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1、1直觉模糊集的性质及应用直觉模糊集的性质及应用摘要摘要：美国学者 L.A.Zadeh 于 1965 年提出模糊集合的概念以来，大量处理不确定性的理论陆续开始提出，其中多数是对 Zadeh 的模糊集合理论的推广。学者 K.T.Atanassov 在 1984 年推广了这一理论，提出了直觉模糊集和区间值直觉模糊集两个概念，接着于 1999 年又给出了格上的直觉模糊集理论。本文以直觉模糊集为研究对象，对广义区间值直觉模糊集的相关概念和性质进行了研究，推广了熵和子集度的概念，讨论了熵、子集度以及相似度三者之间的关系。 关键词关键词：直觉模糊集；区间值；熵；子集度；相似度Properties and A
2、pplications of Intuitionistic Fuzzy SetsAbstract: Since L.A.Zadeh introduced fuzzy sets in 1965, a lot of new theories treating imprecision and uncertainty have been introduced. Some of them are extensions of fuzzy set theory. K.T.Atanassov extended this theory, proposed the definition of intuitioni
3、stic fuzzy sets and interval-valued intuitionistic fuzzy sets (IVIFS, for short). And then, in the year 1999, Atanassov defined a Lattice-intuitionistic fuzzy set.This dissertation focuses on intuitionistic fuzzy sets, which covers conception and properties of VIFS, extends entropy and subsethood on
4、to VIFS and discusses the relation among entropy, subsethood and similarity. Keywords: Intutionistic fuzzy sets； Interval valued ； Entropy；Subsethood； Similarity21、引、引 言言在十九世纪末，德国数学家 Cantor 创立了集合论。在 Cantor 的集合论中，对于在论域中的任何一1个对象（元素） ，它与集合之间的关系只能是属于或不属于的关系，这种特征函数值取值被限制为 0 和 1的二值逻辑已成为现代数学的基础。随着科学技术的发展，C
5、antor 的集合论在表示和处理各种模糊性的事物方面已显示出各种不足，而这种模糊性恰恰是普遍存在的。在人工智能的研究中，传统数学已经被证明无法处理具有上述特征的信息。1965 年之后，Zadeh 教授于 1975 年又提出了区间模糊集理论 ，即对一个对象（元素）属于223某个集合的特征函数不是取值域0，1中的一个单位，而是取0，1上的一个子区间。为了研究出更接近于人类思维模式的模糊推理方法，美国学者 K.T.Atanassov 提出了直觉模糊集理论，是对模糊集理论45概念的推广。在直觉模糊集中，一个对象（元素）对某个集合的隶属函数也是区间0，1上的一个子区间，表示为，,其中 、分别表示该对象（
6、元素）属于和不属于该集合的程度。( )x( )x( )x( )x直觉模糊集是一种比模糊集更为一般的分析方法，处理模糊信息的能力也更强。现在许多人工智5能程序都是基于模糊集的，已经取得了很好的效果，若将直觉模糊集应用于其中必将使其更符合实际，达到于接近智能的效果。以目前科技的发展更新速度，我们有理由相信，有朝一日，直觉模糊集必将6代替模糊集被应用于世界的各个角落。7目前，国内外对直觉模糊集的研究正在逐步兴起，其中 Gehrke Mai，C.Walker.E.Walker.I.B.Turken，M.B.Gorzalczany 等学者对区间模糊集做了研究。直觉模糊集理论的研究则刚刚开始不久，作为一种
7、新的模糊理论，直觉模糊集具有模糊集无法比拟的优势 。国外的S.M.Chen，I.B.Turken，国内的李凡，刑汉承，裴道武等学者对此做了大量的工作。在相似度量方面，提出了多种相似度量的算法。W.J.Wang，P.Burillo，H.Bustince 等学者，在模糊熵方面有较多研究。由于直觉模糊集是“双模糊” ，因此认为现有模糊数学成果只要把模糊集理论的隶属度扩展为和( )x( )x两个隶属度，就可以顺利过渡到直觉模糊集来。( )x本文主要根据上述思想，对直觉模糊集理论的性质及应用进行研究和分析，试图以现有的几类模糊集理论的研究成果对直觉模糊集理论进行丰富。本文结构如下：首先第二章提出广义区间
8、值直觉模糊集的概念，以及相关性质。第三章首先在区间值直觉模糊集上给出了一种用于比较集合间的模糊程度的概念清晰度，并由此将直觉模糊集中熵的概念推广到了广义区间直觉模糊集上，同时给出了一种熵的构造函数；在第三章第二节中，将讨论熵、子集度和相似度三者间的关系，通过讨论，进一步发展和完善了现有的直觉模糊集理论。32、直觉模糊集的推广及基本性质、直觉模糊集的推广及基本性质在本章中，我们将给出广义区间值直觉模糊集的定义，并且讨论其性质。得出的推广结论将为我们在下一章提出的概念和理论，在，中的实施和应用提供了理论依据。()IFS X()F X()P X2.1 广义区间值直觉模糊集的定义广义区间值直觉模糊集的
9、定义定义定义2.1称中的闭区间 为上的区间数，上的区间数全体60,1,aaa(01)aa0,10,1记为。 L在L中规定序关系（也用表示）： 且 “ababab易证是中的偏序关系，是一个完备格，其中“L,“L ，；,ababab,ababab， ，,iiii Ii Ii Iaaa ,iiii Ii Ii Iaaa 且中最大元为，最小元为。,“L 11,100,0定义上运算如下： ，易证具有如下性质：,“L “C1,1Caaa“C1、；()CCaa2、，；()CCCabab()CCCabab3、；(), ()cccc iiiii Ii Ii Ii Iaaaa 4、若，则。ab,CCaba bL下
10、面我们给出上的直觉模糊集的概念：L定义定义2.2 设： ，,( ),( ) ,AAAxxxxX 其中 且 ， 且满足条件( ):AxXL( ):AxXL，0( )( )1C AAxx()xX 则是上的广义区间值直觉模糊集。AX简单起见，后面 记作。且记,( ),( ) ,AAAxxxxX ( ),( )AAAxx4，L上的广义区间值直觉模糊集的全体为( )( ),( ),( )( ),( )AAAAAAxxxLxxxL。()VIFS X对于，我们定义关系为：且。易证,()A BVIFS X“( )( )ABABxx( )( )ABxx也是上的偏序关系，且是一个完备格。“()VIFS X(),“
11、VIFS X 定义运算“C”：，则易证运算“C”具有以下特征：( ),( )C AAAxx1、；()CCAA2、，；()CCCABAB()CCCABAB3、；(), ()cccc iiiii Ii Ii Ii IAAAA 4、若，则 。ABCCAB,()A BVIFS X令I，分别代表中的最大元和最小元，则有：。()VIFS X( )1,( )0;0,1IIxx定义定义 2.3 设 ，7,( ),( ) ,BBBx Mx NxxX 其中 ， 且满足条件：:,:BBMXL NXL()xX ，0( )( )1BBMxNx则称 B 是 X 上的区间值直觉模糊集（interval-valued int
12、uitionistic fuzzy set） ，简记作：。()IVIFS X定义定义 2.4 设 ，8,( ),( ) ,AAAxxxxX 其中 ， 且满足条件：( ):0,1,( ):0,1AAxXxX，0( )( )1AAxx则称A是X上的直觉模糊集(intuitionistic fuzzy set)，简记作。()IFS X2.2 广义区间值直觉模糊集的性质广义区间值直觉模糊集的性质定理 2.1 到定理 2.3 给出了广义区间直觉模糊集的一些重要性质：9定理定理 2.1 令，则： ；()AVIFS X1.1( )0AAx()xX 。2.1( )0AAvx()xX 5证明：证明：因为，所以。
13、2 同理可证( )( )(1)0CC AAxx( )0Ax定理定理2.2 ()CAAAVIFS X 证明：证明：假设， 则( ),( )AAAxx，( ),( )C AAAxx( )( ),( )( )C AAAAAAxxxx若， 则 CAA( )( )0,( )( )1AAAAxxxx矛盾，所以假设不成立，所以 ，得证。()CAAAVIFS X 定理定理2.3 令，则 ()AVIFS X( )( )( )( )CCAAA AA Axxxx()xX 证明：证明： 由定义2.2 ( )( )( )( ),( )( )CAAAAAAA Axxvxx vxx ( )( )( )( ),( )( )C
14、AAAAAAA Axxvxx vxx 由 知， ( )( )CCA AA Axx( )( )( )( )AAAAxxxx( )( )( )( )AAAAxxxx则有 ，即( )( ),( )( )AAAAxxxx( )( )AAxx自然可证下面，定理2.4将讨论的关系。()()IVIFS XVIFS X与定理定理2.4 是的子集。6()IVIFS X()VIFS X证明：证明：对任意区间值直觉模糊集B，有,( ),( ) ,()BBBx Mx NxxXVIFS X 其中 ，:,:BBMXL NXL0( )( )1()BBMxNxxX 即：0( )( )1( )1( )BBBBMxMxNxNx 由定义2.2可知 ：，则B属于0( )( )1()C BBMxNxxX ()VIFS X因此是的一个子集，得证。5()IVIFS X()VIFS X63、广义区间值直觉模糊集中的熵、子集度和相似度、广义区间值直觉模糊集中的熵、子集度和相似度自从1965年美国学者L.A.Zadeh提出模糊熵的概念以来，模糊熵作为集合模糊程度一种度量方法，相8继被大量文献广泛引用。本章在提出广义区间值直觉模糊集上清晰度的概念后，将模糊熵由直觉模糊集推广到了广义区间值直觉模糊集上。3.1 广义区间值直觉模糊集上的熵广义区间值
