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1、第十一讲第十一讲染色与操作问题染色与操作问题一、染色问题这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种 解题方法.染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色， 我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答 案.这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性，逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色问题. 二、操作问题实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规 律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青 睐的这类题目的原因。模块一：染
2、色问题模块一：染色问题例题例题 1 11 1【巩固巩固】 右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸. . (1)(1)如果如果 P P 点在岸上，那么点在岸上，那么 A A 点是在岸上还是在水中？点是在岸上还是在水中？ (2)(2)某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋. .如果他从如果他从 A A 点出发走到某点出发走到某点点 B B，他穿鞋与脱鞋，他穿鞋与脱鞋 的总次数是奇数，那么的总次数是奇数，那么 B B 点是在岸上还是在水中？为点是在岸上还是在水中？为什么？什么？六年级一班全班有六年级一班全班有 3
3、535 名同学，共分成名同学，共分成 5 5 排，每排排，每排 7 7 人，坐在教室里，每个座位的人，坐在教室里，每个座位的 前后左右四个位置都叫做它的邻座如果要让这前后左右四个位置都叫做它的邻座如果要让这 3535 名同学各人都恰好坐到他的邻名同学各人都恰好坐到他的邻 座上去，能办到吗座上去，能办到吗? ?为什么？为什么？【巩固】 某班有某班有 4545 名同学按名同学按 9 9 行行 5 5 列坐好老师想让每位同学都坐到他的邻座列坐好老师想让每位同学都坐到他的邻座( (前后左右前后左右) )上去，问这能否上去，问这能否 办到办到? ? 例题例题 2 22 2【巩固巩固】有一次车展共有一次车
4、展共 66=3666=36 个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所 示示参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来? ?例题例题 3 33 3例题例题 4 44 4右图是某一套房子的平面图，共右图是某一套房子的平面图，共 1212 个房间，每相邻两房间都个房间，每相邻两房间都 有门相通请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房有门相通请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房 间吗间吗? ?在一个正方形的果园里，种有在一个正方形的果
5、园里，种有 6363 棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成 八行八列，如图（八行八列，如图（1 1）. .守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏( (不许斜不许斜 走走) )，最后又回到小屋，行吗？如果有，最后又回到小屋，行吗？如果有 8080 棵果树，如图（棵果树，如图（2 2） ，连小屋排成九行九列，连小屋排成九行九列 呢？呢？右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一 只马只马. . 众所周知，马是走众所周知，马是走“日日”字的字的. . 请请 问：这只马能否不
6、重复地走遍这半张棋盘问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘 上的每一个点，然后回到出发点？上的每一个点，然后回到出发点？例题例题 5 55 5【巩固巩固】下图是由下图是由 4040 个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成 2020 个相同的长方形？个相同的长方形？【巩固巩固】下面的三个图形都是从下面的三个图形都是从 4444 的正方形纸片上剪去两个的正方形纸片上剪去两个 1111 的小方格后得到的的小方格后得到的. . 问：能否把它们分问：能否把它们分 别剪成别剪成 1212 的七个小矩形？的七个小矩形？例题例题 6 66 6【巩固巩固】能否用能否用 9 个个所
7、示的卡片拼成一个所示的卡片拼成一个 66 的棋盘？的棋盘？【巩固巩固】9 个个 14 的长方形不能拼成一个的长方形不能拼成一个 66 的正方形，请你说明理由！的正方形，请你说明理由！【巩固巩固】用若干个用若干个 2222 和和 3333 的小正方形不能拼成一个的小正方形不能拼成一个 11111111 的大正方形，请你说明理由！的大正方形，请你说明理由！右图是由右图是由 1414 个大小相同的方格组成的图形个大小相同的方格组成的图形. . 试问试问 能不能剪裁成能不能剪裁成 7 7 个由相邻两方格组成的长方形？个由相邻两方格组成的长方形？用用 11 个个和和 5 个个能否盖住能否盖住 88 的大
8、正方形的大正方形?【巩固巩固】对于表（对于表（1 1） ，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若 干次后（各次减去或加上的数可以不同）干次后（各次减去或加上的数可以不同） ，变为表（，变为表（2 2）？为什么？）？为什么？例题例题 7 77 7模块二：操作问题模块二：操作问题例题例题 8 88 8例题例题 9 99 9例题例题 10101010【巩固巩固】甲、乙、丙、丁分甲、乙、丙、丁分 29 头羊头羊. 甲、乙、丙、丁分别得甲、乙、丙、丁分别得，应如何分？，应如何分？1 1 11,2 5 6 10右图是一个圆盘，中心轴固定在
9、黑板上右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上. .开始时，圆盘上每个数字所对应的黑开始时，圆盘上每个数字所对应的黑 板处均写着板处均写着 0.0.然后转动圆盘，每次可以转动然后转动圆盘，每次可以转动 9090的任意整数倍，圆盘上的四的任意整数倍，圆盘上的四 个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数 上上. .问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是 999999？有有 7 7 个苹果要平均分给个苹果要平均分给 1212 个小朋友，园长要求每个苹果最多分成个
10、小朋友，园长要求每个苹果最多分成 5 5 份应该怎样份应该怎样 分？分？有一位老人，他有三个儿子和十七匹马有一位老人，他有三个儿子和十七匹马. .他在临终前对他的儿子们说：他在临终前对他的儿子们说：“我已经写我已经写 好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的要求去分好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的要求去分.”.”老人去世后，三兄弟老人去世后，三兄弟看到了遗嘱看到了遗嘱. .遗嘱上写着：遗嘱上写着：“我把十七匹马全都留给我的三个儿子我把十七匹马全都留给我的三个儿子. .长子得长子得，次，次1 2子得子得，给幼子，给幼子. .不许流血，不许杀马不许流血，不许杀马. .你们必须遵从父亲的
11、遗愿！你们必须遵从父亲的遗愿！”请你帮助请你帮助1 31 9 他们分分马吧！他们分分马吧！例题例题 11111111【巩固巩固】9 个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?例题例题 12121212【巩固巩固】 大桶能装大桶能装 5 千克油，小桶能装千克油，小桶能装 4 千克油，你能用这两只桶量出千克油，你能用这两只桶量出 6 千克油吗千克油吗?怎么量？怎么量？【巩固巩固】 有一个小朋友叫小满，他学会了韩信分油的方法，心里很是得意有一个小朋友叫小满，他学会了韩信分油的方法，心里很是
12、得意. 一天，他遇到了两位农妇一天，他遇到了两位农妇. 两位两位 农妇有两个各装满了农妇有两个各装满了 10 升奶的罐子，还有一个升奶的罐子，还有一个 5 升和一个升和一个 4 升的小桶，她们请求小满就用这些容升的小桶，她们请求小满就用这些容 器将罐子中的奶给两个小桶中各倒入器将罐子中的奶给两个小桶中各倒入 2 升奶升奶.小满按照韩信分油的方法，略加变通，就将奶分好了！小满按照韩信分油的方法，略加变通，就将奶分好了！ 你说说具体的做法！你说说具体的做法！例题例题 13131313例题例题 141414148 个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无个金币中，有一个
13、比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无 砝码）砝码）据说有一天，韩信骑马走在路上，看见两个人正在路边为分油发愁据说有一天，韩信骑马走在路上，看见两个人正在路边为分油发愁.这两个人有一这两个人有一 只容量只容量 10 斤的篓子，里面装满了油；还有一只空的罐和一只空的葫芦，罐可装斤的篓子，里面装满了油；还有一只空的罐和一只空的葫芦，罐可装 7 斤油，葫芦可装斤油，葫芦可装 3 斤油斤油.要把这要把这 10 斤油平分，每人斤油平分，每人 5 斤斤. 但是谁也没有带秤，只能但是谁也没有带秤，只能 拿手头的三个容器倒来倒去拿手头的三个容器倒来倒去.应该怎样分呢？应该怎样分呢？有大，中，小
14、有大，中，小 3 个瓶子，最多分别可以装入水个瓶子，最多分别可以装入水 1000 克，克，700 克和克和 300 克克.现在大瓶现在大瓶 中装满水，希望通过水在中装满水，希望通过水在 3 个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出 100 克水的刻度克水的刻度 线，问最少要倒几次水线，问最少要倒几次水老师在黑板上画了老师在黑板上画了 9 9 个点，要求同学们用一笔画出一条通过这个点，要求同学们用一笔画出一条通过这 9 9 个点的折线个点的折线( (只许只许 拐三个弯儿拐三个弯儿) )你能办到吗你能办到吗? ?例题例题 15151515例题例题 16161616例题例
15、题 17171717练习练习 1 11 1练习练习 2 22 2练习练习 3 33 3练习练习 4 44 4一只电动老鼠从左下图的一只电动老鼠从左下图的 A A 点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就 是向右转。当这只电动老鼠又回到是向右转。当这只电动老鼠又回到 A A 点时，甲说它共转了点时，甲说它共转了 8181 次弯，乙说它共转了次弯，乙说它共转了 8282 次弯。如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？次弯。如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重你有四个装
16、药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重 量量1.1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？如右图所示，将如右图所示，将 1 11212 顺次排成一圈顺次排成一圈. . 如果报出一个数如果报出一个数 a a（在（在 1 11212 之间）之间） ，那么就从数，那么就从数 a a 的位置顺时针走的位置顺时针走 a a 个数的个数的 位置位置. . 例如例如 a=3a=3，就从，就从 3 3 的位置顺时针走的位置顺时针走 3 3 个数的位置到达个数的位置到达 6 6 的位置；的位置；a=11a=11，就从，就从 1111 的位置顺时针走的位置顺时针走 1111 个数的位置到个数的位置到 达达 1010 的位置的位置. . 问：问：a a 是多少时，可以走到是多少时，可以走到 7 7 的位置？的位置？如图（如图（1） ，对相邻的两格内的数同时加上，对相邻的两
