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1、第十一届第十一届“希望杯希望杯”全国数学邀请赛全国数学邀请赛( (高二高二) )第一试第一试2000 年 3 月 19 日 上午 8：3010：00一、选择题（每小题 6 分，共 60 分）1、直线 l1，l2分别过点 P( 2， 2 )，Q( 1，3 )，它们分别绕点 P 和 Q 旋转，但保持平行，那么，它们之间的距离 d 的取值范围是（ ）（A）( ， （B）( 0，+ ) （C）(，+ ) （D），+ )3434342、等比数列 a n 中，a 1 + a 2 + + a 5 = 27，a 6 + a 7 + + a 10 = 3，则( a 1 + a 2 + + a n ) =（ ）l
2、im n（A） 30 （B）30 （C） （D）243 10243 103、正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F 分别是 AB、BB1的中点，则 A1E 和 C1F 所成的角是（ ）（A）arcsin （B）arccos （C） （D）21 53 54 34、圆锥的侧面展开图是半径为 1，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面面积的最大值是3 2（ ）（A） （B） （C） （D）3 41 23 23 7 165、If the line x +y + a = 0 and the circle x 2 + y 2 = 1 have two different intersections（交点
3、）in 3the third quadrant（象限）, then the interval（范围）of the real number a is（ ）（A）( 2， 1 ) （B）( 2，) （C）( 1，2 ) （D）(，2 )336、使不等式 2 x a arccos x 的解是 b c，nN，且+恒成立，则 n 的最大值为（ ）1 ab1 bcn ac（A）2 （B）3 （C）4 （D）58、过椭圆的左焦点 F 作直线交椭圆于 A、B 两点，若| AF | BF | = 23，且直线与长轴的夹角为，则椭圆的离心率为（ ）4（A） （B） （C） （D）1 52 53 52 59、设函数
4、 f ( x ) = ( x 1 ) 2 + n（x 1，3 ，nN）的最小值为 a n，最大值为 b n，记 C n = b 2 a n，则数列 C n （ ）2 n（A）是公差不为零的等差数列 （B）是公比不为 1 的等比数列（C）是常数数列 （D）不是等差数列也不是等比数列10、如图，半径为 1 的圆 M 切直线 AB 于 O 点，射线 OC 从 OA 出发，绕着 O 点，顺时针方向旋转到 OB，旋转过程中 OC 交M 于P，记PMO 为 x，弓形 PNO 的面积 S = f ( x )，那么 f ( x )的图象是（ ）OO2222 22yyxxyx (B)(A)O (D)(C)xyO
5、二、A 组填空题（每小题 6 分，共 60 分）11、已知 0 的解集为 x | x 4 ，则整数 k 的最大值为 。3xk4x16、现有直径为 d 的圆木，要把它锯成横断面为矩形的梁，从材料力学知道，横断面为矩形的梁的强度 Q = k b h 2， （b 为断面宽，h 为断面高，k 为常数） ，要使强度最大，则高与宽的比是 。17、设 P0是抛物线 y = 2 x 2 + 4 x + 3 上的一点，M1，M2是抛物线上的任意两点，k1，k2，k3分别是 P0M1，M1M2，M2P0的斜率，若 k 1 k 2 + k 3 = 0，则点 P0的坐标为 。18、过原点作互相垂直的两条直线，分别交抛
6、物线 y = x 2于 A、B 两点，则线段 AB 中点的轨迹方程是 。19、给出一系列化合物的分子式：C6H6，C10H8，C14H10，若该系列化合物的分子式可以无限增大，则该系列化合物分子式中含碳元素的质量分数的极限值为 %。N图 10图 图PxOMCBA20、扇形铁皮 AOB，弧长为 20 cm，现剪下一个扇形环 ABCD 做圆台形容器的侧面，使圆台母线长 30cm 并从剩下的扇形 COD 内剪下一个最大的圆，刚好做容器的下底（指较大的底） ，则扇形圆心角是 度。三、B 组填空题（每小题 6 分，共 30 分）21、函数 f ( x )是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当 x 2
7、，3 时，f ( x ) = x，则当 x 2，0 时，f ( x )的解析式写成分段函数的形式是 ，写成统一的形式是 。22、如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D 是 AA1的中点，则 BC1和 CD 所成的角是 ，面 BCD 与面 CDB1所成二面角等于 。23、x，yR 且 x 2 y 2 = 2，则当有序数对( x，y )为 时，9 2| 2 x + 3 y |取得最小值 。24、数列 a n 的前 n 项和 S n =n 2，( nN )，则 a n = ，3cos 2 a n 1 + cos 2 a n + cos 2 a n + 1 = 。25、圆锥曲线 G 的
8、一个焦点是 F，与之对应的准线是 l，过 F 作直线与 G 交于 A、B 两点，以AB 为直径作圆 M，圆 M 与 l 的位置关系决定 G 是何种曲线之间的关系是：圆 M 与 l 的位置相离相切相交G 是何种曲线答案答案：一、A、D、A、D、D、B、C、B、D、A；二、11、x q （B）p = q （C）p 1 . Then f 2000 ( 2001 ) = 。17、数列 a n 满足：a n + 1 a n = 12，n = 1，2，3，且 a 6 = 4，当此数列的前 n 项和 S n 100 时，n 的最小值是 。18、数列 a n 满足：a 1 = 1，且对任意的 m，nN，a n
9、 + m = a n + a m + n m，则通项公式 a n = 。19、平面上，一个区域内两点间距离的最大值称为此区域的直径，曲线 y 2 + | y | + 4 x 2 = 1 围成的平面区域的直径为 。20、设 F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 P，使F1P F2 = 120，则椭圆离心率 e 的取值范围是 。三、B 组填空题21、已知二次函数 f ( x )和 g ( x )的图象如图所示：用式子表示它们的大小关系，是 。22、我国在使用公元纪年的同时，也一直沿用我国古代创立的干支纪年法，如甲午战争中的甲午，辛亥革命中的辛亥就是年份的名称。干支中的干是天干的简称，是指：甲
10、乙丙丁戊己庚辛壬癸；支是地支的简称，是指：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥。在纪年时，同时分别从甲、子开始，不改变各自的顺序，循环往复下去。已知公元 2001 年是辛巳年，那么下一个辛巳年是公元 年，距公元 2001 年最近的甲子年是公元 年。23、设关于 x 的方程 x 2 2 x sin ( 2 cos 2 + 3 ) = 0，其中 0，则该方程实根的最大2值为 ，实根的最小值为 。24、数列 a n 的前 n 项和为 S n = 2 n 2（n = 1，2，3，） ，数列 b n 的前 n 项和为 Tn，若 a 2 a n a n + 1 b n + a = 0，则 Tn = ，= 。2 1n2
11、 nlim n2T Snn25、函数 y = sin 3 x 2 sin 2 x + sin x 在区间 0，上的最大值是 ，此时 x 的值是 。2答案：一、答案：一、A、A、A、C、C、C、C、D、C、A；cdyab xg ( x )f ( x )O二、11、( 0，；12、25 + 24 sin ( )；13、(，；14、y = 0 或或 5 x 12 y 5 = 3 23 43 20；15、7.5；16、 1；17、12；18、；19、 1；20、(1) 2n n5，1 )；3 2三、21、；22、2061，1984；23、3，( )( )( )( )( )( )f xg xf xg x
12、f xg x xbxdxbxdbxd（ 或 ）（ 或 ）（）；24、，；25、，arcsin。5223 21nn n 1 24 271 3简解：简解：6、AA1 = a，AH =a，A1H =a，p = AM =a，AG =a，AI =a，GI 2 43 2 41 31 22 2=a，q = AN =a；3 26 6第十三届第十三届“希望杯希望杯”全国数学邀请赛全国数学邀请赛( (高二高二) )第一试第一试2002 年 3 月 17 日 上午 8：3010：00一、选择题1、已知关于 x 的方程 x 2 4 x + a = 0 和 x 2 4 x + b = 0 ( a，bR，a b )的四个
13、根组成首项为 1 的等差数列，则 a + b 的值等于（ ）（A）2 （B） 2 （C）4 （D） 42、函数 y = g ( x )的图象与 y = f ( x ) = arccos ( x 1 )图象关于原点对称，则 y = g ( x )解析式是（ ）（A）arccos ( x + 1 ) （B）arccos ( x + 1 ) + （C） arccos ( x + 1 ) （D） arccos ( x + 1 )3、在以下关于向量的命题中，不正确的命题是（ ）（A）若向量= ( x，y )，向量= ( y，x )，则abab（B）四边形 ABCD 是菱形的充要条件是=且| = |ABu
14、uu r DCuuu rABuuu rADuuu r（C）若点 G 是ABC 的重心，则+=GAuuu rGBuuu rCGuuu r0（D）ABC 中，和的夹角等于 180 A ABuuu rCAuuu r4、某个命题与自然数 n 有关。如果当 n = k ( kN )时，该命题成立，则可推出 n = k + 1 时该命题也成立。现已知当 n = 10 时该命题不成立，那么可推得（ ）图 6图 图NMDH ABC EFA1IG（A）当 n = 11 时，该命题不成立 （B）当 n = 11 时，该命题成立（C）当 n = 9 时，该命题不成立 （D）当 n = 9 时，该命题成立5、如图 1，设 ABC A1B1C1是直三棱柱，AB = AC，BAC = 90，M、Q 分别是 CC1、BC 的中点，P 点在 A1B1上且
