柴的根数为 3(1+2);第 3 个图形需要火柴的根数为 3(1+2+3);由此，可以推出，第 n 个图形需要火柴的根数为 3(1+2+3
2、+n)。所以第 2014 个图形所需火柴的根数为 3(1+2+3+2014)=3=30212015。题型二、利用类比推理求解相关问题例 2：如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理 c2=a2+b2。空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为 S1，S2，S3，截面面积为 S，类比平面中的结论有_。破题切入点：由平面图形中各元素到空间几何体中各元素的类比。答案：S2=S+S+S解析：建立从平面图形到空间图形的类比，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性质时，注意平面几何中点的性
3、质可类比推理空间几何中线的性质，平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质，平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质。所以三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2=S+S+S。总结提高：(1)归纳推理的三个特点归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所得到的结论是未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围;由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否准确，还需要经过逻辑推理和实践检验，因此归纳推理不能作为数学证明的工具;归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助发现问题和提出问题。(2)类比推理的一般步骤定类
4、，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;推测，即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想;检验，即检验猜想的正确性，要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力。1.已知 x0，观察不等式 x+2=2，x+=+3=3，由此可得一般结论：x+n+1(nN*)，则 a 的值为_.答案：nn解析：根据已知，续写一个不等式：x+=+4=4，由此可得 a=nn。2.在平面内点 O 是直线 AB 外一点，点 C 在直线 AB 上，若=+，则 +=1;类似地，如果点 O 是空间内任一点，点 A，B，C，D 中任意三点均不共线，并且这四点在同一平面内，若
5、=x+y+z，则 x+y+z=_。答案：-1解析：在平面内，由三角形法则，得=-，=-。因为 A，B，C 三点共线，所以存在实数 t，使=t，即-=t(-)，所以=-+(+1)。因为=+，所以 =-，=+1，所以 +=1。类似地，在空间内可得=+，+=1。因为=-，所以 x+y+z=-1。3.观察下列各式：55=3 12556=15 625，57=78 125，58=390 625，59=1 953 125，则 52 014 的末四位数字为_.答案：5625解析：由观察易知 55 的末四位数字为 3125，56 的末四位数字为 5625，57 的末四位数字为 8125，58 的末四位数字为 0
6、625，59 的末四位数字为 3125，故周期 T=4。又由于 2 014=5034+2，因此 52 014 的末四位数字是 5625。4.观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，则 a10+b10=_。答案：123解析：记 an+bn=f(n)，则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11;f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=
7、123，即 a10+b10=123。5.已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_。答案：正四面体的内切球的半径是其高的解析：设正四面体的每个面的面积是 S，高是 h，内切球半径为 R，由体积分割可得：SR4=Sh，所以 R=h。6.观察下列等式：(1+1)=21(2+1)(2+2)=2213(3+1)(3+2)(3+3)=23135照此规律，第 n 个等式可为_。答案：(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)解析：由已知的三个等式左边的变化规律，得第 n 个等式左边为(n+1)(n+2)(n+n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第 n 个等
8、式右边为 2n 与 n 个奇数之积，即 2n13(2n-1)。7.(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，第 n 个三角形数为=n2+n，记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：三角形数 N(n，3)=n2+n，正方形数 N(n，4)=n2，五边形数 N(n，5)=n2-n，六边形数 N(n，6)=2n2-n可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10，24)=_.答案：1 000解析：由 N(n，4)=n2，N(n，6)=2n2-n，可以推测：当 k 为偶数时，N(n，k)=
9、n2+n，N(10，24)=100+10=1 100-100=1 000。8.两点等分单位圆时，有相应正确关系为 sin +sin(+)=0;三点等分单位圆时，有相应正确关系为 sin +sin(+)+sin(+)=0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为_。答案：sin +sin(+)+sin(+)+sin(+)=0解析：由类比推理可知，四点等分单位圆时， 与 + 的终边互为反向延长线，+与 +的终边互为反向延长线。9.(2013陕西)观察下列等式12=1，12-22=-3，12-22+32=6，12-22+32-42=-10，照此规律，第 n 个等式可为_。答案：12-22+32
10、-42+(-1)n+1n2=(-1)n+1。解析：观察等式左边的式子，每次增加一项，故第 n 个等式左边有 n 项，指数都是 2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(-1)n+1n2。等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为 1，3，6，10，15，21，设此数列为an，则 a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，a5-a4=5，an-an-1=n，各式相加得 an-a1=2+3+4+n，即an=1+2+3+n=。所以第 n 个等式为 12-22+32-42+(-1)n+1n2=(-1)n+1。10.如图 1 是一个边长为 1 的正三角形，分别连结这个三角形三边中点，将原三角形
11、剖分成 4 个三角形(如图 2)，再分别连结图 2 中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成 7 个三角形(如图 3)，依此类推。设第 n 个图中原三角形被剖分成 an 个三角形，则第 4 个图中最小三角形的边长为_;a100=_。答案：298解析：由三角形的生成规律得，后面的每一个图形中小三角形的边长均等于前一个图形中小三角形边长的，即最小三角形的边长是以 1 为首项，为公比的等比数列，则第4 个图中最小三角形的边长等于 1=，由 a2-a1=a3-a2=an-an-1=3 可得，数列an是首项为 1，公差为 3 的等差数列，则 a100=a1+993=1+297=298。11.观察下
12、列不等式：1+0.02。10.为了解某校今年准备报考飞行员学生的体重(单位：kg)情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为123，第 2 小组的频数为 12，则报考飞行员的总人数是_。答案：48解析：据频率分布直方图可得第四与第五小组的频率之和为 5(0.013+0.037)=0.25，故前三个小组的频率为 1-0.25=0.75，第 2 小组的频率为 0.75=0.25，又其频数为 12，故总人数为=48 人。11.(2014北京)从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数
13、分布表和频率分布直方图：组号、分组、频数：1， 0,2)，6， 2 ，2,4)，8 ，3， 4,6)，17，4 ，6,8)，22，5， 8,10)，25，6，10,12)，12，7，12,14)，6，8，14,16)，2，9，16,18)，2 合计：100。(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率;(2)求频率分布直方图中的 a，b 的值;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组。(只需写出结论)解：(1)根据频数分布表，100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有
14、6+2+2=10(名)，所以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 1-=0.9。从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9。(2)课外阅读时间落在组4,6)的有 17 人，频率为 0.17，所以 a=0.085。课外阅读时间落在组8,10)的有 25 人，频率为 0.25，所以 b=0.125。(3)样本中的 100 名学生课外阅读时间的平均数在第 4 组。12.(2014广东)某车间 20 名工人年龄数据如下表：(1)求这 20 名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图;(3)求这 20 名工人年龄的
15、方差。解：(1)这 20 名工人年龄的众数为 30;这 20 名工人年龄的极差为 40-19=21。(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图如下：(3)这 20 名工人年龄的平均数为：(19+283+293+305+314+323+40)20=30;所以这 20 名工人年龄的方差为：(30-19)2+(30-28)2+(30-29)2+(30-30)2+(30-31)2+(30-32)2+(30-40)2=12.6。题型一、古典概型问题例 1：某班级的某一小组有 6 位学生，其中 4 位男生，2 位女生，现从中选取 2 位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：(1)选取的 2 位学生都是男生;(2)选取的 2 位学生一位是男生，另一位是女生。破题切入点：先求出任取 2 位学生的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数，再利用古典概型概率公式求解。解：(1)设 4 位男生的编号分别为 1,2,3,4,2 位女生的编号分别为 5,6。从 6 位学生中任取 2 位学生的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2
