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1、- 1 -圆锥曲线圆锥曲线 三、解答题三、解答题1.1.如图，已知直线如图，已知直线 L L：)0( 1:12222 baby axCmyx过椭圆的右焦点的右焦点 F F，且交椭圆，且交椭圆C C 于于 A A、B B 两点，点两点，点 A A、B B 在直线在直线2:G xa上的射影依次为点上的射影依次为点 D D、E E。（1 1）若抛物线）若抛物线yx342的焦点为椭圆的焦点为椭圆 C C 的上顶点，求椭圆的上顶点，求椭圆 C C 的方程；的方程；（2 2） （理）连接（理）连接 AEAE、BDBD，试探索当，试探索当 m m 变化时，直线变化时，直线 AEAE、BDBD 是否相交于一定
2、点是否相交于一定点 N N？若交于定？若交于定 点点 N N，请求出，请求出 N N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由。点的坐标，并给予证明；否则说明理由。（文）若（文）若)0 ,21(2aN为为 x x 轴上一点轴上一点, ,求证求证: :ANNEuuu ruuu r解：（1）易知)0 , 1 (, 332Fbb又 41222cbac13422 yxC的方程为椭圆（2）)0 ,(),0 , 1 (2akFQ 先探索，当 m=0 时，直线 Lox 轴，则 ABED 为矩形，由对称性知，AE 与 BD 相交于 FK 中点 N ,且)0 ,21(2aN猜想：当 m 变化时，AE 与 BD 相交于
3、定点)0 ,21(2aN证明：设),(),(),(),(12 22 2211yaDyaEyxByxA，当 m 变化时首先 AE 过定点 N- 2 -2222222 2222222222212 22121212221212122221()2(1)0.804(1)0(1),11 22 1()2011()22 1()2 12(2ANENANENxmyab mymb ybab xa ya ba b am ba yyKKaamyayymy y KKaamyayymy yamb a QQQ即分又而这是2222222222222(1)(1) ()0)bamm bam b ambmb am b KAN=KEN
4、 A、N、E 三点共线 同理可得 B、N、D 三点共线AE 与 BD 相交于定点)0 ,21(2aN(文)解：（1）易知)0 , 1 (, 332Fbb又 41222cbac13422 yxC的方程为椭圆（2）(文)0 ,(),0 , 1 (2akFQ设2 11222( ,),(,),(,)A x yB xyE ay2222222 222222222221()2(1)004(1)0(1)xmyab mymb ybab xa ya ba bam ba QQ即12 22121212221,11 22 1()2011()22ANENANENyyKKaamyayymy y KKaamy 又而- 3 -
5、2121222222222222222221()2 12(1)()2 (1) ()0)ayymy yambbamam bam b ambmb am b Q这是KAN=KEN A、N、E 三点共线ANNEuuu ruuu r2.2.如图所示，已知圆如图所示，已知圆, 8) 1( :22yxC定点定点 A A（1 1，0 0） ，M M 为圆上一动点，点为圆上一动点，点 P P 在在 AMAM 上，上，点点 N N 在在 CMCM 上，且满足上，且满足0,2AMNPAPAM，点，点 N N 的轨迹为曲线的轨迹为曲线 E E。（1 1）求曲线）求曲线 E E 的方程；的方程； （2 2）若过定点）若
6、过定点 F F（0 0，2 2）的直线交曲线）的直线交曲线 E E 于不同的两点于不同的两点 G G、H H（点（点 G G 在点在点 F F、H H 之间）之间） ，且满，且满足足求,FHFG 的取值范围。的取值范围。解：（1）. 0,2AMNPAPAMQNP 为 AM 的垂直平分线， |NA|=|NM|又,22| NMCNQ. 222|ANCN动点 N 的轨迹是以点 C（1，0） ，A（1，0）为焦点的椭圆且椭圆长轴长为. 22,222ca焦距. 1, 1,22bca曲线 E 的方程为. 1222 yx（2）当直线 GH 斜率存在时，设直线 GH 方程为, 12, 222 yxkxy代入椭
7、圆方程得. 034)21(22kxxk由.2302k得设 211 2212211213,214),(),( kxx kkxxyxHyxG 则又,FHFHQ)2,()2,(2211yxyx,21xx2 221221,)1 (xxxxxx212 2221)1(xxxxx,213)1 (214( 2222kkk- 4 -APQFOxy整理得22)1 () 121(316 k,232kQ.3163231642 k. 331.316214解得又, 10Q. 131又当直线 GH 斜率不存在，方程为.31,31, 0FHFGx, 131即所求的取值范围是) 1 ,313.3.设椭圆设椭圆 C C：)0(
8、12222 baby ax的左焦点为的左焦点为 F F，上顶点为，上顶点为 A A，过点，过点 A A 作垂直于作垂直于 AFAF 的直的直线交椭圆线交椭圆 C C 于另外一点于另外一点 P P，交，交x x轴正半轴于点轴正半轴于点 Q Q， 且且 PQAP58求椭圆求椭圆 C C 的离心率；的离心率； 若过若过 A A、Q Q、F F 三点的圆恰好与三点的圆恰好与直线直线l l： 053yx相切相切，求椭圆，求椭圆 C C 的方程的方程. . 解：设 Q（x0，0） ，由 F（-c，0） （0，b）知),(),(0bxAQbcFAcbxbcxAQFA202 0, 0,Q设PQAPyxP58)
9、,(11由，得21185,1313bxybc因为点 P 在椭圆上，所以1)135()138(22222bbacb整理得 2b2=3ac，即 2(a2c2)=3ac，22320ee,故椭圆的离心率e=21由知acacacbacb21 21 23322 2，得又；，得，于是 F（21a，0） ， Q)0 ,23(aAQF 的外接圆圆心为（21a，0） ，半径 r=21|FQ|=a 所以aa 2|521| ，解得a=2，c=1，b=3，所求椭圆方程为13422 yx- 5 -4.4.设椭圆设椭圆的离心率为的离心率为 e=e=)0( 12222 baby ax22（1 1）椭圆的左、右焦点分别为）椭圆
10、的左、右焦点分别为 F F1 1、F F2 2、A A 是椭圆上的一点，且点是椭圆上的一点，且点 A A 到此两焦点的距离之到此两焦点的距离之和为和为 4,4,求椭圆的方程求椭圆的方程. .（2 2）求）求 b b 为何值时，过圆为何值时，过圆 x x2 2+y+y2 2=t=t2 2上一点上一点 M M（2 2，）处的切线交椭圆于）处的切线交椭圆于 Q Q1 1、Q Q2 2两点，两点，2而且而且 OQOQ1 1OQOQ2 2（1）椭圆的方程为12422 yx（2）解: 过圆上的一点 M（2,）处的切线方程为 2x+y6=0.222xyt22令，, 则 111()Q xy，222()Q xy
11、， 222220622byxyx化为 5x224x+362b2=0, 由0 得： 5103b541818)(62,5236,524221212122121bxxxxyybxxxx由知，,12OQOQ902 2121byyxx即 b=3（,+） ，故 b=3 51035.5.已知曲线已知曲线c上任意一点上任意一点 P P 到两个定点到两个定点 F F1 1(-(-3，0)0)和和 F F2 2( (3，0)0)的距离之和为的距离之和为 4 4（1 1）求曲线）求曲线c的方程；的方程；（2 2）设过）设过(0(0，-2)-2)的直线的直线l与曲线与曲线c交于交于 C C、D D 两点，且两点，且O
12、ODOC(0 为坐标原点）为坐标原点） ，求直，求直线线l的方程的方程解：（1）根据椭圆的定义，可知动点M的轨迹为椭圆，其中2a ，3c ，则221bac所以动点M的轨迹方程为2 214xy（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为2ykx，设11(,)C xy，22(,)D xy，0OC ODuuu r uuu r ，12120x xy y 112ykx，222ykx，2 1212122 ()4y yk xxk xx 2 1212(1)2 ()40kx xk xx 由方程组2 21,4 2.xyykx 得221416120kxkx则12216 14kxxk
13、，12212 14xxk，代入，得2 22121612401414kkkkk即24k ，解得，2k 或2k 所以，直线l的方程是- 6 -22yx或22yx 6.已知椭圆已知椭圆的左焦点为的左焦点为 F，左、右顶点分别为，左、右顶点分别为 A、C，上顶点为，上顶点为 B过过2 2 21(01)yxbbF、B、C 作作P，其中圆心，其中圆心 P 的坐标为（的坐标为（m，n） （）当）当 mn0 时，求椭圆离心率的范围；时，求椭圆离心率的范围； （）直线）直线 AB 与与P 能否相切？证明你的结论能否相切？证明你的结论 解：（）设 F、B、C 的坐标分别为（c，0） ， （0，b） ， （1，0）
14、 ，则 FC、BC 的中垂线 分别为，联立方程组，解出1 2cx11()22byxb21,2.2cxbcyb，即，即（1b） （bc）0， bc 21022cbcmnb20bbcbc从而即有，又，22bc222ac21 2e 0e 0e2 2（）直线 AB 与P 不能相切由，ABkb22 102PBbcbbkc 2(1)bc b c 如果直线 AB 与P 相切，则1b2(1)bc b c 解出 c0 或 2，与 0c1 矛盾，所以直线 AB 与P 不能相切 7.有如下结论：有如下结论：“圆圆上一点上一点处的切线方程为处的切线方程为”，类比也，类比也222ryx),(00yxP2 00ryyyx有结论：有结论：“椭圆椭圆处的切线方程为处的切线方程为”，),()0( 1002222 yxPbaby ax上一点120 20byy axx过椭圆过椭圆 C：的右准线的右准线 l 上任意一点上任意一点 M 引椭圆引椭圆 C 的两条切线，切点为的两条切线，切点为 A、B.14
