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1、数数 轴轴 标标 根根 法法“数数轴轴标标根根法法 ”又称“数轴穿根法数轴穿根法”或“穿针引线法穿针引线法” 是高次不等式的简单解法 。一一、定定义义:当高次不等式()(或)的左边整式、分式不等式() ()(或)的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积 ()()()的形式,可把各因式的根标在数轴上,形成 若干个区间, 最最右右端端的的区区间间 ()、 ()()的值必为正值,从右往 左通常为正值、负值依次相间 ,这种解不等式的方法称为序轴标根法。 为了形象地体现正负值的变化规律,可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所 对应的点,穿过最后一个点后就不再变方向,这种画法俗称“穿针引线法 ”,如图
2、图一,二。二二、步步骤骤:第第一一步步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。(注注意意:一定要保证 x 前的系数为正数) 例如:将x3-2x2-x+20化为(x-2)(x-1)(x+1)0 第第二二步步:将不等号换成等号解出所有根。 例如:(x-2)(x-1)(x+1)=0 的根为:x1=2,x2=1,x3=-1 第第三三步步:在数轴上从左到右依次标出各根。 例如:-1 1 2 第第四四步步:画穿根线:以数轴为标准,从 “最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根。 第第五五步步:观察不等号,如果不等号为 “”,则取数轴上方,穿根线以内的
3、范围;如果不等号为 “ 0 0 的根。 在数轴上标根得: - -1 1 1 1 2 2 画穿根线:由右上方开始穿根。因为不等号为“ ”则取数轴上方,穿跟线以内 的范围。即: - -1 1 2 2。三三、奇奇过过偶偶不不过过:就是当不等式中含有有单独的x 偶幂项时,如 (x2)或(x4)时,穿根线是不穿过 0 点的。但是对于 X 奇数幂项,就要穿过 0 点了。还有一种情况就是例如:( X-1)2.当 不等式里出现这种部分时,线是不穿过1 点的。但是对于如( X-1)3的式子,穿根线 要过 1 点。也是奇过偶不过。可以简单记为 “奇穿过,偶弹回 ”四四、注注意意事事项项:运用序轴标根法解不等式时,
4、常犯以下的错误: 出现形如()的一次因式时,匆忙地 “穿针引线”。 例例 1 1:解不等式()()() 。 错错解解 :()()(),将各根、依 次标在数轴上,由图可得原不等式的解集为或或 。 事实上,只有将因式()变为()的形式后才能用序轴标根法, 正确的解法是: 正正解解:原不等式变形为()()(),将各根 、依次标在数轴上,由图,原不等式的解集为或 。 图一:图一: 出现重根时,机械地 “穿针引线” 例例 解不等式 23(1) (4)0x xx错错解解:将三个根、标在数轴上,由图得, 原不等式的解集为或。(如图二) 图二:图二:这种解法也是错误的,错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现
5、几个相同的 根时,所画的浪线遇到 “偶次”点(即偶数个相同根所对应的点)不能过数轴,仍在 数轴的同侧折回,只有遇到 “奇次”点(即奇数个相同根所对应的点)才能穿过数轴, 正确的解法如下: 正正解解:将三个根、标在数轴上,如图画出浪线图来穿过各根对应点, 遇到的点时浪线不穿过数轴,仍在数轴的同侧折回;遇到的点才穿过数轴, 于是,可得到不等式的解集 且 (如图三) 图三图三: 出现不能再分解的二次因式时,简单地放弃 “穿针引线” 例例 解不等式()()() 错错解解:原不等式变形为()()()() ,有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了,因为序轴标根法指明要 分解成一次因式的积 ,事实上,根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法 即可。正正解解:原不等式等价于 ()()()() , 对一切恒成立, ()()(), 由图可得原不等式的解集为或或图四图四: