《【2017年整理】基于Magnus和Fer展开式构造一般非线性动力学方程的几何积分方法.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【2017年整理】基于Magnus和Fer展开式构造一般非线性动力学方程的几何积分方法.pdf（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 ! 卷 第 !# 期 $# 年 !#!月!学 术 论 文!基 于!#$%&和()展 开 式 构 造 一 般 非 线 性动 力 学 方 程 的 几 何 积 分 方 法!张 素 英!邓 子 辰!， !# 西 北 工 业 大 学 工 程 力 学 系 ， 西 安 $!%$；# 大 连 理 工 大 学 工 业 装 备 结 构 分 析 国 家 重 点 实 验 室 ， 大 连 !&%(!(% 收 稿 ， %)(%)(!) 收 修 改 稿国 家 自 然 科 学 基 金 （ 批 准 号 ： !%$%*)） 、 霍 英 东 青 年 教 师 基 金 （ 批 准 号 ： $!%+） 、 高 校 博 士 点 专 项
2、 基 金 （ 批 准 号 ： %!%&,%!&） 、 大 连 理工 大 学 工 业 装 备 结 构 分 析 国 家 重 点 实 验 室 开 放 基 金 及 西 北 工 业 大 学 博 士 创 新 基 金 资 助 项 目-(./01： 23405/676389#429#:6 或 ;9?/6=7?57 恒 等 式 等线 性 相 关 性 ， 最 后 可 得!， 9 !， ， 的 表 达 式如 下 ：!$ *#2-!1*0#1-!/2*A#-!/*/#$，!1$ &!1*0 #2， #!- * (A&!/2 #2， #0-!12 #!， #1)- * (%&!/ #2， #A-!112 #!， #&!
3、0 #1， #0) ，!0$ *A!0$2 #2， #2， #1&!12 #!， #2， #!( )-*(%!$/2 #2， #2， #&!112 #2， #!， #0-!$%12 #!， #!， #1-!$2/ #1， #2， #1&!/2 #0， #2， #!) ，!$!%12*A #2， #2， #2， #!- * (%!$%12 #2， #2， #2， #0-!$2/2 #!， #2， #2， #1&!%A$2 #2， #2， #!， #1-!201 #2， #1， #2， #!&!$%12 #!， #!， #2， #!) ，（ !2）这 里 #,!， #,1， ， #,. B !，
4、#,.% #,!， #,1， ， #,. B !， #,. !再 引 进 一 元 积 分 ：$（ ,）$!*,!#- * +1#& * +1（ #& #）,! # -*( )13# , $ 2， !， 1， （ !）把 :;65. 级 数 （ =） 式 代 入 （ !） 式 ， 可 得$（ 2）$ *#2-!1*0#1-!/2*A#-!/*%#$- ，=2!第 ! 卷 第 !# 期 $# 年 !# 月!（ !）!#!#$%&#!%#(#!&$%#)# ，!（ ）!$#!#$&#!%#(%#!&$%)# ，（ !）经 过 简 单 的 变 量 代 换 （ !$） 式 中 的!$可 以 由 （ !）
5、 式的 !（ %）表 示 ， 那 么 ， 方 程 （ !） 的 二 阶 及 四 阶 的 近 似解 ( * #为# ! +,-（!）! +,-（ $）# &（ &）! +,-（ !（ $）# &（ &）（ !&）和# ! +,-（!）! +,-（!#!）# &（ (） ， （ !%）其 中! !（ $），! !（ $）， !（ ! ），进 一 步 可 得 线 性 微 分 方 程 （ (） 的 解 (!# 非 线 性 微 分 方 程 的 近 似 解 法一 般 非 线 性 动 力 学 方 程$! %（ $， )） ， $（ )$）! $， （ !(）可 以 表 示 为$! &%$ ， （ !）其 中
6、&%!*% ! !%（ $， )）$%（ !)）是 一 微 分 算 子 !.， 它 也 是 线 性 算 子 / 这 样 ， 线 性 映射 作 用 成 为 原 微 分 方 程 的 新 模 式 ， 基 于 012345 级 数方 法 ， 本 节 旨 在 寻 求 一 个 解 算 子（ )） 简 记 为，使 得$（ )） !$（ !#）沿 解 曲 线 ， 我 们 有%（ $， )） !%（ $， )） ， （ !.）方 程 （ !(） 可 写 为$!&%（ $， )）$， （ $）所 以（ )） 满 足 如 下 方 程 ：!&%（ $， )），（ $）! (（ !）下 面 我 们 应 用 012345
7、 展 开 式 近 似 构 造（ )） ( 假设6 +,-&!（ $， )( )） ， 其 中!（ $， )） 6!7$ !$（ $，)） ， 那 么 ， 级 数 中 的 前 两 项 为 （ 注 意 &%的 位 置 在 右 边 ，!的 符 号 变 了 ） ：!（ $， )）!#)$%（ $， +） 8+，!（ $， )）! !#)$8+!#+!$8+ %（ $， +!） ， %（ $， +） (（ ）其 中 ， %， ( 6 ) 是 对 应 于 两 个 矢 量 场 的 李 括号 的 一 个 新 矢 量 场 ， 其 分 量 为%! %， (%! &%(% &(%!*, ! !%,(%-, (,%-
8、( ),，（ &）对 应 于 两 个 算 子 &%和 &(的 交 换 子 是 ：&)! &%， &(! &%&( &(&%( （ %）如 果 对 于 所 有 的 +!和 +，&%（ $， +!）， &%（ $， +! ） 6$恒 成 立 ， 那 么 显 含 时 间 ) 的 微 分 方 程 （ !） 的 解 为6 +,-#)$&%（ $， )）8( )+ ( 不 显 含 时 间 ) 的 动 力 学 方程 显 然 属 于 这 种 情 况 (在 经 典 力 学 领 域 ， 通 常 把 时 间 ) 作 为 新 的 变量 ， 将 时 变 系 统 转 化 为 不 显 含 时 间 的 动 力 学 系 统 来
9、处 理 问 题 ， 然 而 ， 这 样 会 使 原 动 力 学 系 统 的 代 数 结构 复 杂 化 ( 基 于 012345 级 数 方 法 我 们 将 从 另 一 个 角度 来 求 解 时 变 的 、 非 线 性 的 动 力 学 方 程 ( 事 实 上 ，在 一 个 步 长 范 围 内 ， 012345 近 似 方 法 可 以 看 成 是 一(.$!第 ! 卷 第 !# 期 $# 年 !# 月种 平 均 方 法 ， 例 如 ， 将 （ !） 式 平 均 化 可 得#!#! （ !） ， !（ !$） !（ !$） ，其 中 ， （ !） %!#!$ #!$（ !， %） #%， 它 的 解
10、 是 （ !） 式的 二 阶 的 近 似 解 !（ #） % !（ #） & &（ #） ， 对 应 于截 取 了 ()*+,- 级 数 的 前 两 项 所 得 近 似 解 同 上 一 节 一 样 ， 为 了 利 用 ()*+,- 级 数 方 法 的 时间 对 称 性 ， 我 们 在 !(!).% !(&#.时 刻 ， 将 （ !， !）进 行 李 级 数 展 开（ !， !） /* $#*（ !+ !(!).）*， （ .）其 中#*!* ！#*#!*! !(!).（ .0）沿 解 曲 线 ,-% ,-（ !） ， - %!， .， ， .， 对 于 （ !， !）的 分 量 /*（ !，
11、!） ， * %!， .， .， 我 们 得 到#/*#!#,!#!，#,.#!， ，#,.#!，#!#( )!#/*#,!，#/*#,.， ，#/*#,.，#/*#( )!（ /!， /.， ， /.， !）#/*#,!，#/*#,.， ，#/*#,.，#/*#( )! $/*，（ .1）其 中$ $（ !， !） /!（ !， !）#,!$ /.（ !， !）#,.$#!（ /!， ， /.， !）#,!， ，#,.，#( )!， （ .2）另 外#./*#!.#(!#/*#)!#!（ $/*）#,!#!#,! $/*$#,.#!#,. $/*$#,.#!#,. $/*$#! $/*#,!
12、#!，#,.#!， ，#,.#!，( ) (!#,!，#,.， ，#,0，#)!（ $/*） $./*，#-/*#!- $-/*- $， !， .， （ .3）但 上 述 只 能 算 出 ! % !(时 刻 （ .3） 式 中 的 各 阶 导 数 值 ，最 后 有#*#!*! !(!)./( *#( ).（ (+ *）（ (+ *） ！#(#!(! !(， （ $）如 果 是 自 治 系 统 ， 则 $ % $/用 （ .） 式 中 （ !， !） 的 李 级 数 展 开 式 来 计 算()*+,- 级 数 的 各 项!(， 并 利 用 多 重 交 换 子 的 线 性 相关 性 ， 最 后 可
13、 得!(， ( %!， ， 0 的 表 达 式 如 下 ：! #$!.#.$!2$#4$!442#1#0，!. +!.# #$， #!$ # (+!2$ #$， #$!.4$ #!， #.)$ # (1+!442 #$， #$!.4$ #!， #4+!44 #.， #) ，! #!0$ #$， #$， #.+!.4$ #!， #$， #!( )$# (1!02$ #$， #$， #4+!.4$ #$， #!， #$!01.$ #!， #!， #.$!0$42 #.， #$， #.+（ !）!24$ #， #$， #!) ，!4!1.$# #$， #$， #$， #!$ # (1!01.$ #$
14、， #$， #$，#$!0$42$ #!#$， #$， #.+!10$ #$， #$， #!， #.$!4$. #$， #.， #$， #!+!01.$ #!， #!， #$， #!) ，! # (1+ !.$ #$， #$， #$， #$#.+03$!第 ! 卷 第 !# 期 $# 年 !# 月!#$%# !#， !#， !， !#， !&(# !， !#， !#， !#， !) ，!( #&$ !#$%# !#， !#， !#， !#， !#， ! %现 在 引 入 一 元 积 分（ &）!#&!(! # )$($ # )$（ $ (）&# $， !#( )$) ，& #， !， $， ， （ $）把 （ $） 式 中 #（ $， ） 的 李 级 数 展 开 式 代 入 （ $） 式 ，得 到（ #） #!#!$#!$!*#!%!%*#&!(! ，（ !）!$#$!*#%!%*#(!$#%#*!&! ，（ $）!$#!#!*#!$!%*#!%!$#%#&!(! ，（ ）!*#$!%*#%!$#%#(!
