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1、2 双因子方差分析2 . 1 双因子试验当试验条件中涉及到两个因子时，就称为双因子试验。设 A为一个因子，有I 个水平：Ai, Ii, 1 L=；B为另一个因子，有J个水平：Bj, Jj, 1L=。在设计试 验方案时，一个重要问题是如何将两个因子的水平搭配起来。首先，可以考虑每个 因子（A或 B）的不同水平对试验结果分别会有影响。其次，两个因子不同的水平 组合会有特殊的影响（并不是两个因子水平分别影响的简单叠加）。在这种情况 下，为对各种可能的结果作全面考察，应该对两个因子所有可能的水平组合作试 验。这样的试验就是双因子交叉分组试验。交叉分组试验是最常见的一种双因子试 验。将 A因子的任一水平
2、 Ai与 B因子的任一水平 Bj搭配，则总共有IJ种组 合：(Ai,Bj), Ii, 1 L=; Jj, 1L=.在所有这IJ种组合上至少各作一次试验。例如，假定要在一些试验小区内试验三 个小麦品种（分别记为 A1、A2 和 A3）和两种肥料（分别记为 B1、B2），在同一 个小区上只种一个品种，同时只施一种肥料。这样，“品种”和“肥料”就构成两 个因子，前者有三个水平，后者有两个水平。这两个因子的所有可能的水平组合共 有623=种：(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2)。如果在每 种水平组合上作相同次数的试验（run），则整个
3、试验方案称为是“均衡的”。与 单因子试验的情况不同，在双因子交叉分组试验中，若试验方案不均衡，则方差分 析会变得比较困难，我们在以后的章节中再来讨论这个问题。对于均衡的试验，为 保证能分析随机误差，在每个水平组合上应作多于一次的试验，称为“有重复” 的。如果在每个水平组合上只作一次的试验，则称为“无重复”的。对于无重复的 交叉分组试验，只有在模型简化之后，才能留有“自由度”来分析误差。另一种双因子试验的水平组合方式是“嵌套分组”，有时也会遇到。假定因子 A和因子 B 如上所述，且IJ，可以将因子 B的水平“嵌套”到因子 A的水平中 去：将因子 B的J个水平分成I组，因子 A的每个水平只和因子
4、B的一组水平搭 配。例如，假定有三种类型的机器，每类 4台。要通过试验来比较不同类型机器的 性能的优劣，安排 12个工人，每人在试验中操作一台机器。这里机器的类型是一 个（主要的）因子，有三个水平。假定工人的技术水平（或熟练程度）有差别，则 工人是另一个（次要的）因子，有 12个水平（工人）。这 12个水平分成 3组，每 组 4个水平。机器的每个水平只和工人中的一组进行搭配。这是一个“嵌套分组” 的水平组合模式。嵌套分组的试验在实际中较为少见。2.2 双因子均衡有重复试验的方差分析设 A为一个因子，有I个水平：Ai, Ii, 1 L=；B为另一个因子，有J个水 平：Bj, Jj, 1L=。将
5、A因子的任一水平 Ai与 B因子的任一水平 Bj搭配，则总 共有IJ种组合：(Ai,Bj), Ii, 1 L=; Jj, 1L=.在所有这IJ种组合上各作K次试验，当1K时，就是均衡有重复试验。设在水平 组合(Ai,Bj)下所得到的响应变量观测值记为ijky，,J1,I,j1,K,i1,kLLL=这些观测数据可以列入表 2.2.1中。表 2 . 2 . 1 双因子交叉分组试验数据表A B1jJ1y111,y112, y11Ky1j1,y1j2, y1jKy1J1,y1J2, y1JKiyi11,yi12, yi1Kyij1,yij2, yijKyiJ1,yiJ2, yiJKIyI11,yI12
6、, yI1KyIj1,yIj2, yIjKyIJ1,yIJ2, yIJK在双因子试验中得到的数据称为“按两种方式”（two- way）分组的数据。对这样的数据，最一般的假定是：在同一水平组合下的数据可以看成是取自同 一总体的简单样本，相当于在一个理论均值上加上独立同分布的随机误差；而不同 水平组合下的数据的理论均值是不同的。因此可以建立如下的模型：ijkijijkey+= , ., 1;, 1;, 1JjIiKkLLL= (2.2.1)其中ijke, JjIiKk, 1;, 1;, 1LLL=为独立的随机误差，服从相同的正态分布), 0(2N。在模型(2.2.1)中，两个因子不同水平的组合对响
7、应变量的影响的差异表 现在分布的理论均值ij之间的差异上。为了更清楚地看清ij之间差异的含义，我们将它们作变换，重新表为ijjiij+=, (2.2.2)在上述表达式中，表示响应变量y在“标准”状态下的理论均值，称为“总均 值”（grand mean），i表示 A因子的第i水平对y的单独效果，称为 A因子的 “主效应”（main effect），j表示 B因子的第 j水平对y的单独效果，称为 B因子的主效应，ij表示 A因子的第 i水平和 B因子的第 j水平在主效应之外，对y所 产生的额外的联合效果，称为“交互效应”（intersection）。这样，利用(2.2.2)的 形式，我们可以将因子
8、对响应变量y的各种影响表示得很清楚。问题是，在(2.2.2)中的参数共有)11)(J(IIJJI1+=+个，已经超出原来参数ij的个数（IJ）。 为方便分析起见，我们对因子各种效应的参数施加以下约束：01= =Iii,01= =Jjj, (2.2.3)01= =Iiij, Jj, 1L=; 0 1= =Jjij, Ii, 1 L=这些约束的实际含义是很清楚的。以第一个约束为例，它的含义是：A因子的 主效应有正有负，但从总体上看是正负相抵的。若某个i为正，则表明 A因子的 第 i个水平对响应变量的影响为正效应；反之，若i为负，则表明 A因子的第 i个 水平对响应变量的影响为负效应。对其它约束也有
9、相同解释。这里需要说明： (2.2.3)的约束只有在均衡的试验中才是有效的。在(2.2.3)中共有2+ JI个约束，但 是在后面的JI +个约束中，由任意1+ JI个可以推出另一个，因此实际上只有 1+ JI个独立的约束。这样独立参数的个数仍然是IJ个（) 1()1)(1(+JIJI = IJ）。在双因子试验的模型中，我们所关心的是：1） A因子的主效应是否显著。对此可以检验假设：H0: 0,21=IL (2.2.4)2） B因子的主效应是否显著。对此可以检验假设：H0: 0,21=JL (2.2.5)3） AB因子的交互效应是否显著。这时我们检验假设：H0: 0,1211=IJL (2.2.
10、6)双因子方差分析主要解决对上述三个假设的检验问题。对上述假设的检验方法 与在单因子试验数据的方差分析中所采用的方法类似，就是将数据的总平方和分成 若干平方和，其中一个表示随机误差的影响，其它的平方和，有的表示主效应的影 响，有的表示交互效应的影响，然后用适当的 F 统计量进行检验。我们首先来给 出参数的估计。记ijy= =KkijkyK11, iy= =IiKkijkyIK111= =IiijyI11, jy= =JjKkijkyJK111= =JjijyJ11,y= =IiJjKkijkyIJK1111= =IiJjijyIJ111= =IiiyI11,= =JjjyJ11它们分别是：水平
11、组合上的样本均值（ijy）、单个因子水平上的数据平均值（ iy和jy）以及数据的总平均值（y）。根据模型(2.2.1)，在同一水平组合上的试验数据可以看成是来自同一总体的简单样本，因此ijy为ij的估计：ij =ijy, Ii, 1 L=; Jj, 1L= (2.2.7)利用约束(2.2.3)，对(2.2.2)式两端关于下标),(kji求和，得到总均值的估计为 = =IiJjijIJ111=y (2.2.8)固定i，对(2.2.2)式两端关于下标),(kj求和，并根据约束(2.2.3)，得到 A 因子的第i 个主效应i的估计为i = =JjijJ11- = iy-y (2.2.9)类似地，固定
12、 j，对(2.2.2)式两端关于下标),( ki求和，并根据约束(2.2.3)，可以得到B因子的第 j 个主效应j的估计为j= =IiijI11- =jy-y (2.2.10)最后，固定),(ji，对(2.2.2)式两端关于下标 k 求和，并根据约束(2.2.3)，可以得到 AB因子的第),(ji交互效应ij的估计为ij =ij - -i -j=ijy- iy-jy+y (2.2.11)不难验证，这些参数的估计也满足约束(2.2.3)。为表示数据的总变化、由主效 应和交互效应引起的变化、以及由随机误差引起的变化，我们定义以下的平方和：总平方和： SST=kjiijkyy,2)(A因子主效应平方
13、和：SSA= iiJK2B因子主效应平方和：SSB= jjIK2 (2.2.12)交互效应平方和： SSAB= ijijK2随机误差平方和： SSE=kjiijijkyy,2)(由上述平方和的定义不难解释它们的含义。需要指出，在计算平方和时，不要 忘记前面的系数。此系数与相应的水平或水平组合上的试验次数有关。对每个水平 组合，重复试验次数为K，因此在SSAB的定义中前面有系数K。对于 A因子的每 个水平，在其上的试验次数为JK（对应 B因子的J个水平各重复K次），因此在 SSAB的定义中前面有系数JK，等等。我们不难对上述的平方和给出解释，并计算 自由度。首先看总平方和 SST，它刻划合样本对
14、于样本总均值y的总离散程度， 共有 N=IJK个平方项，满足一个约束条件：0)(= ijkijkyy因此，SST的自由度，即 SST中独立平方项的个数为11=IJKNfSST(2.2.13)对 SSA，由（2.2.9）, 有 SSA =iiJK2, 其中i 为i 的无偏估计, 从而 SSA可以解释为 A因子主效应的总体效果。SSA中有 I个平方项，满足一个约束条件： 0 =ii，因此 SSA的自由度为1= IfSSA(2.2.14)定义 SSA的均方为 MSSA=SSA/(I- 1)。类似地，由(2.2.10), SSB =jjIK2, 其中j为 j的无偏估计。因此 SSB可以解释为 B因子主效应的总体效果。由于0
