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1、高雄師範大學數學系一年甲班 49831108 陳嘉惠第一章整數系統與浮點數 2第 1.1 節整數系統: 2第 1.2 節 浮點數 4第二章數學式 7第 2.1 節定義與定理 7第 2.2 節矩陣的性質與計算 11第 2.3 節國高中考題 16第三章數學家的介紹 17第 3.1 節萊布尼茲 17第 3.2 節現代科學家 37第四章笑話 39第 4.1 節珊瑚礁 39第 4.2 節小 偷 最 怕 哪 幾 個 字 ? 39第 5 章大學 生活與期望 39高雄師範大學數學系一年甲班 49831108 陳嘉惠第一章整數系統與浮點數第 1.1 節整數系統:I.非負整數A. 10 進位 01101aann9
2、0iB. 16 進位16123123012FA 2665162EX. 5,4E,D,C,B0,15aaAFEn 代 表代 表代 表代 表代 表代 表C. 8 進位 70aiD. 2 進位1,0iII.不同進位的交換十進位 二進位205610 121326497 高雄師範大學數學系一年甲班 49831108 陳嘉惠二進位 十進位101352 42810 直 接 成 開 再 相 加二進位 八進位 8282356710. 48 3 EX進 位 數化 成 個 數 分 成 一 組每 進 位 數 由 右 而 左將八進位 二進位2101280810810810. 73654EX 2 進位 16 進位由右而左
3、，每 4 位數合成一數759101096661023297. 21 25AFDEXIII.二補數1.目的:針對 8 位元(或 16,32,64 位元)整數系統有正負極加減運算EX.八位元 (第 7 位=0 表該數為正，第 7 位=1 表該數為負)2.性質:正數最大是 127負數的範圍-1.-128X 為正，X 的 8 位元內容是 01234567aa高雄師範大學數學系一年甲班 49831108 陳嘉惠X 為負，-X 的 8 位元內容是 01234567bb將其二是為非負 2 進位，則其和為 8與 互為 2 補數0134567aa 012345673.一補數的 1 補數為0234567 0123
4、4567bb其中 .1iabi一個數的二補數為該數的一補數加 1第 1.2 節 浮點數I.浮點數浮點（浮點數）是屬於有理數中某特定子集的數的數字錶示，在計算機中用以近似表示任意某個實數。具體的說，這個實數由一個整數或定點數（即尾數）乘以某個基數（計算機中通常是 2）的整數次冪得到，這種表示方法類似於基數為 10 的科學記數法 。浮點數包含了假數(Mantissa) 、底數(Radix)和指數(Exponent)。實際數值的小數點位置則視指數大小而定。1.10 進位含小數化成 2 進位EX.10.125=a 3103.ba22321 321200.5.01.5. bb高雄師範大學數學系一年甲班
5、49831108 陳嘉惠2.浮點數正規化EX. 3210 201.25. 指數是 3，偏差指數是 3+127=130II.單精準浮點數(32 位元)符號 指數 尾數+-+-+-+|S| E | M |+-+-+-+31 30.23 22.0 位序號其代表的真實的數值為 (-1)S*2e*m 其中 e,m 分別為 E,M 對應的實際數值, 而E,M 僅僅是一串二進位位。 符號位 S(sign) - 1bit 0 代表正號，1 代表負號。 （+0、-0 視為相同？（歡迎補充資料） ） 指數位 E(exponent) - 8bit E 的取值範圍為 0-255（無符號整數） ，實際數值 e=E-12
6、7。 有時 E 也稱為“移碼” ，或不恰當的稱為 “階碼” （階碼實際應為 e） 尾數位 M(mantissa) - 23bit M 也叫有效數字位（ sinificand） 、繫數位（coefficient）, 甚至被稱作“小數” 。 在一般情況下，m=(1.M) 2，使得實際起作用範圍為 1尾數2。 為了對溢出進行處理，以及擴展對接近 0 的極小數值的處理能力， IEEE 754 對 M 做了一些額外規定，參見後文介紹。 2.單精準浮點數的實例對於內部存儲數據（00111111 01100110 01100110 01100110） 2： 符號位 （最左側）S=0 。這表示是個正數 高雄師
7、範大學數學系一年甲班 49831108 陳嘉惠指數 （左側第 2-9 位）E=(01111110) 2=(126)10，所以 s=S-127=-1。 尾數 （最後的 23 位）M=(1100110 01100110 01100110)2， m=(1.M)2=(1.7999999523162841796875)10 該二進位小數轉為 10 進位 的計算方式為 1 + (1/2+1/4) + (1/32+1/64) + (1/512+1/1024) 實際值 N=1.7999999523162841796875*2-1=0.89999997615814208984375 (其實，這個數據是 0.9
8、的單精度浮點數的實際內部存儲，可以看到有一 定的誤差) 這裡繼續給出另外幾個數字的實例： 1 0 01111111 00000000000000000000000 2 0 10000000 00000000000000000000000 6.5 0 10000001 10100000000000000000000 -6.5 1 10000001 10100000000000000000000 3.單精準浮點數的表示範圍及說明表示範圍 a.最大表示範圍：單精度浮點數可以表示的範圍為3.40282 * 1038（1.1111.1 2*2127） b.接近於 0 的最小值：單精度浮點數可以表示 1.
9、175 * 10-38（1.00.0 2*2-126）的數據而不損失精度。 c.當數值比以上值小的時候，將會由於尾數的有效位數減少而逐步喪失精度（IEEE 754 的規定） ，或者有的系統則直接採用 0 值來簡化處理過程。 精度 單精度浮點數的實際有效精度為 24 位二進位，這相當於 24*log1027.2 位 10 進位的精度，所以平時我們說“單精度浮點數具有 7 位精度”。（精度的理解：當從 1.000.02 變化為 1.000.12 時，變動範圍為 2-23，考慮到因為四捨五入而得到的 1 倍精度提高，所以單精度浮點數可以反映 2-24 的數值變化，即 24 位二進位精度） 高雄師範大
10、學數學系一年甲班 49831108 陳嘉惠誤差 浮點數以有限的 32bit 長度來反映無限的實數集合，因此大多數情況下都是一個近似值。同時，對於浮點數的運算還同時伴有誤差擴散現象。 a.特定精度下看似相等的兩個浮點數可能並不相等，因為它們的最小有效位數不同。 b.由於浮點數可能無法精確近似於十進位數，如果使用十進位數，則使用浮點數的數學或比較運算可能不會產生相同的結果。 c 如果涉及浮點數，值可能不往返。值的往返是指，某個運算將原始浮點數轉換為另一種格式，而反向運算又將轉換後的格式轉換回浮點數，且最終浮點數與原始浮點數相等。由於一個或多個最低有效位可能在轉換中丟失或更改，往返可能會失敗。 第二
11、章數學式第 2.1 節定義與定理I.指數1.指數律：設 ，則Nnma,(1) 。(2) 。(3) 。nm nma)( nnab)(2. 零指數：若 ，則定義 。( 無意義)Ra,01003. 整數指數：若 ，則定義 。Nn, na4. 分數指數：若 則定義 。(其中 表 的正根)。,0an1naxn而 。( )mna)Z,註： 是必須的條件，例如 但不可寫成 。028331)8(II.對數1. 對數的定義：若 ，當1,a-3-2-1 1232468高雄師範大學數學系一年甲班 49831108 陳嘉惠時，我們用符號 來表示 ，我們稱 為以 為底數時 的baxbalogxbalogb對數， 稱為真
12、數， 稱為底數。2. 反之，若 ，則 。即 。因此，定義對數時，xalogxxaxl底數 必須是不為 1 的正數，而真數 必須大於 0。b3. 以 為底數的對數稱為常用對數，我們將 簡記為 。10 1logblog4. 對數的運算：(1) 。01log,laa(2) 。srslll(3) 。aaalogllog(4) 。rsrll(5) 。(換底公式)abalog(6) 。(常用)nmanl(7) 。blog(8) 。(連鎖性質)dcaalogl5. 設 ，則稱 為以 為底數的對數函數。1,0xfal)(6. 令 ，則我們可在座標平面上畫出指數函數的圖形。當xfyalog)(在 的圖形上時，則
13、 在 的圖形上，因為 與,vu),(uvxyalog),(vu恆對稱於直線 ，所以 的圖形與 的圖形恆對稱於),(yxxalaxyagz 高雄師範大學數學系一年甲班 49831108 陳嘉惠。yx(1) (2) 1a 10a7. 圖形有以下特性：xflog)(1)對數函數定義域為 ，值域為 ，R 圖形恆在 軸右方。y(2) 時：圖形為嚴格遞增，由左而1a 右逐漸升高。愈往右邊，升高愈慢；愈往 左邊，愈接近 軸。(3) 時：圖形為嚴格遞減，由左0 而右漸降低。愈往右邊，降低愈慢；愈往左邊，愈接近 軸。y(4) 軸為其漸近線。y(5) 恆過定點 。)0,1(6) 與 的圖形對稱於 軸。xyalog
14、xya1logx(7)若 ，則 、 、 、 的dcbblyalogxyclogxydl圖形由上而下的關係如下圖。8. 當 時， 。(嚴格遞增性質)1aaalogl9. 當 時， 。(嚴格遞減性質)ll10. 若 為一對數函數，則 。)(xf (yfxyf11. 反函數：(1)定義：給了函數 與 ，設 分別是函數 定義域內的)(xfygx, )(,ygxf任意元素，如果 ，則稱 與 互為反函數，ff)(, )(f的反函數記作 ，此時 的定義域就是 的值域， 的)(xf )(1xx1x)(xfgxa1U 高雄師範大學數學系一年甲班 49831108 陳嘉惠值域就是 的定義域。)(1xf(2) 與
15、兩函數互為反函數。afxgalo(3)互為反函數的兩函數圖形必對稱於 直線。xy(4)一對一函數必有反函數。III.向量1. 有向線段：將 賦與由 到 的方向後，就稱為由 到 的有向線段，記ABAB作 ，其中 稱為始點， 稱為終點。 2. 向量：具有長度和方向的量稱為向量，我們可用有向線段來表示一個向量。如 ，稱為向量 ，其中 長為此向量的長度，記作 ， 到 稱ABAB|AB為此向量的方向。3. 零向量：始點與終點重合的有向線段 稱為零向量，通常以 表示。A04. 相等向量：長度相等且方向相同的兩向量稱為相等的兩向量。(與向量的所在位置無關)5. 向量的加法：6. 向量加法的基本性質：(1)交換律： 。ab(2)結合律： 。)()(cc(3)
