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1、第三章 效用论 1. 已知一件衬衫的价格为 80 元，一份肯德基快餐的价格为 20 元，在某消费者关于这 两种商品的效用最大化的均衡点上，一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率 MRS 是多少？ 解答：按照两商品的边际替代率 MRS 的定义公式，可以将一份肯德基快餐对衬衫的边 际替代率写成：MRSXYYX其中，X 表示肯德基快餐的份数；Y 表示衬衫的件数；MRSXY表示在维持效用水平不 变的前提下，消费者增加一份肯德基快餐消费时所需要放弃的衬衫的消费数量。 在该消费者实现关于这两种商品的效用最大化时，在均衡点上有MRSXYPXPY即有 MRSXY0.252080 它表明，在效用最大化的均衡点上，该消
2、费者关于一份肯德基快餐对衬衫的边际替代 率 MRS 为 0.25。2. 假设某消费者的均衡如图 31(即教材中第 96 页的图 322)所示。其中，横轴 OX1 和纵轴 OX2分别表示商品 1 和商品 2 的数量，线段 AB 为消费者的预算线，曲线图 31 某消费者的均衡 U 为消费者的无差异曲线，E 点为效用最大化的均衡点。已知商品 1 的价格 P12 元。(1)求消费者的收入； (2)求商品 2 的价格 P2； (3)写出预算线方程； (4)求预算线的斜率； (5)求 E 点的 MRS12的值。 解答：(1)图中的横截距表示消费者的收入全部购买商品 1 的数量为 30 单位，且已知 P12
3、 元，所以，消费者的收入 M2 元3060 元。 (2)图中的纵截距表示消费者的收入全部购买商品 2 的数量为 20 单位，且由(1)已知收入 M60 元，所以，商品 2 的价格 P23 元。M206020 (3)由于预算线方程的一般形式为P1X1P2X2M所以，由(1)、(2)可将预算线方程具体写为：2X13X260。(4)将(3)中的预算线方程进一步整理为 X2 X120。很清楚，预算线的斜率为 。2323(5)在消费者效用最大化的均衡点 E 上，有 MRS12，即无差异曲线斜率的绝对值即P1P2MRS 等于预算线斜率的绝对值。因此，MRS12 。P1P2P1P2233.请画出以下各位消费
4、者对两种商品(咖啡和热茶)的无差异曲线，同时请对(2)和(3)分 别写出消费者 B 和消费者 C 的效用函数。 (1)消费者 A 喜欢喝咖啡，但对喝热茶无所谓。他总是喜欢有更多杯的咖啡，而从不在 意有多少杯热茶。 (2)消费者 B 喜欢一杯咖啡和一杯热茶一起喝，他从来不喜欢单独喝咖啡，或者单独喝 热茶。 (3)消费者 C 认为，在任何情况下，1 杯咖啡和 2 杯热茶是无差异的。 (4)消费者 D 喜欢喝热茶，但厌恶喝咖啡。 解答：(1)根据题意，对消费者 A 而言，热茶是中性商品，因此，热茶的消费数量不会 影响消费者 A 的效用水平。消费者 A 的无差异曲线见图 32(a)。图 32 中的箭头
5、均表示 效用水平增加的方向。 (2)根据题意，对消费者 B 而言，咖啡和热茶是完全互补品，其效用函数是 Uminx1，x2。消费者 B 的无差异曲线见图 32(b)。 (3)根据题意，对消费者 C 而言，咖啡和热茶是完全替代品，其效用函数是 U2x1x2。消费者 C 的无差异曲线见图 32(c)。 (4)根据题意，对消费者 D 而言，咖啡是厌恶品。消费者 D 的无差异曲线见图 32(d)。图 32 关于咖啡和热茶的不同消费者的无差异曲线4.对消费者实行补助有两种方法：一种是发给消费者一定数量的实物补助，另一种是 发给消费者一笔现金补助，这笔现金额等于按实物补助折算的货币量。试用无差异曲线分 析
6、法，说明哪一种补助方法能给消费者带来更大的效用。 图 33 解答：一般说来，发给消费者现金补助会使消费者获得更大的效用。其原因在于：在 现金补助的情况下，消费者可以按照自己的偏好来购买商品，以获得尽可能大的效用。如 图 33 所示。 在图 33 中，直线 AB 是按实物补助折算的货币量构成的现金补助情况下的预算线。 在现金补助的预算线 AB 上，消费者根据自己的偏好选择商品 1 和商品 2 的购买量分别为 x和 x，从而实现了最大的效用水平 U2，即在图 33 中表现为预算线 AB 和无差异曲* 1* 2 线 U2相切的均衡点 E。而在实物补助的情况下，则通常不会达到最大的效用水平 U2。因为
7、，譬如，当实物补 助的商品组合为 F 点(即两商品数量分别为 x11、x21)，或者为 G 点(即两商品数量分别为 x12 和 x22)时，则消费者能获得无差异曲线 U1所表示的效用水平，显然，U1U2。5. 已知某消费者每年用于商品 1 和商品 2 的收入为 540 元，两商品的价格分别为 P120 元和 P230 元，该消费者的效用函数为 U3X1X ，该消费者每年购买这两种商品2 2的数量应各是多少？每年从中获得的总效用是多少？ 解答：根据消费者的效用最大化的均衡条件MU1MU2P1P2其中，由 U3X1X 可得2 2MU13X MU26X1X2dTUdX12 2dTUdX2 于是，有
8、整理得 X2 X1 (1)3X2 26X1X2203043 将式(1)代入预算约束条件 20X130X2540，得20X130 X1540 解得 X 943 1 将 X 9 代入式(1)得 X 12 1 2因此，该消费者每年购买这两种商品的数量应该为Error!Error!将以上最优的商品组合代入效用函数，得U*3X(X)2391223 888* 1* 2它表明该消费者的最优商品购买组合给他带来的最大效用水平为 3 888。6. 假设某商品市场上只有 A、B 两个消费者，他们的需求函数各自为 Q 204P 和d AQ 305P。d B (1)列出这两个消费者的需求表和市场需求表。 (2)根据(
9、1)，画出这两个消费者的需求曲线和市场需求曲线。 解答：(1)由消费者 A 的需求函数 Q 204P，可编制消费者 A 的需求表；由消费者d AB 的需求函数 Q 305P，可编制消费 B 的需求表。至于市场的需求表的编制可以使用d B两种方法，一种方法是利用已得到消费者 A、B 的需求表，将每一价格水平上两个消费者 的需求数量加总来编制市场需求表；另一种方法是先将消费者 A 和 B 的需求函数加总来求 得市场需求函数，即市场需求函数 QdQ Q (204P)(305P)509P， 然后运d Ad B用所得到的市场需求函数 Qd509P 来编制市场需求表。这两种方法所得到的市场需求 表是相同的
10、。按以上方法编制的 3 张需求表如下所示。 消费者 A 的需求表 PQd A 020 116 212 3844 50消费者 B 的需求表 PQd B 030 125 220 315 410 55 60 ,市场的需求表PQdQeq oal(d,A)Qeq oal(d,B) 050 141 232 323 414 55 60(2)由(1)中的 3 张需求表，所画出的消费者 A 和 B 各自的需求曲线以及市场的需求 曲线如图 34 所示。图 34在此，需要特别指出的是，市场需求曲线有一个折点，该点发生在价格 P5 和需求 量 Qd5 的坐标点位置。关于市场需求曲线的这一特征，可以从两个角度来解释：一
11、个角 度是从图形来理解，市场需求曲线是市场上单个消费者需求曲线的水平加总，即在 P5 的范围，市场需求曲线由两个消费者需求曲线水平加总得到；而当 P5 时，只有消费者 B 的需求曲线发生作用，所以，他的需求曲线就是市场需求曲线。另一个角度是从需求函 数看，在 P5 的范围，市场需求函数 QdQeq oal(d,A)Qeq oal(d,B) 509P 成立；而当 P5 时，只有消费者 B 的需求函数才构成市场需求函数，即 QdQeq oal(d,B)305P。7. 假定某消费者的效用函数为 Uxeq f(3,8)1xeq f(5,8)2，两商品的价格分 别为 P1，P2，消费者的收入为 M。分别
12、求该消费者关于商品 1 和商品 2 的需求函数。 解答：根据消费者效用最大化的均衡条件eq f(MU1,MU2)eq f(P1,P2)其中，由已知的效用函数 Uxeq f(3,8)1xeq f(5,8)1可得MU1eq f(dTU,dx1)eq f(3,8)xeq f(5,8)1xeq f(5,8)2MU2eq f(dTU,dx2)eq f(5,8)xeq f(3,8)1xeq f(3,8)2于是，有eq f(f(3,8)xf(5,8)1xf(5,8)2,f(5,8)xf(3,8)1xf(3,8)2)eq f(P1,P2)整理得 eq f(3x2,5x1)eq f(P1,P2) 即有 x2eq
13、 f(5P1x1,3P2)(1) 将式(1)代入约束条件 P1x1P2x2M，有P1x1P2eq f(5P1x1,3P2)M解得 xeq oal(*,1)eq f(3M,8P1) 代入式(1)得 xeq oal(*,2)eq f(5M,8P2)。 所以，该消费者关于两商品的需求函数为eq blcrc (avs4alco1(xoal(*,1)f(3M,8P1) xoal(*,2)f(5M,8P2)8. 令某消费者的收入为 M，两商品的价格为 P1、P2。假定该消费者的无差异曲线是线 性的，且斜率为a。求该消费者的最优商品消费组合。 解答：由于无差异曲线是一条直线，且其斜率的绝对值 MRS12eq
14、 f(dx2,dx1) a，又由于预算线总是一条直线，且其斜率为eq f(P1,P2)，所以，该消费者的最 优商品组合有以下三种情况，其中第一、二种情况属于边角解，如图 35 所示。 第一种情况：当 MRS12eq f(P1,P2)，即 aeq f(P1,P2)时，如图 35(a)所 示，效用最大化的均衡点 E 位于横轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即 xeq oal(,1)eq f(M,P1)，xeq oal(*,2)0。也就是说，消费者将全部收入都购 买商品 1，并由此达到最大的效用水平，该效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标 出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上的其他任何一个
15、商品组合所能达到的效用水 平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。图 35第二种情况：当 MRS12eq f(P1,P2)，即 aeq f(P1,P2)时，如图 35(b)所 示，效用最大化的均衡点 E 位于纵轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即 xeq oal(,1)0，xeq oal(,2)eq f(M,P2)。也就是说，消费者将全部收入都购 买商品 2，并由此达到最大的效用水平，该效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标 出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能达到的效用水 平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。 第三种情况：当 MRS12eq f(P1,P2)，即 aeq f(P1,P2)时，如图 35(c)所 示，无差异曲线与预算线重叠，效用最大化的均衡点可以是预算线上任何一点的商品组合， 即最优解为 xeq oal(,1)0，xeq oal(,2)0，且满足 P1x1P2x2M。此时所 达到的最大效用水平在图中用
