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1、一、填空题（共 10 题，每题 2 分，共 20 分） 。1 多项式可整除任意多项式。2艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。3在阶行列式中，的个数多于 个是。nD00D 4若是阶方阵，且秩，则秩 。An1AnA5实数域上不可约多项式的类型有 种。6若不可约多项式是的重因式，则是的 重因式。( )p x( )f xk( )p x(1)( )kf x7写出行列式展开定理及推论公式 。8当排列是奇排列时，则可经过 数次对换变成。1 2niiiL1 2niiiL12nL9方程组，当满足 条件时，有唯一解，唯一解为 123123 22232 121xxx axbxcxd a xb
2、 xc xd 。10若，则 ， 。242(1)1xaxbxa b 二、判断题（共 10 题，每题 1 分， 共 10 分） 。1任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。 （ ）2两个多项式互素当且仅当它们无公共根。 （ ）3设是中个向量，若，有线性相关，则12n LnPnnP 12,n L线性相关。 （ ）12n L4.设是某一方程组的解向量，为某一常数，则也为该方程组的解向量。 （ kk） 5若一整系数多项式有有理根，则在有理数域上可约。 （ ）( )f x( )f x6 秩秩，当 且仅当秩。 （ ） ()ABA0B 7向量线性相关它是任一向量组的线性组合。 （ ） 8 若，且，则。
3、 （ ( ), ( ) f x g xP x( ( ), ( )1f x g x( ( ) ( ),( )( )1f x g xf xg x） 9，且为本原多项式，若则( ), ( ) f x g xZ x( )g x( )( ) ( )f xg x h x。 （ ） ( ) h xZ x10若，则。 （ ）, ,n nA B C DPABADBCCD三、选择题（共 5 题，每题 2 分， 共 10 分） 。1为方阵，则（ ）A3A A. B. C. D. 3 AA3nA3n A2.若既约分数是整系数多项式的根，则下面结论那个正确（ ）r s( )f xA. B. (1),( 1)sr fsr
4、 f (1),( 1)sr fsr f C. D. ( 1),(1)sr fsr f ( 1),( 1)sr fsr f 3. 阶行列式，当取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号（ ）nDnA. 或 B. 或 C. 或 D. 或4k42k 4k41k 4k43k 41k 42k 4含有个未知量个方程的线性方程组有n1n11 1122111 1221,1 11,221,1nnnnnnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xb axaxaxb L L L L L L L L L L L L L L解的 （ ）条件是行列式。111211121,11,21,10nnnnnnnnnn
5、naaabaaabaaabLLLLLLLLA.充要 B.必要 C.充分必要 D.不充分不必要5 ，若既约分数是的有理根，1 110( ) nn nnf xa xaxa xaZ x Lp q( )f x则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 0,npa qa,nnpa qa0,npa qa00,pa qa四、计算题（共 4 题，每题 7 分，共 28 分） 。1设 ，432( )343f xxxxx32( )31023g xxxx求，并求使。( ( ), ( )f x g x( ), ( )u x v x( ( ), ( )( ) ( )( ) ( )f x g xu x f xv x
6、g x2计算下列阶行列式n111212122212nn nnnnnababab abababDababab L L LLLL L3求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出它的通解。123412341234123450 230 380 3970xxxx xxxx xxxx xxxx 4设，判断是否可逆，若可逆，求012 114 210A A1A五、证明题（共 4 题，每题 8 分， 共 32 分） 。1设为矩阵，如果，那么秩秩。,A Bn n0AB ( )A( )Bn2如果是的一个重根，证明是a( )fxka的一个重根。( )( )( )( )( )2xag xfxfaf xf a3k 3证明
7、：cos10000 12cos1000 012cos000 cos0002cos10 00012cos1 000012cosnDn L L L LLLLLLL L L L4设向量组12,(1)s L12,(2)t L1212,(3)st LL的秩分别为，证明。123,r r r12312max , r rrrr答案答案一1零次 2.充分 3. 4. 1 5. 2 6. 单2nn7 8. 奇 11220ijijinjnDija Aa Aa Aij L9. 互不相同 10. , ,a b c1,2ab 二15 610 三 CCBBC四1； ( ( ), ( )3f x g xx2312( )1,(
8、 )555u xxv xxx 21112121 ()()2 03nabn Daabbn n 3一般解为， 为自由未知量。1342243 2 722xxxxxx 34,x x基础解系为， 。13 2 7 2 10 21 2 0 1 4可逆，且A1211 421 31122A 五1证：令，12(,)nBB BBL1211(,)(,)(0,0,0)nnABA B BBAB ABABLLL是的解。0,1,2,iABin LiB0AX 秩秩秩。12(,)nB BBLBnA秩秩。ABn2证： 且是的重根，是的( )( )( )0g ag ag aQa( )gx1k a( )g x重根。3k 3提示：按最后一行展开，得证。nD4提示：取极大无关组，得证。
