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1、1高考试题中函数与导数综合题的求解策略高考试题中函数与导数综合题的求解策略函数在数学中具有举足轻重的地位，它不仅是高中数学的核心和主线内容，也是学生 进一步学习高等数学的基础，而导数“下嫁”到高中数学后，为研究函数提供了简捷有效 的方法，因此函数与导数的综合题就成了高考的热点、重点、难点！ 主要题型：主要题型： 求含参函数的单调区间，求含参函数的单调区间， 函数在某一区间是减函数（或增函数）求参数范围函数在某一区间是减函数（或增函数）求参数范围 切点、切线，极值点等，求函数解析式切点、切线，极值点等，求函数解析式 证明与计算一些几何问题（面积定值，恒过一定点等等）证明与计算一些几何问题（面积定
2、值，恒过一定点等等） 比较大小或证明不等式或解不等式比较大小或证明不等式或解不等式 方程的根的个数（零点）方程的根的个数（零点） ，求参数范围，求参数范围 恒成立问题恒成立问题 极值或最值极值或最值例例 1 1：已知函数：已知函数（P11）32( )1,f xxaxxaR讨论函数的的单调区间( )f x设函数在区间是减函数，求的取值范围（）( )f x21(,)33a2a 若恒成立，求的取值范围。( )(0,1)f xx xa递增，递减，递增23(,)3aa 2233(,)33aaaa 23(,)3aa 例例 2 2：设函数：设函数，曲线在点处的切线方程为1( )( ,)f xaxa bzxb
3、( )yf x(2,(2)f3y 求的解析式（）( )f x1 1yxx证明函数的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心( )yf x2证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定( )yf x1x yx值例例 3 3：已知：已知是函数的一个极值点3x 2( )ln(1)10f xaxxx求的值a求函数的单调区间( )yf x若直线与函数的图象有三个交点，求的取值范围yb( )yf xb例例 4 4：已知二次函数满足：当时有极值，图象与 Y 轴交点的纵坐标为-3，( )f x1x 且在该点处的切线与直线垂直24xy求(1)f求函数的值域( )( ln ),1,2g xf xx x3
4、若曲线上任意一点处的切线的斜率恒大于，求的取(ln ),(1,)yfx x22aaa值范围例 5：（2009 湖北卷文）已知关于 x 的函数 f(x)331xbx2cxbc,其导函数为 f+(x).令 g(x)f+(x),记函数 g(x)在区间-1、1上的最大值为 M.()如果函数 f(x)在 x1 处有极值-34，试确定 b、c 的值： （）若b1,证明对任意的 c,都有 M2: ()若 MK 对任意的 b、c 恒成立，试求 k 的最大值。例 6：（2009 陕西卷文）已知函数3( )31,0f xxaxa 求( )f x的单调区间； 若( )f x在1x 处取得极值，直线 y=my 与(
5、)yf x的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。4例 7：（2009 宁夏海南卷理）已知函数32( )(3)xf xxxaxb e如3ab ，求( )f x的单调区间；若( )f x在(, ),(2,)单调增加，在( ,2),( ,)单调减少，证明6. 21 世纪教育网解析：（1）22( )333(),fxxaxa当0a 时，对xR，有( )0,fx 当0a 时，( )f x的单调增区间为(,) 当0a 时，由( )0fx 解得xa 或xa；5由( )0fx 解得axa，当0a 时，( )f x的单调增区间为(,),(,)aa ；( )f x的单调减区间为(,)aa。（2）因为( )f x
6、在1x 处取得极大值，所以2( 1)3 ( 1)30,1.faa 所以32( )31,( )33,f xxxfxx由( )0fx 解得121,1xx 。由（1）中( )f x的单调性可知，( )f x在1x 处取得极大值( 1)1f ，在1x 处取得极小值(1)3f 。因为直线ym与函数( )yf x的图象有三个不同的交点，又( 3)193f ，(3)171f，结合( )f x的单调性可知，m的取值范围是( 3,1)。（21）解：（）当3ab 时，32( )(333)xf xxxxe，故 322( )(333)(363)xxfxxxxexxe 3(9 )xexx (3)(3)xx xxe 当3
7、x 或03( )0;xfx时，当303( )0.xxfx 或时，从而( )(, 3),(0,3)3 03f x 在单调增加，在（，），（，）单调减少.()3223( )(3)(36)(6).xxxfxxxaxb exxa eexaxba 6由条件得：3(2)0,22(6)0,4,fababa即故从而3( )(6)42 .xfxexaxa 因为( )( )0,ff所以3(6)42(2)()()xaxaxxx2(2)().xxx将右边展开，与左边比较系数得，2,2.a 故2()4124 .a又(2)(2)0,2()40.即由此可得6.a 21 世纪教育网 于是6. 例题 7：设，其中，且为自然数的
8、( )2 ( )qg xpxf xx( )lnf xx( )2(pg eqeee底数） 1：求与的关系pq2：若在其定义域内为单调函数，求的取值范围( )g xp3：试证明：( )1(0)f xxx并用它来证明下面两个结论：1 *1ln1()nnnNn * 22ln11(1)()2nnNnn（I）解：2( )2fxxbxc Q，由( )f x在1x 处有极值4 3可得(1)120 14(1)33fbcfbcbc 解得1,1bc 或1 3b c 7若1,1bc ，则22( )21(1)0fxxxx ，此时( )f x没有极值；若1,3bc ，则2( )23(1)(1)fxxxxx 当x变化时，(
9、 )f x，( )fx的变化情况如下表：x(, 3) 3( 3,1)1(1,)( )fx0+0( )f x极小值12Z极大值4 3当1x 时，( )f x有极大值4 3，故1b ，3c 即为所求。（）证法 1：22( ) |( )| | ()|g xfxxbbc 当| 1b 时，函数( )yfx的对称轴xb位于区间 1.1之外。( )fx在 1,1上的最值在两端点处取得故M应是( 1)g 和(1)g中较大的一个2(1)( 1) | 12| 1 2| |4 | 4,Mggbcbcb 即2M 证法 2（反证法）：因为| 1b ，所以函数( )yfx的对称轴xb位于区间 1,1之外，( )fx在 1
10、,1上的最值在两端点处取得。故M应是( 1)g 和(1)g中较大的一个假设2M ，则( 1) | 1 2| 2 (1) | 12| 2gbc gbc 21 世纪教育网 将上述两式相加得：4 | 1 2| 12| 4| 4bcbcb ，导致矛盾，2M（）解法 1：22( ) |( )| | ()|g xfxxbbc （1）当| 1b 时，由（）可知2M ；8（2）当| 1b 时，函数(yfx）的对称轴xb位于区间 1,1内， 此时max( 1), (1), ( )Mggg b由(1)( 1)4 ,ffb有2( )( 1)( 1)0fbfbm若10,b 则(1)( 1)( ),( 1)max(1)
11、, ( )fffbggg b，于是21111max |(1),|( )|(|(1)|( )|)|(1)( )|(1)2222Mffbffbffbb若01b，则( 1)(1)( ),fffb(1)max( 1), ( )ggg b于是21111max |( 1)|,|( )|(|( 1)|( )|)|( 1)( )|(1)2222Mffbffbffbb综上，对任意的b、c都有1 2M 而当10,2bc时，21( )2g xx 在区间 1,1上的最大值1 2M 故Mk对任意的b、c恒成立的k的最大值为1 2。解法 2：22( ) |( )| | ()|g xfxxbbc （1）当| 1b 时，由（
12、）可知2M ； （2）当| 1b 时，函数( )yfx的对称轴xb位于区间 1,1内，此时max( 1), (1), ( )Mggg b24( 1)(1)2 ( ) | 1 2| 12| 2|Mggg hbcbcbc 22| 1 2( 12)2()| |22| 2bcbcbcb ，即1 2M 16.（2009 天津卷文） （本小题满分 12 分）设函数0) ,( ,) 1(31)(223mRxxmxxxf其中（）当时，1m曲线）（，在点（11)(fxfy 处的切线斜率（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数)(xf有三个互不相同的零点 0，21,xx，且21xx 。若对任意的,21xxx，)
13、1 ()(fxf恒成立，求 m 的取值范围。9【答案】 （1）1（2）)(xf在)1 ,(m和),1 ( m内减函数，在)1 ,1 (mm 内增函数。函数)(xf在mx1处取得极大值)1 (mf，且)1 (mf=31 3223 mm函数)(xf在mx1处取得极小值)1 (mf，且)1 (mf=31 3223mm【解析】解：当1) 1 (,2)(,31)(12/23fxxxfxxxfm故时，所以曲线）（，在点（11)(fxfy 处的切线斜率为 1. 21 世纪教育网 （2）解：12)(22mxxxf，令0)(xf，得到mxmx1,1因为mmm11, 0 所以当 x 变化时，)(),(xfxf的变化情况如下表：x)1 ,(mm1)1 ,1 (mm m1),1 ( m)(xf+0-0+)(xf极小值极大值)(xf在)1 ,(m和),1 ( m内减函数，在)1 ,1 (mm 内增函数。函数)(xf在mx1处取得极大值)1 (mf，且)1 (mf=31 3223 mm函数)(xf在mx1处取得极小值)1 (mf，且)1 (mf=31 3223mm（3）解：由题设， )(31) 13
