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1、热力学与统计物理课程教案主讲教师：1 热力学与统计物理课程教案授课内容 ( 教学章节 ): 第八章玻色统计和费米统计主讲教师：授课地点授课班级教材分析：本章探讨了简并气体的性质，由微观粒子全同性原理带来的量子统计关联对简并气体的宏观性质产生决定性的影响，使玻色气体和费米气体的性质迥然不同。讨论了弱简并理想玻色和费米气体的性质。玻色-爱因斯坦凝聚、金属中的电子气和光子气体这三节内容属于统计物理学的基本理论，同时也是当前的前沿科学，因此，这部分内容有助于增强学生的创新意识和实践能力。教学目标 :知道玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式；弱简并下玻色气体和费米气体的差异；理解玻色 -爱因斯坦凝聚的
2、物理意义；能根据玻色分布讨论平衡辐射问题；掌握费米动量、费米能量等概念，并会解释白矮星等的成因。教学重点与教学难点: 教学重点： 玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式；玻色 - 爱因斯坦凝聚现象；费米能级，费米动量。教学难点：弱简并玻色气体和费米气体的性质；光子气体、费米动量、费米能量。教学内容8.1 热力学量的统计表达式8.2 弱简并玻色气体和费米气体8.3 玻色 -爱因斯坦凝聚8.4 光子气体8.5 金属中的自由电子气体8.6 白矮星8.7 二维电子气体与量子霍尔效应教学方法与手段以讲授为主，结合多媒体教学，其中玻色-爱因斯坦凝聚和金属中的电子气体、光子气体采用对比的方法进行教学，在课堂
3、上展开讨论。课后作业： P328 8.1 8.2 8.3 8.4 8.8 8.10 8.12 8.16 8.19 8.20 8.23 小论文1、玻色 - 爱因斯坦凝聚如何实现，绝对零度附近费米子系统有怎样的性质？ 2、讨论白矮星简并压的形成原因？教材与参考资料教材：热力学与统计物理汪志诚高等教育出版社热力学与统计物理课程教案主讲教师：2 第八表 玻色统计和费来统计8.1 热力学量的统计表达式一、非简并气体和简并气体第七章根据玻耳兹曼分布讨论了定域系统和满足经典极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统的平衡性质。非简并条件可以表达为：12232hmkT NVe或1223 2 3 mkThVNn人们
4、把满足上述条件的气体称为非简并气体，不论是玻色子还是费米子构成，都可以用玻耳兹曼处理； 不满足上述条件的气体称为简并气体，需要分别用玻色分布或费米分布处理。 微观粒子全同性原理带来的量子统计关联对简并气体的宏观性质将产生决定性的影响，使玻色气体和费米气体的性质迥然不同。二、热力学量的统计表达式（首先考虑玻色分布）本节推导玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式。1、玻色系统首先考虑玻色系统。如果把 ,和y看作已知的参量，系统的平均总粒子数可由下式给出：llllleaN1引出一个函数，名为巨配分函数，其定义为：llll le1 取对数得：l lle)1ln(ln系统的平均总粒子数N 可通过ln表示
5、：ln N内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值：lll l llleaU1类似地可将U通过ln表为：lnU外界对系统的广义作用力Y是 yl的统计平均值： yeayYlllllll1热力学与统计物理课程教案主讲教师：3 可将Y通过ln表为：ln1yY上式的有一个重要特例是：ln1VP由式-得：)ln(ln)ln()(ddyydNdYdydU注意上面引入ln的是y、函数，其全微分为：dyydddlnlnlnln故有：lnlnln)( dNdYdydU上式指出是NdYdydU的积分因子。在热力学部分讲过，NdYdydU有积分因子 T1，使dSNdYdydUT1比较可知 kT1，kT所以：)l
6、nln(lnkddS积分得：ln)(ln)lnln(lnkUNk kS上式就是熟知的玻耳兹曼关系。它给出熵与微观状态数的关系。2、费米系统对于费米系统，只要将配分函数改写为：llllle1其对数为：l lle)1ln(ln前面得到的热力学量的表达式完全适用。8.2 弱简并玻色气体和费米气体热力学与统计物理课程教案主讲教师：4 1、弱简并气体：虽小，或3ne但不可忽略的玻色气体和费米气体。为简单起见，不考虑分子的内部结构， 因此只有平动自由度。 分子的能量为 : )(21222 zyxpppm 。在 体 积V内 ， 在 到d的 能量 范 围 内 ， 分 子 可 能 的微 观 状 态 数 为 ：d
7、mhVgdD21233)2(2)(其中g是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度。系统的总分子数满足： 0212331)2(2edmhVgN式确定拉氏乘子 。系统的内能为： 0232331)2(2 edmhVgU引入变量x，将上述两式改写为：1)2(22/102/33xedxxmkThVgN1)2(22/302/3 3xedxxkTmkT hVgU两式被积函数的分母可表为：）（xxxeee1111在e小的情形下，xe是一个小量，可将xe11展开，只取头两项得：xx xeee111保留展开的第一项相当于将费米（玻色） 分布近似为玻耳兹曼分布。 在弱简并的情形下，保留两项。将式代入将积分求出，得： 2
8、11)2( 23232eVe hmkTgN； 211 )2( 2325232eVkTe hmkTgU两式相除，得： 241123eNkTU热力学与统计物理课程教案主讲教师：5 由于e小，可将上式第二项中的e用零级近似结果：gmkThVNe1)2(232 代入而得： 2411231)2( 2411 233232 n gNkTgmkThVNNkTU上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是由微观粒子全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能。8.3 玻色-爱因斯坦凝聚上节讨论了弱简并理想玻色 （费米） 气体的性质， 初步看到了由微观粒子全同性原理带来的量子统计关联对系统宏观性质的影响。在弱
9、简并的情形下3n小，影响是微弱的。 在本节中将会看到， 当理想气体的3n等于或大于612.2的临界值时将出现独特的玻色 - 爱因斯坦凝聚现象。考虑由N个全同、近独立的玻色子组成的系统，温度为T、体积为V。假设粒子的自旋为零。根据玻色分布，处在能级l的粒子数为：11kTl l lll eea显然，处在任一能级的粒子数都不能取负值。从式可看出， 这要求对所有能级l均有1kTl e。以0表粒子的最低能级，这个要求也可表达为：0。这就是说，理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。如果取最低能级为能量的零点即00，则式可表为：0。化学势由公式nVNeVlkTll 11确定为温度T及粒子数密度VN
10、n/的函数。在粒子数密度n给定的情形下，温度愈低由式确定的值越高。将式的求和用积分代替，可将之表达为：nedmhVkTl021233 1)2(2热力学与统计物理课程教案主讲教师：6 化学势随温度的降低而升高， 当温度降到某一临界温度CT 时，将趋于0。这时kT e趋于 1。临界温度CT 由下式定出：nedmhVcl kT0212331)2(2nedxxmkThkTxxC c0212331)2(2,可得：令：因此对于给定的粒子数密度n ，临界温度CT 为：32223 )612.2(2nmkhTc温度低于CT 时会出现什么现象呢？前面的讨论指出，温度愈低时值愈高，但在任何温度下必是负的。由此可知在
11、CTT时，仍趋于0。但这时式左方将小于 n，与 VNn给定的条件矛盾。产生这个矛盾的原因是，我们用式的积分代替式的求和。由于状态密度中含有因子 ，在将式改为式时，0的项就被弃掉了。由可以看出，在CT 以上为负的有限值时，处在能级0的粒子数与总粒子数相比是一个小量，用积分代替求和引起的误差是可以忽略的；但在CT 以下趋于0时，处在能级0的粒子数将是很大的数值， 不能忽略。因此，在CTT时，应将式改写为：nedmhTnkT 02/1 2/330 122的粒子数密度，时处在能级是温度为第一项00TTn。的粒子数密度第二项是00n计算式的第二项。令kTx/，可得：230212330)(1)2(2CkT
12、TTnedmhn将上式代入式可得，温度为T时处在最低能级0的粒子数密度为：热力学与统计物理课程教案主讲教师：7 )(1230 CTTnTn由此可知，在CT 以下0n 与 n具有相同的量级。我们知道，在绝对零度下粒子将尽可能占据能量最低的状态，对于玻色粒子，一个量子态所能容纳的粒子数目不受限制，因此，绝对零度下玻色粒子将全部处在0的最低能级。式表明，在CTT时就有宏观量级的粒子在能级0凝聚。这一现象称为玻色 -爱因斯坦凝聚，简称玻色凝聚。CT 称为凝聚温度。8.4 光子气体1、推导普朗克公式前面两节讨论了弱简并理想玻色气体的特性和612.23n时理想玻色气体出现的凝聚现象， 所讨论的系统具有确定
13、的粒子数。本节从粒子的观点根据玻色分布讨论平衡辐射问题。在平衡辐射中光子数是不守恒的根据粒子的观点，可以把空窖内的辐射场看作光子气体。如7.4 讲过，空窖内的辐射场可以分解为无穷多个单色平面波的叠加。根据6.2 ，具有一定的波矢k和圆频率 的单色平面波与具有一定的动量p和能量 的光子相应。动量p与波矢k，能量 与圆频率 之间遵从德布罗意关系：kp考虑到ck，得：cp 这是光子的能量动量关系。光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。由于窖壁不断发射和吸收光子，光子气体中光子数是不守恒的。 在导出玻色分布时只存在E是常数的条件而不存在N是常数的条件，因而只应引进一个拉氏乘子。 这样光子气体的统计分布
14、为：1ll lea热力学与统计物理课程教案主讲教师：8 因为0, kT意味着平衡状态下光子气体的化学势为零。光子的自旋量子数为1。自旋在动量方向的投影可取两个可能值，相当于左、右圆偏振。考虑到光子自旋有两个投影，可知在体积为V的空窖内，在p到dpp的动量范围内，光子的量子态数为dPPcVdPPD2 38)(将和二式代入上式可得，在体积为V的空窖内，在 到d的圆频率范围内，光子的量子态数为：dcVdD2 32)(平均光子数为： 1232 kT edcV辐射场的内能则为：d ecVdDdTU kT 1)(),(332上式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。2、讨论：（1） 、在1kT
15、的低频范围内， kTekT 1上式可近似为：kTdcVdTU2 32),(此即为瑞利金斯公式（2）在1kT的高频范围内，1kT e上式可近似为：de cVdTUkT 3 32),(此即为维恩公式3、光子气体的统计分布decVel ll02 321ln1lnln光子气体的内能为：4334215lnTcVkU8.5 金属中的自由电子气体热力学与统计物理课程教案主讲教师：9 一、电子气体的性质前面讨论了玻色气体， 现在转而讨论费米气体的性质。如前所述， 当气体满足非简并条件1e或13n时，不论由玻色子还是费米子组成的气体，都同样遵从玻耳兹曼分布。 弱简并的情形初步显示了二者的差异。本节金属中的自由电子气体为例，讨论强简并1e或13n情形下费米气体的特性。原子结合成金属后，价电子脱离原子可在整个金属内运动，形成公有电子。失去价电子后的原子成为离子， 在空间形成规则的点阵。 在初步的近似中人们把公有电子看作在金属内部作自由运动的近独立子。实验发现，除在极低温度下，
