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1、顶点坐标对称轴函数 y 随 x 的增大而变化规律二次函数二次函数开口方向大小-中使平方为 0 的 x 值y 最大（小）值a0a0y=ax2( , ) x_时,y_ x_时,y_x_时,y_ x_时,y_由抛物线y=ax2 怎样移得(即顶点的移动规律y=ax2+k( , ) x_时,y_ x_时,y_x_时,y_ x_时,y_y=a(x-h)2( , )直线 x= x_时,y_ x_时,y_x_时,y_ x_时,y_y=a(x-h)2+k( , )直线 x= x_时,y_ x_时,y_x_时,y_ x_时,y_y=ax2+bx+ca0 时， 开口 a0 时， 开口 a越大, 开口 a相同, 开口
2、 ( , )直线 x=x_时,y_ x_时,y_x_时,y_ x_时,y_抛物线抛物线 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c 中中 a,b,ca,b,c 的符号与抛物线之间的相互作用的符号与抛物线之间的相互作用： a: 决定开口方向，规律： a: 决定开口大小，规律： c: 抛物线与 y 轴的交点坐标是（ ， ）, c0抛物线与 y 轴交于正半轴；c0抛物线与 y 轴交于负半轴； c=0抛物线过原点a 与 b： 决定对称轴与 y 轴的位置，规律： ，b=0 时，对称轴是 x=1y=a+b+c ； x=-1y=a-b+c x=2y=4a+2b+c ； x=-2y=4a-2b+c x=3y=
3、9a+3b+c ； x=-3y=9a-3b+c如果一条抛物线上两个对称点 A、B（纵坐标相同）的横坐标是 x1,x2,那么它的对称轴是直线 axxx2121xAB , )21x（抛物线 y=ax2+bx+c 关于 x 轴对称(x 值相同，y 值变相反)的抛物线为 -y=ax2+bx+c 即： y=-ax2-bx-c抛物线 y=ax2+bx+c 关于 y 轴对称(x 值变相反，y 值相同)的抛物线为 y=a(-x)2+b(-x)+c 即： y=ax2-bx+c抛物线 y=ax2+bx+c 关于原点对称(x 值变相反，y 值变相反)的抛物线为 -y=a(-x)2+b(-x)+c 即： y=-ax2
4、+bx-c确定抛物线顶点坐标的方法确定抛物线顶点坐标的方法 1.配方法二次项、一次项提取 a，括号内：先加（一次项系数一半的平方）后减（一次项系数一半的平方）（一次项系数为偶时用此法） )2(2y, 2abx3. a44 2abx2.22 cabbababacy）（先公式后代入，公式法待定系数法求解析式：待定系数法求解析式： 1、设为一般式 y=ax2+bx+c（知道三点） 2、设为顶点式 y=a(x-h)2+k(知道顶点或轴或极值）模板： y=a(x-轴 h)2+最值 k位置特殊时：设为 y=ax2（知顶点是原点, h=0, k=0） 设为 y=ax2+k（知顶点在 y 轴上,h=0) 设为
5、 y=a( x-h)2（知顶点在 x轴上,k=0）二次函数（解析式与图像）与一元二次方程、一元二次不等式二次函数（解析式与图像）与一元二次方程、一元二次不等式(y0(y0 或或 y0)y0)的解的关系的解的关系（从解析式上看）已知函数 y=ax2+bx+c（a0）的函数值 y 为 m，求相应的 x 值，从方程上看就是求方程 ax2+bx+c=m 的解，从图象上看又是抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与直线 y=m 的交点的横坐标。 函数 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴（直线 y=0）交点（对称）的横坐标 x1和 x2 方程 ax2+bx+c=0 的两个根，这两个交点之间的距离= 若抛
6、物线与 x 轴有两个交点，当 a0 时，x1xx2 (x1x2)是 ax2+bx+c0(即 y0)的解；xx1 或 xx2是不等式 ax2+bx+c0(即y0)的解。当 a0 情况相反。二次函数 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴的位置关系（交点个数）一元二次方程 ax2+bx+c=0（a1）根的情况b2-4ac 的值实际问题与二次函数实际问题与二次函数实际问题中的二次函数图像只是抛物线的一部分实际问题中的二次函数图像只是抛物线的一部分因为自变量有取值范围限制(如 m xn)，顶点横坐标有可能有可能不在这个范围内，所以,顶点纵坐标不一定是实际问题的最大（小）值应用两例：1、当 x=(h)（
7、顶点横坐标）时,满足 m xn,此时,y 有最大（小）值ab 2abac 4422、当 x=(h)时,(h),a0，y 随 x 的增大而减小当 x=n 时,y 有最小值为 y=an2+bn+c；当 x=m 时,y 有最大值为ab 2ab 2y=am2+bm+c顶点坐标对称轴函数 y 随 x 的增大而变化规律二次函数二次函数开口方向大小-中使平方为 0 的 x 值y 最大（小）值a0a0y=ax2( 0 , 0)y 轴（x=0） y=0x_时,y_ x_时,y_x_时,y_ x_时,y_由抛物线 y=ax2怎样移得(即顶点的移动规律)y=ax2+k( 0 , k)y 轴（x=0） y=kx_时,
8、y_ x_时,y_x_时,y_ x_时,y_向上（下）移动 k个单位y=a(x-h)2( h , 0)直线 x=h y=0x_时,y_ x_时,y_x_时,y_ x_时,y_向左（右）移动 - h个单位y=a(x-h)2+k( h , k)直线 x=h y=kx_时,y_ x_时,y_x_时,y_ x_时,y_上（下）k左（右）- h- h个单位y=ax2+bx+ca0 时， 开口向上 a0 时， 开口向下 a越大, 开口越小 a相同, 开口相同形状相同(,)ab 2abac 442直线 x=ab 2 y=abac 442x_时,y_ x_时,y_x_时,y_ x_时,y_x 变化:左+右-y
9、 变化:上+下-抛物线抛物线 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c 中中 a,b,ca,b,c 的符号与抛物线之间的相互作用的符号与抛物线之间的相互作用： a: a 的符号 决定开口方向，规律： a0， 开口向上； a0，开口向下 a:a决定开口大小，规律：a越大, 开口越小 a相同, 开口相同，形状相同c: 抛物线与 y 轴的交点坐标是（0，c）, c0抛物线与 y 轴交于正半轴；c0抛物线与 y 轴交于负半轴； c=0抛物线过原点a 与 b：a,b 的符号共同决定对称轴与 y 轴的位置，规律：同左异右，b=0 时，对称轴是 y 轴（x=0）x=1y=a+b+c ； x=-1y=a-b
10、+c x=2y=4a+2b+c ； x=-2y=4a-2b+c x=3y=9a+3b+c ； x=-3y=9a-3b+c如果一条抛物线上两个对称点 A、B（纵坐标 y 相等）的横坐标是 x1,x2,那么它的对称轴是直线 axxx2121xAB , )21x（抛物线 y=ax2+bx+c 关于 x 轴对称(x 值相同，y 值变相反)的抛物线为 -y=ax2+bx+c 即： y=-ax2-bx-c抛物线 y=ax2+bx+c 关于 y 轴对称(x 值变相反，y 值相同)的抛物线为 y=a(-x)2+b(-x)+c 即： y=ax2-bx+c抛物线 y=ax2+bx+c 关于原点对称(x 值变相反，
11、y 值变相反)的抛物线为 -y=a(-x)2+b(-x)+c 即： y=-ax2+bx-c确定抛物线顶点坐标的方法确定抛物线顶点坐标的方法 1.配方法二次项、一次项提取 a， 括号内：先加（一次项系数一半的平方）后减（一次项系数一半的平方）（一次项系数为偶时用此法）)2(2y, 2abx3. a44 2abx2.22 cabbababacy）（先公式后代入，公式法待定系数法求解析式： 1、设为一般式 y=ax2+bx+c（知道三点） 2、设为顶点式 y=a(x-h)2+k(知道顶点或轴或极值）模板： y=a(x-轴 h)2+最值k位置特殊时：设为 y=ax2（知顶点是原点, h=0, k=0）
12、 设为 y=ax2+k（知顶点在 y 轴上,h=0) 设为 y=a( x-h)2（知顶点在 x 轴上,k=0）二次函数（解析式与图像）与一元二次方程、一元二次不等式二次函数（解析式与图像）与一元二次方程、一元二次不等式(y0(y0 或或 y0)y0)的解的关系的解的关系（从解析式上看）已知函数 y=ax2+bx+c（a0）的函数值 y 为 m，求相应的 x 值，从方程上看就是求方程 ax2+bx+c=m 的解，从图象上看又是抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与直线 y=m 的交点的横坐标。 函数 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴（直线 y=0）交点（对称）的横坐标 x1和 x2 方程 ax2+bx+c=0 的两个根，这两个交点之间的距离= 若抛物线与 x 轴有两个交点，当 a0 时，x1xx2 (x1x2)是 ax2+bx+c0(即 y0)的解；xx1 或 xx2是不等式 ax2+bx+c0(即 y0)的解。当 a0 情况相反。二次函数 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴的位置关系（交点个数）一元二次方程 ax2+bx+c=0（a1）根的情况=b2-4ac 的值0无实数根0 1有两个相等的实数根 =0 2有两个不相等的实数根 0 实际问题与二次函数实际问题与
