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1、数学归纳法及其应用数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助, 而且在进一步学习及研究高等数学时,也是一种非常重要的方法 数学归纳法在证明与正整数有关的命题时有其独特之处对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是掌握这种证明方法的关键要熟练的掌握及应用数学归纳法， 首先必须准确的理解其意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中, 运用归纳假设尤为关键, 运用归纳假设推出结论最为重要数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等河南师范大学本科毕业论文1 正整数是无穷的一个与正整数N有关的命题，当1n =时表
2、示一个命题，当2n =时又表示一个命题，如此等等，无穷无尽因此，一个与正整数N有关的命题本质上包含了无穷多个命题假如我们对于这无穷多个命题， 按部就班地一个一个去证，那么不管我们的证题速度有多快，也是今生今世都证不完的在一个与正整数N有关的命题面前，作为万物之灵的人，发明了一种方法，叫做“数学归纳法”人们运用此法，只需寥寥几步，像变戏法似的，便把无穷多个命题一个不剩的全证完了1数学归纳法是数学论证的一个基本工具，是一种非常重要的数学证明方法，它典型地用于确定一个表达式在所有正整数范围内是成立的，或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的最简单和最常见的数学归纳法证明是证明当n属于所有正整
3、数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成，第一步是递推的基础 : 证明当1n =时表达式成立第二步是递推的依据: 证明如果当nk=时成立，那么当1nk=+时同样成立 ( 递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设不要把整个第二步称为归纳假设) 这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的如果这两步都被证明了， 那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中1数学归纳法的概述1 1 常用 数 学 证 明 方 法数学是一门非常注重学习方法的学科, 而数学的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，数学中研究问题的方法一般有以下分类：11.1 演绎
4、推理 从一般到特殊的推理叫做演绎推理，它又称演绎法112 归纳推理 由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳推理， 它又称归纳法根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，归纳法又可分为不完全归纳法和完全归纳法不完全归纳法是根据事物的部分 （而不是全部） 特例得出一般结论的推理方法不完全归纳法所得到的命题并不一定成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法但是，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些河南师范大学本科毕业论文2 特例的不完全归纳形成猜想， 然后再试图去证明或否定这种猜想因而学会用不
5、完全归纳法对问题进行探索，对提高数学能力十分重要完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法， 又叫做枚举法 与不完全归纳法不同， 用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法 2 1.2 数学 归纳 法的 定义数学归纳法概念 :数学归纳法是数学上证明与正整数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题1.3 数学 归纳 法的 逻辑 基础意大利有一个数学家，名叫皮亚诺（GPeano,1858-1932 ） ，他总结了自然数的有关性质， 并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理，后人称之为“皮亚诺公理”
6、皮亚诺公理的内容如下：任何一个满足下列条件的非空集合N的元素叫做自然数在这个集合中，某些元素之间存在着一种基本关系“随从”关系（或者叫做“直接后继”关系）并且满足以下五条公理：0N?（即“ 0 是自然数”） 对于N的每一个元素a, 在N中都有一个确定的随从a（我们用符号a表示a的随从，以下类同） 0 不是N中任何一个元素的随从 由ab=可以推出ab=（这就是说，N中的每个元素只能是某一个元素的随从，或者根本不是随从） 设M是自然数的集合，若它具有下列性质：（1）自然数 0 属于M；（2）如果自然数a属于M，那么它的随从a也属于M；则集合M包含一切自然数1自然数就是满足上述皮亚诺公理的集合N中的
7、元素 . 关于自然数的所有性质都是这些公理的直接推论. 由皮亚诺公理可知， 0 是自然数关于“后继”的起始元素，如果记01=，12=，23=，, ，1nn=+，, ，则河南师范大学本科毕业论文3 0,1, 2,Nn=皮亚诺公理与最小数原理是等价的， 我们可以用皮亚诺公理来证明最小数原理. 定理 1 （最小数原理）自然数集N的任意非空子集A都有最小数 . 证设M是不大于A中任何数的所有自然数的集合，即|,MnnNnmmA=危且对 任 意由于A非空，至少有一自然数aA?, 而1()aa+不在M中，所以MN1.从而必存在自然数0mM?，且01mM+. 因为若不然，就有（1）0M?(0 不大于任一自然
8、数）；（2）若mM?，则1mM+. 根据归纳原理，集合M包含一切自然数此与M是不大于A中任何数的所有自然数的集合矛盾 . 这个自然数0m就是集合A的最小数，因为对任何aA?，都有0ma；而且0mA?. 事实上，若0mA?，则有01ma+，对任意aA?，于是01mM+，这又与0m的选取相矛盾 . 下面我们用最小数原理来证明数学归纳法原理. 定理 2 （数学归纳法原理）一个与自然数有相关的命题()Tn，如果（1）00()(0)Tnn3为真；（2）假设0()()Tnnn3为真，则可以推出(1)Tn +也为真. 那么，对所有大于等于0n的正整数n，命题()Tn为真. 证用反证法 . 若命题()Tn不是
9、对所有的自然数n为真，则0|,()MmmN mnTm=纬且不 真非空. 根据定理 1，M中有最小数0m. 由（1） ，00mn，从而001mn-且0(1)Tm-为真. 由（2） ，取01nm=-即知0()Tm为真. 此与0()Tm不真相矛盾 . 从而证明了定理 2 4 . 因而从理论上讲，皮亚诺公理中的第五条公理正是数学归纳法的依据，因此，第五条公理也称做数学归纳法原理。2 数学归纳法的步骤河南师范大学本科毕业论文4 数学归纳法的步骤相当严谨, 如果把要证明的命题记作()p n, 那么数学归纳法的步骤为 : （1）证明当n取第一个允许值0n时，()p n正确；（2）假设*0(,k)nk kNn
10、=纬且时，命题成立，即()p k正确，证明当1nk=+时，(1)p k +也正确（3）根据（ 1） 、 （2） ，()p n对任意正整数0()n nn3都成立运用数学归纳法证明时 , 以上三个步骤缺一不可, 步骤（ 1）是正确的奠基步骤, 称之为归纳基础 , 步骤（ 2）反映了无限递推关系 , 即命题的正确性具有传递性, 若只有步骤（1）, 而无步骤（2）, 只是证明了命题在特殊情况下的正确性，是不完全归纳法 , 若只有步骤 (2), 而没有步骤（ 1）, 那么假设0()nk kn=成立 ,就是没有根据的 , 缺少递推的基础 , 也无法进行递推 , 有了步骤（ 1）和步骤（ 2） ，使递推成为
11、了可能 , （1）是整个数学归纳法证明的基础， （2）是最根本的一步，是整个数学归纳法证明的核心通过（2） ，人们的认识才到达了质的飞跃通过有限认识了无限而作为纯形式的这一步骤， 事实上相当于证明了一个新命题：“若0()()p kkn3真，则(1)p k +真” 步骤 (3) 是将步骤 (1) 与步骤 (2) 结合，完成数学归纳法中递推的全过程, 因此三个步骤缺一不可数学归纳法的实质在于： 将一个无法穷尽检验证明的命题转化为证明两个普通的命题：“0()p n真”和“若0()()p kkn3真，则(1)p k +真” ，从而达到证明的目的所以，可以说数学归纳法是“化归方法”的一种，它把“无限”的
12、东西转化到“有限”上来3 数学归纳法的典型应用数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种极为有效的方法，它在证明中的应用是十分广泛的应用数学归纳法可以证明与正整数n有关的恒等式、不等式、证明整除问题、证明几何问题等31 证明恒等式应用数学归纳法证明的恒等式， 包括与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、组合数公式及其恒等式等， 证明过程中只要实现等式左右两边相等即可下面举例说明河南师范大学本科毕业论文5 例 1 用数学归纳法证明：*111 () 1335(21)(21)21n nN nnn证明： (1) 当1n =时，左边11133，右边112113左边 =右边(2) 假设nk=时，等式成立即11
13、11335(21)( 21)21kkkk当1nk=+时，11111335( 21)(21)(21)( 23)121( 21)( 23)(23)1( 21)( 23)(21)(1)( 21)( 23)12(1)1kkkkkkkkkkkkkkkkkk当1nk=+时，等式也成立由(1)(2) 知，等式对任何*nN?都成立例 2 （2010 江苏卷（理科）已知 ABC 的三边长都是有理数（1）求证：co s A是有理数；（2）求证：对任意正整数n，co s n A是有理数证明：(1) 由A B、B C、A C为有理数及余弦定理知222cos 2ABACBCA ABAC+-= 是有理数(2)用数学归纳法
14、证明co sn A和sinsinAnA都是有理数当1n =时，由（ 1）知cos A是有理数，从而有2sinsin1cosAAA也是有理数假设当(1)nk k时，co skA和sinsinAkA都是有理数当1nk=+时，由河南师范大学本科毕业论文6 cos(1)coscossinsinkAAkAAkA, sinsin (1)sin(sincoscossin)(sinsin)co s(sinsin)co sAkAAkAAkAAAkAAAAkA由和归纳假设，知co s(1)kA+与sinsin(1)AkA都是有理数即当1nk=+时，结论成立综合、可知，对任意正整数n，co s nA是有理数 5数学
15、归纳法最简单的应用之一， 是用来研究排列和组合的公式， 通过高中的学习，我们已经知道：“从n个不同的元素里， 每次取r个，按照一定的顺序摆成一排， 称做从n个元素里每次取出r个元素的排列”排列的种数，称做排列数从n个不同的元素里每次取r个元素所有不同的排列数，可以用符号rnA来表示对于rnA有下面的公式：定理 1 (1)(2)(1)rnAn nnnr=-+现在我们用数学归纳法来证明它证明：首先，1 nAn=这是显然的如果再能证明11rrnnAnA-=，那么，这个定理就可以应用数学归纳法来证明我们假定n个元素是12,naaa在每次取出r个元素的rnA种排列法里，以1a为首的共有11rnA-种，以
16、2a为首的同样也有11rnA-种，由此即得11rrnnAn A-=于是定理得证 6 32 证明不等式应用数学归纳法证明不等式， 分为严格不等式和非严格不等式两种严格不等式的证明，只要保证原不等式中的“”或“”成立即可对于非严格不等式，情况略显复杂，在证明过程的第一步验证中，对于“3”或“”的处理，存在两种不同的看法，一种观点认为：在第一步中，既要验证“AB=”成立，也要说明()ABAB河南师范大学本科毕业论文7 有一个成立，即可说明非严格不等式()ABAB常成立从逻辑连接词的角度，我倾向于后者事实上，用数学归纳法证明非严格不等式时，AB=是AB3或AB的基础 7 例 1 求证：21212111()()(0)nnnaaana aaa证明： （1）当1n =时
