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1、柯西不等式柯西不等式 综合练习综合练习1.设 , ,x y zR（）若，求的最小值；6xyz22244xyz（）求的最小值321111()()2312xyzxyz解：（1）根据柯西不等式36)()41 411)(44(2222 zyxzyx2444222 zyx当且仅当，即时取到最小值 24. 5 分zyx44 1, 1, 4zyx（2）由得336xyzzyx 8 xyz又 23)(121)31 211(xyzzyx 7 分233)(121)613(xyzxyz 9 分49 121693)(121 49 49322 xyzxyzxyz当且仅当即时，所求最小值为.2)(121 49xyzxyz
2、83 xyz492. 若正实数 a，b，c 满足 abc1，求的最小值444()()()abcb acc aba bc解：由(1)及柯西不等式，均值不等式知444()()()abcb acc aba bc2222(2()abcabbcca(a2b2c2)，12322232a b c32当且仅当 abc1 时等号成立，所以的最小值为444()()()abcb acc aba bc323.已知，。, ,a b cR1abc（1）求证：；522abbc（2）求证：。1113 3 2abbcca证明 （1）因为 。1441225555abbcabcabbc整理即得 ；522abbc（2）因为，2222
3、111abcabc所以，当且仅当取等号。3abc1abc又， 1119abbccaabbcca于是。10 分11193 3 22abbccaabc4.已知， , ,a b cR（1）求证：； （2）求的最小值.cabcababccba 1 9222111()()()abcbca解：（1）由柯西不等式可得cabcabcabcabcabcabcabcab9111, 9)111(即）（整理得5 分cabcababccba 1 9 （2）解法一：222222111()()()1111()()() (1 1 1)3abcbcaabcbca 221111()3 16123abcbcaabc当且仅当时取等号
4、.故最小值为 12。10 分 解法二：222222 2223111()()()1112()2222 312abcbca abcabcabcbca a b c b c a abc当且仅当时取等号.解法三：2223111()()()4()4 312abcbca abc bcaa b c b c a abc当且仅当时取等号.5、已知且,Rzyx1zyx(1)若，求的值；1632222zyxzyx,(2)若恒成立，求正数 的取值范围.132222tzyxt5、解：(1) 分2, 1)()61 31 21)(632(2222LLLLLQzyxzyx当且仅当时取616313212xyx, “分，又分5.61 31 2114632LLLLLLLQLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLzyxzyxzyx(2) , 1)()1 31 21)(32(2222zyxttzyxQ分7.1 651)32(min222LLLLLLLLLLLLLttzyx 恒成立, 132222tzyxQ分9, 11 651LLLLLLLL t正数 的取值范围为：t分106LLLLLLLLLLLLLt
