2012数学高考题

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1、20122012 数学高考题数学高考题2012 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时120 分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。注意事项：1.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置

2、，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。参考公式：锥体的体积公式：V= Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。如果事件 A，B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件 A,B独立，那么 P（AB）=P（A）?P（B） 。第 I 卷（共 60 分）一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 若复数 x 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚

3、数单位)，则 z 为A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析： .答案选 A。另解：设 ，则 根据复数相等可知 ，解得 ，于是 。2 已知全集 =0,1,2,3,4，集合 A=1,2,3,，B=2,4 ，则（CuA） B 为A 1,2,4 B 2,3,4C 0,2,4 D 0,2,3,4解析： 。答案选 C。3 设 a0 a1 ，则“函数 f(x)= ax 在 R 上是减函数 ” ，是“函数 g(x)=(2-a) 在 R 上是增函数”的A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件解析：p：“函数 f(x)= ax 在 R 上是减函数

4、”等价于 ；q：“函数g(x)=(2-a) 在 R 上是增函数”等价于 ，即 且 a1，故 p 是 q 成立的充分不必要条件. 答案选 A。（4）采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1,2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中，编号落入区间1,450的人做问卷 A，编号落入区间451,750的人做问卷 B，其余的人做问卷 C.则抽到的人中，做问卷 B 的人数为（A）7 （B） 9 （C） 10 （D）15解析：采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人，将整体分成 32 组，每组 30 人，即 ，第 k

5、 组的号码为 ，令 ，而 ，解得 ，则满足 的整数 k 有 10 个，故答案应选 C。解析：作出可行域，直线 ，将直线平移至点 处有最大值，点 处有最小值，即 .答案应选 A。（6）执行下面的程序图，如果输入 a=4，那么输出的 n 的值为（A）2（B）3（C）4（D）5解析： ；， 。答案应选 B。(7)若 ， ，则 sin =（A） （B） （C） （D） 解析：由 可得 ，答案应选 D。另解：由 及 可得，而当 时 ，结合选项即可得 .答案应选 D。（8）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+6）=f（x） ，当-3x-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1x3 时，f（x）=x。

6、则 f（1）+f（2）+f（3）+f（2012）=（A）335（B）338（C）1678（D）2012解析： ，而函数的周期为 6，.答案应选 B(9)函数 的图像大致为解析：函数 ， 为奇函数，当 ，且 时 ；当 ，且 时 ；当 ， ， ；当 ， ， .答案应选 D。（10）已知椭圆 C： 的离心率为 ，双曲线 x2-y21 的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆c 的方程为解析：双曲 线 x2-y21 的渐近线方程为 ，代入 可得 ，则 ，又由 可得 ，则 ，于是 。椭圆方程为 ，答案应选 D。（11）现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄 色、蓝色、绿

7、色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为（A）232 (B)252 (C)472 (D)484解析： ,答案应选 C。另解： .(12)设函数 （x）= ，g（x ）=ax2+bx 若 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点 A（x1,y1）,B(x2,y2),则下列判断正确的是A.当 a0B. 当 a0, y1+y20 时，x1+x20 时，x1+x20, y1+y20解析:令 ，则 ，设 ， 令 ，则 ，要使 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点 只需 ，整理得 ，于是可取

8、来研究，当 时， ，解得 ，此时 ，此时 ；当 时， ，解得 ，此时 ，此时 .答案应选 B。另解：令 可得 。设 不妨设 ，结合图形可知，当 时如右图，此时 ，即 ，此时 ， ，即 ；同理可由图形经过推理可得当 时 .答案应选B。第卷（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。（13）若不等式 的解集为 ，则实数 k=_。解析：由 可得 ，即 ，而 ，所以 .另解：由题意可知 是 的两根，则 ，解得 .（14）如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E,F 分别为线段AA1,B1C 上的点，则三棱锥 D1-EDF 的 体积为_。解析： .（1

9、5）设 a0.若曲线 与直线 xa，y=0 所围成封闭图形的面积为a，则 a=_。解析： ，解得 .（16）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1） ，此时圆上一点 P 的位置在（0,0） ，圆在 x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时， 的坐标为_。解析：根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长，点 P 旋转了 弧度，此时点 的坐标为.另解 1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为 ，且 ，则点 P 的坐标为 ，即 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。（17） （本小题满分 12 分）已知向量 m=（sinx，1） ，函数

10、f（x）=m?n 的最大值为 6.（）求 A；（）将函数 y=f（x）的图象像左平移 个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（x）的图象。求 g（x）在 上的值域。解析：（） ，则 ;（）函数 y=f（x）的图象像左平移 个单位得到函数 的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 .当 时， ， .故函数 g（x）在 上的值域为 .另解：由 可得 ，令 ， 则 ，而 ，则 ，于是 ，故 ，即函数 g（x）在 上的值域为 .（18） （本小题满分 12 分）在如图所示的几何体中，四边形 AB CD 是等腰梯形，ABCD，DAB=

11、60，FC平面 ABCD，AEBD，CB=CD=CF。（）求证：BD平面 AED；（）求二面角 F-BD-C 的余弦值。解析：（）在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，DAB=60，CB=CD,由余弦定理可知 ,即 ,在 中，DAB=60， ，则 为直角三角形，且 。又 AEBD， 平面 AED， 平面 AED，且 ，故 BD平面 AED；（）由（）可知 ，设 ，则 ,建立如图所示的空间直角坐标系，向量 为平面 的一个法向量.设向量 为平面 的法向量，则 ,即 ，取 ，则 ，则 为平面 的一个法向量.，而二面角 F-BD-C 的平面角为锐角，则二面角 F-BD-C 的余弦值为 。（19） （本小

12、题满分 12 分）现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 ，命中得 1 分，没有命中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 ,每命中一次得 2 分，没有命中得 0 分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。（）求该射手恰好命中一次得的概率；（）求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX解析：（） ；（） E X=0 +1 +2 +3 +4 +5 = .（20） （本小题满分 12 分）在等差数列an中，a3+a4+a5=84，a9=73.（）求数列an的通项公式；（）对任意 mN，将数列an中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为 b m，求数列b

13、m的前 m 项和 Sm。解析：（）由 a3 +a4+a5=84，a5=73 可得 而 a9=73，则 ， ，于是 ，即 .（）对任意 mN， ，则 ，即 ，而 ，由题意可知 ，于是 ，即 .（21） （本小题满分 13 分 ）在平面直角坐标系 xOy 中，F 是抛物线 C：x2=2py（p0）的焦点，M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点，过 M，F，O 三点的圆的圆心为 Q，点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 。（）求抛物线 C 的方程；（）是否存在点 M，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由；（）若点 M 的横坐标为 ，直线 l

14、：y=kx+ 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，l 与圆 Q 有两个不同的交点 D，E，求当 k2 时， 的最小值。解析：（）F 抛物线 C：x2=2py（p0）的焦点 F ，设 M ， ，由题意可知 ，则点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 ，解得 ，于是抛物线 C 的方程为 .（）假设存在点 M，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M，而 ， ， ， ，由 可得 ， ，则 ，即 ，解得 ，点 M 的坐标为 . （）若点 M 的横坐标为 ，则点 M ， 。由 可得 ，设 ，圆 ， ，于是 ，令 ，设 ， ，当 时， ，即当 时 .故当 时， .22(本小题满分 13 分)已知函数 f(x) = （k 为常数，e=2.71828是自然对数的底数） ，曲线 y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与 x 轴平行。（）求 k 的值；（）求 f(x)的单调区间；（）设 g(x)=(x2+x) ,其中 为 f(x)的导函数，证明：对任意x0， 。解析：由 f(x) = 可得 ，而 ，即 ，解得 ；（） ，令 可得 ，当 时， ；当 时， 。于是 在区间 内为增函数；在 内为减函数。简证（） ，当 时， ， .当 时，要证 。只需证 ，然后构造函数即可证明。文 章 莲山课件 原文地址：http:/