中考数学压轴题-二次函数-老师

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1、 中考二次函数压轴题训练中考二次函数压轴题训练1.已知，如图 1，过点 E（0，-1）作平行于 x 轴的直线 l，抛物线 y= 1/4x2 上的两点 A、B 的横坐标分别为-1 和 4，直线 AB 交 y 轴于点 F，过点 A、B 分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点 C、D，连接 CF、DF （1）求点 A、B、F 的坐标； （2）求证：CFDF； （3）点 P 是抛物线 y= 1/4x2 对称轴右侧图象上的一动点，过点 P 作 PQPO 交 x 轴于点 Q，是否存在点 P 使得 OPQ 与CDF 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由分析：（1）有两种方法，

2、方法一是传统的点的待定系数法，方法二，通过作辅助线，构造BGFBHA 由比例 关系求出 F 点坐标 （2）也有两种方法，方法一，在 RtCEF 中算出DEF 边长利用勾股定理证明 CFDF；方法二利用几何关系求 出CFD=90； （3）求存在性问题，先假设存在，看是否找到符合条件的点 P 的坐标，此题分两种情况；（1）RtQPORt CFD；（2）RtOPQRtCFD，根据比例求出 P 点坐标 解答：解： （1）方法一：如图 1，当 x=-1 时，y= 1/4；当 x=4 时，y=4 A（-1， 1/4）（1 分） B（4，4）（2 分）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b（3 分）则 -k

3、+b=1/4 4k+b=4 解得 k=3/4 b=1直线 AB 的解析式为 y= 3/4x+1（4 分） 当 x=0 时，y=1F（0，1）（5 分）方法二：求 A、B 两点坐标同方法一，如图 2，作 FGBD，AHBD，垂足分别为 G、H，交 y 轴于点 N，则四边 FOMG 和四边形 NOMH 均为矩形，设 FO=x（3 分）BGFBHA BG/BH=FG/AH （4 分）解得 x=1F（0，1）（5 分）544144 x（2）证明：方法一：在 RtCEF 中，CE=1，EF=2CF2=CE2+EF2=12+22=5CF= 5（6 分）在 RtDEF 中，DE=4，EF=2DF2=DE2+

4、EF2=16+4=20DF=由（1）得 C（-1，-1），D（4，-1）52CD=5CD2=25CF2+DF2=CD2（7 分）CFD=90 CFDF（8 分） 方法二：由（1）知 AF2= 1+(3/4)2=5/4，AC= 5/4AF=AC（6 分）同理：BF=BD ACF=AFCACEFACF=CFOAFC=CFO（7 分）同理：BFD=OFD CFD=OFC+OFD=90即 CFDF（8 分） （3）存在解：如图 3，作 PMx 轴，垂足为点 M（9 分）又PQOP RtOPMRtOQP PM/PQ=OM/OP PQ/OP=PM/OM（10 分） 设 P（x， 1/4x2）（x0），则

5、PM= 1/4x2，OM=x 当 RtQPORtCFD 时， PQ/OP=CF/DF=5/25=1/2（11 分） PM/OM=1/4x2/x=1/2 解得 x=2P1（2，1）（12 分） 当 RtOPQRtCFD 时， PQ/OP=DF/CF=25/5=2（13 分） PM/OM=1/4x2/x=2 解得 x=8P2（8，16） 综上，存在点 P1（2，1）、P2（8，16）使得OPQ 与CDF 相似（14 分）点评：点评：此题是一道综合性较强的题，前两问方法多，有普通的方法和新颖的方法，作合适的辅佐线很重要，最 后一问是探究性问题，发散思维 2.如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，正

6、方形 OABC 的边长为 2cm，点 A、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半 轴上，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B 和 D (4，-2/3) （1）求抛物线的解析式 （2）如果点 P 由点 A 出发沿 AB 边以 2cm/s 的速度向点 B 运动，同 时点 Q 由点 B 出发沿 BC 边以 1cm/s 的速度向点 C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设 S=PQ2（cm2） 试求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围； 当 S 取 5/4 时，在抛物线上是否存在点 R，使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，

7、求 出 R 点的坐标；如果不存在，请说明理由 （3）在抛物线的对称轴上求点 M，使得 M 到 D、A 的距离之差最大，求出点 M 的坐标分析分析：（1）设抛物线的解析式是 y=ax2+bx+c，求出 A、B、D 的坐标代入即可； （2）由勾股定理即可求出，假设存在点 R，可构成以 P、B、R、Q 为顶点的平行四边形，求出 P、Q 的坐标， 再分为三种情况：A、B、C 即可根据平行四边形的性质求出 R 的坐标 （3）A 关于抛物线的对称轴的对称点为 B，过 B、D 的直线与抛物线的对称轴的交点为所求 M，求出直线 BD 的解 析式，把抛物线的对称轴 x=1 代入即可求出 M 的坐标 解答：（1）

8、解：设抛物线的解析式是 y=ax2+bx+c，当 x=0 时，y=-2，点 A 的坐标是（0，-2），正方形的 边长 2，B 的坐标（2，-2），把 A（0，-2），B（2，-2），D（4，- 2/3）代入得： c=-2 4a+2b+c=-2 且 4a+2b+c=-2 16a+4b+c=-2/3，解得 a= 1/6，b=- 1/3，c=-2抛物线的解析式为： y=1/6x2-1/3x-2，答： 抛物线的解析式为： y=1/6x2-1/3x-2 （2）解：由图象知：PB=2-2t，BQ=t，S=PQ2=PB2+BQ2，=（2-2t）2+t2， 即 S=5t2-8t+4（0t1）答：S 与运动时间

9、 t 之间的函数关系式是 S=5t2-8t+4，t 的取值范围是 0t1 解：假设存在点 R，可构成以 P、B、R、Q 为顶点的平行四边形S=5t2-8t+4（0t1），当 S= 5/4 时， 5t2-8t+4= 5/4，得 20t2-3/2t+11=0，解得 t= 12，t= 11/10（不合题意，舍去），此时点 P 的坐标为（1，- 2），Q 点的坐标为（2，- 3/2）. 若 R 点存在，分情况讨论： 【A】假设 R 在 BQ 的右边，这时 QR=PB，RQPB，则 R 的横坐标为 3，R 的纵坐标为- 3/2， 即 R（3，- 3/2），代入 y=1/6x2-1/3x-2，左右相等，这

10、时存在 R（3，- 3/2）满足题意； 【B】假设 R 在 BQ 的左边，这时 PR=QB，PRQB，则：R 的横坐标为 1，纵坐标为- 3/2， 即（1，- 3/2），代入 y=1/6x2-1/3x-2，左右两边不相等，R 不在抛物线上； 【C】假设 R 在 PB 的下方，这时 PR=QB，PRQB，则：R（1，- 5/2）代入， y=1/6x2-1/3x-2 左右不相等，R 不在抛物线上（1 分） 综上所述，存点一点 R（3，- 3/2）满足题意答：存在，R 点的坐标是（3，- 3/2） （3）解：如图，MB=MA， A 关于抛物线的对称轴的对称点为 B，过 B、D 的直线与抛物线的对称轴

11、的交点为所求 M， 设直线 BD 的解析式是 y=kx+b，把 B、D 的坐标代入得： 2k+b=-2 4k+b=-2/3， 解得：k= 2/3，b=- 10/3，y= 2/3x- 10/3，抛物线 y=1/6x2-1/3x-2 的对称轴是 x=1， 把 x=1 代入得：y=- 8/3M 的坐标为（1，- 8/3）；答：M 的坐标为（1，- 8/3）点评点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，勾股定理，平行四边形的性质，二次函 数图象上点的坐标特征等知识点，解此题的关键是综合运用这些知识进行计算此题综合性强，是一道难度较大的题目 3.如图，二次函数 y=-1/2x2+2

12、与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，点 P 从 A 点出发，以 1 个单位每秒的 速度向点 B 运动，点 Q 同时从 C 点出发，以相同的速度向 y 轴正方向运动，运动时间为 t 秒，点 P 到达 B 点时， 点 Q 同时停止运动设 PQ 交直线 AC 于点 G （1）求直线 AC 的解析式； （2）设PQC 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数解析式； （3）在 y 轴上找一点 M，使MAC 和MBC 都是等腰三角形直接写出所有满足条件的 M 点的坐标； （4）过点 P 作 PEAC，垂足为 E，当 P 点运动时，线段 EG 的长度是否发生改变，请说明理由分析：（1）直线

13、 AC 经过点 A，C，根据抛物线的解析式面积可求得两点坐标，利用待定系数法就可求得 AC 的解 析式； （2）根据三角形面积公式即可写出解析式； （3）可以分腰和底边进行讨论，即可确定点的坐标； （4）过 G 作 GHy 轴，根据三角形相似，相似三角形的对应边的比相等即可求解 解答：解：（1）y=x+2（2） s=-1/2t2+t(0t2) 1/2t2-t(2t4)（3）一共四个点，（0， 2+2），（0，0），（0， 2-2），（0，-2）22（4）当 0t2 时，过 G 作 GHy 轴，垂足为 H由 AP=t，可得 AE= 2t由 GH/PO=QH/QO 可得 GH= 1-t2，所以 G

14、C= 2GH= 2-2t22于是，GE=AC-AE-GC= 2-2t-(2-2t)= 即 GE 的长度不变当 2t4 时，同理可证2222综合得：当 P 点运动时，线段 EG 的长度不发生改变，为定值22点评：本题属于一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质，需注意分类讨论，全面考虑点 M 所在位置的各种情况4.如图，已知抛物线的顶点坐标为 M（1，4），且经过点 N（2，3），与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式及点 A、B、C 的坐标； （2）若直线 y=kx+t 经过 C、M 两点，且与 x 轴交于点 D，试证

15、明四边形 CDAN 是平行四边形； （3）点 P 在抛物线的对称轴 x=1 上运动，请探索：在 x 轴上方是否存在这样的 P 点，使以 P 为圆心的圆经过 A、B 两点，并且与直线 CD 相切，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由分析分析：（1）根据题意中，抛物线的顶点坐标与 N 的坐标，可得抛物线的解析式，进而可得点 A、B、C 的坐标； （2）分别求出过 DM 的直线，与过点 AN 的直线方程，可得 DM 与 AN 平行，且易得 DM 与 AN 相等；故四边形 CDAN 是平行四边形； （3）首先假设存在，根据题意，题易得：MDE 为等腰直角三角形，进而可求得 P 的坐标，故存在 P 解答解答：解：（1）由抛物线的顶点是 M（1，4），设解析式为 y=a（x-1）2+4（a0） 又抛物线经过点 N（2，3），所以 3=a（2-1）2+4，解得 a=-1.所以所求抛物线的解析式为 y=-（x-1）2+4=- x2+2x+3.令 y=0，得-x2+2x+3=0，解得：x1=-1，x2=3， 得 A（-1，0）B（3，0）；令 x=0，得 y=3，所以 C（0，3） （2）直线 y=kx+t 经过 C、M 两点，所以 t=3 k+t=4.即 k=1，t=3，直线解析式为 y=x+3 令 y=0，得 x=-3，故 D（-3，0） CD= 3