※※※※数学分析在中学数学中的应用

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1、1数学分析在中学数学中的应用刘婷 乌鲁木齐第八中学 邮编 830001摘要:高等数学与中学数学的有机结合在中学数学教学中有着重大意义,高等数学为中 学数学提供了丰富的背景材料和科学的理论依据.本文旨在通过探讨数学分析在中学数学中 的应用，来显现高等数学对中学数学的指导作用，从而使中学教师能将高等数学思想渗透到 中学数学教学实践中去. 关键词：数学分析; 中学数学; 应用数学分析的形成源自初等数学，它的一些基本概念，如导数、积分、无穷 级数的收敛等，都是在初等数学有关问题的基础上发展起来而来的.导数是在用 代数运算求直线斜率这一问题的基础上发展形成的；积分是在用代数运算求直 线所围成的平面图形面

2、积的基础上发展形成的；无穷级数的求和则是在用代数 运算求有限级数之和的基础上发展形成的. 因此，用数学分析的基本理论指导中学数学，就能使许多数学问题化繁为 简，给中学数学中难以解决的问题开辟一条有效通道；为更透彻的把握初等数学 的实质，提供科学的理论依据.1、数学分析理论有助于加深对中学数学内容的理解 中学数学内容以简明易懂的形式呈现，深层次的背景、原因往往无法探究， 其研究方法也有一定的特殊性和技巧性，这导致在处理一般问题时存在较大局 限性.比如中学数学中作函数图象一般使用“描点法” ，先在坐标系中描出有限 点，然后用光滑的曲线连结起来.由于所描的点有限，图象的精确性就无法把握， 曲线的走势

3、是否有误也无法做出肯定的回答.再如有些函数最值的求解是用特殊 方法解决的，不能推广到一般，并且对所研究函数的图象、性状都不了解，这 种情形下，求出的最值是否有偏差就不得而知了，而用微分学方法就可给出圆 满的解释.以下举例说明.例 1求函数 f(x)=的最值21xx 用中学数学方法解决如下：解：当 x=0 时, f(0)=0;当 x0 时,f(x)= xx11(1)若 x0, 则2, (x=1 时, 取”=”) 0f(x)xx1 21(2)若 x0,则x2, 即+x2, (x=1 时,取“=”)x1 x1 f(x)0212综上可知，当 x=1 时,f(x)取最大值; 当 x=1 时, f(x)取

4、最小值.21 21由于此函数不在中学所研究的重点函数之列，故对函数 f(x)的图象不清楚.而 用中学数学方法去研究此函数的性质及图象较繁，又有一定的难度，因此对求 出的最值的准确性就不容易做出判断.用微分学方法来解释就一目了然了.下面 先利用导数画出函数的图象. （1）由初等方法可判断函数 f(x)为偶函数，以下只研究0, +内情 形. （2）求出 f(x)=, f(x)=,22211 xx322)1 ()3(2 xxx令 f(x)=0, 得 x=1；令 f(x)=0, 得 x=0,x= 3将以上结果列表讨论：x0(0, 1)1(1,)33(,+)3f(x)+0 f(x)00y=f(x)点 （

5、0，0 ）增， 下凹极大值点（1，21）减， 下凹拐点（，343）减， 上凹（3）考察渐近线，因为f(x)= =0, xlim xlimxx21所以 y=f(x)有水平渐近线 y=0. （4）描出图象，如图由此可清晰地看出函数 f(x)在 x=1,1 时，分别取到最小值和最大值21, 至此，才对前面用初等数学的方法求出的结论给出直观合理的解释.21数列求和是中学阶段数列部分的重要内容，原高中代数（下）课本封面就有一个自然数方幂和公式 122232n2=n(n+1)(2n+1)，课本是为学习数学61归纳法而提供的一个例题，并没有说明 122232n2的求和方法，而学生 却对此很感兴趣，想探明原因

6、，我们用数学分析的合、分观点可处理如下：令 sn=122232n2 n2=nn(n+1)nn(n1)21sn= nkk12) 1() 1(211 kkkkkknk=(112-221)+(223-332)213+(n-1)(n-1)n-nn(n-1)+nn(n+1) =(-12-23-34- n (n-1)+n2(n+1) (1)21对 12+23+34+n(n-1)采用同样的拆项求和法: n2k) 1k(k)2k)(1k(k) 1k)(1k(k31n2k = (123-0)+(234-123)+(345-234)31+ +n(n-1)(n+1)-n(n-1)(n-2)=n(n-1)(n+1)3

7、1(1)= - n(n-1)(n+1)+n2(n+1)=n(n+1)(2n+1)2131 61用微分知识也可导出此结论,首先，由二项式定理得：xn+1=1+(x-1)n+1=1+.) 1(11xcn 221) 1(xcn111) 1(nnnxc又 xn+1-1=(x-1)(1+x+x2+xn)， (x-1)(1+x+x2+xn)=，) 1(11xcn 221) 1(xcn111) 1(nnnxc即 1+x+x2+xn= +(x1)cn11 ) 1(21xcnnnnxc) 1(11若 x=1,上式也成立，则恒有1+x+x2+xn= +， (I)cn11 ) 1(21xcnnnnxc) 1(11对

8、(I)式两边求导，则有 1+2x+3x2+nxn-1=+2,cn2111131) 1() 1( nnnnxnxcc由此得 x2x23x3nxn=+2cn2111131) 1() 1( nnnnxnxcc(x-1)+1=+(+2(23n,cn21cn21) 1)(31xcncn31 241) 1)(xcnnnnxc) 1(11两边求导得：1+22x+32x2+n2xn-1=(+2+2(23n2,cn21)31cncn31 ) 1)(41xcn111) 1(nnnxc令 x=1，则 12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1),61仿此，还可进一步得出 13+23+33+n3=n2(n+1)2

9、.41总之，运用数学分析的原理和方法来解释中学数学中的一些难解问题，从 而可促进对中学数学内容的更本质的理解.2、数学分析理论是解决中学数学问题的有力工具2.1 解决函数的最值问题4中学阶段，所求的最大（小）值，都是双重极值（既是最值又是极值） ，由 于没有公式解法，技巧性很强，常常因人而异，因题而异，学生感到很难掌握. 微积分知识丰富了解题思想，为解决此类问题提供了有效途径。用导数工 具可以给出一般的程序： （1）求 f(x), （2）解方程 f(x)=0, 找出驻点，一般只有一个点 x0 （3）列表确定极值(或求 f(x), 若 f(x0)0 则 x=x0处取最小值为 f(x0),若 f(

10、x0)0,则 x=x0处取最大值为 f(x0).例 1.求函数 f(x)=x3在0, 2上的最大值和最小值.1x解：f(x)=+x,31x 23) 1(31x23) 1(334xx驻点：x=, 在 x=1 处 f(x)不存在，而 f（0）=0，f（1）=0，43f（）=，f（2）=2，故最小值 f（）=，最大值 f（2）43 8233 43 8233=2， 若用初等数学方法解此题，则很困难， 例 2，在边长为 a 的正方形铁皮的四个角剪去边长为 x 的小正方形，做成 一个无盖方盒，问 x 为何值时，方盒的容积最大，并求最大容积.解：方盒的容积 V（x）=x（a2x）2 （0x) (1)2aV（

11、x）=（a2x）(a6x)=0,从而 x=时， V（x）最大，最大值 V（）=a36a 6a 272这里求（1）最值的方法比用均值定理求解要迅速得多.22 解决解析几何的有关问题 利用导数求解曲线的切线可使解题过程大大简化.例 1求过椭圆=1 上一点（x0，y0）的切线方程2222by ax解：将=1 两边对 x 求导，得到y=0 及 y=,2222by ax2222 by axyaxb22从而过（x0，y0）的切线的斜率 k= y(x0，y0)=,0202yaxb因此切线为 y=（xx0）y0 .0202yaxb5注意到=1，上述方程可化简为.22 0 22 0 by ax120 20byy

12、 axx用中学数学方法解此题，要先设出切线方程,若 k 存在，方程为 yy0=k（xx0） （若 k 不存在，则切线方程为 x=x0） ，与椭圆方程联立得二 元二次方程组 yy0=k(xx0)=1 , 消元得一个变量的二次方程，利用=0，求出2222by axk 值，再确定切线方程，其中求 k 的运算量是较大的.23 在不等式中的应用231 解不等式 数学分析中的介值定理可用于解不等式，其理论依据 为：若方程 f（x）=0 在（a，b）内有 n 个不同实根 x1，x2，xn,且 x1x2xn，则这 n 个根将（a，b）分为 n+1 小区间（a，x1） ， （x1，x2）（xn-1，xn） ，

13、（xn，b）,在每个小区间内 f（x）不变号，符号可由 其中任一点的函数值符号确定. 据此，求解下面不等式.例.解不等式x31x21解：原不等式的定义域为-1，3,讨论 f（x）=x31x21令 f（x）=0 得 64x2128x33=0.在-1，3内有两个根 x1=1 , x2=1,831 831由此得三个小区间（1，1） ， （1,1+）及831 831 831（1+，3）.831取 0(1, 1), 1(1,1+) ,2(1+,3)831 831 831 831f（0）=0，f（1）=0 , f（2）=103232221321又 f（1）=20,21原不等式的解集为1，1).831232

14、 证明不等式 初等数学中证明不等式的方法有多种，有些需要极高的技巧，而应用微积6分的知识，可使不等式的证明过程简化，并降低难度. 例. 已知 ：a、b、cR，且 abc=1，求证：+27+abcabc1 271用初等数学方法证明此题证明：令 f（x）=x+（0x1, 设 0x1x21,x1则 f（x2）f（x1）=（x2x1）+（）=（x2x1） （1）21 x11 x121 xx又 x2x10，1, f（x2）f（x1） 即 f（x） （0，1）上单调递121 xx减，又 abc()2, f（abc）=abc+f()=27+.2cba abc1 271 271若用数学分析知识，就可知道 f（x）=1（0x1由此很容易判断21 x f（x）在（0，1）上递减，这样就可以缩短解题长度，简化证明过程.3、思考与启示 数学分析在中学数学中的作用为我们开辟了一个居高临下看问题的新视角， 让我们能更清楚，全面地认识中学数学中的问题，把握其内在实质.高等数学知 识为我们解决中学数学问题开拓了广阔的思路，提供了更为灵活有效的解题途 径，使我们能预测、检验问题的结果. 做为中学数学教师，只有掌握必须的高等数学知识，才能熟练地驾驭中学 数学内容，更准确地为学生释难解惑.因此，用高等数学思想方法处理问题，教 学中渗透高等数学观点，应成为我们中学教师的自觉行为.