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1、数学物理方程答案数学物理方程第二版答案数学物理方程第二版答案第一章第一章波动方程波动方程1 方程的导出。定解条件方程的导出。定解条件 1细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以 u(x,t)表示静止时在 x 点处的 点在时刻 t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明满足方程),(txu xuExtuxt其中为杆的密度，为杨氏模量。E证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 与。现在计算这段xxx 杆在时刻 的相对伸长。在时刻 这段杆两端的坐标分别为：tt),();,(txxuxxtxux其相对伸长等于 ),(),(),(txxuxxtxuxtxxuxxx
2、令，取极限得在点的相对伸长为。由虎克定律，张力等于0xxxu),(tx),(txT),()(),(txuxEtxTx其中是在点的杨氏模量。)(xEx设杆的横截面面积为则作用在杆段两端的力分别为),(xS),(xxxxuxSxE)()(xuxxSxxEtx)()();,().,(txx于是得运动方程 ttuxxsx )()(xESutx),(xxxxxESuxx| )(| )(利用微分中值定理，消去，再令得x0xttuxsx)()(xxESu()若常量，则得)(xs=22 )(tux)(xuxEx 即得所证。2在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别
3、导出这三种情况下所对应的边界条件。解：(1)杆的两端被固定在两点则相应的边界条件为lxx , 0数学物理方程答案. 0),(, 0), 0(tlutu(2)若为自由端，则杆在的张力|等于零，因此相lx lx xuxEtlT)(),(lx应的边界条件为 |=0 xu lx同理，若为自由端，则相应的边界条件为 0xxu 00x(3)若端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置lx 的偏移由函数给出，则在端支承的伸长为。由虎克定律有)(tvlx )(),(tvtluxuE)(),(tvtluklx其中为支承的刚度系数。由此得边界条件k 其中)(uxu)(tflxEk特别地，若支承固
4、定于一定点上，则得边界条件, 0)(tv。)(uxu0lx同理，若端固定在弹性支承上，则得边界条件0xxuE)(), 0(0tvtukx即 )(uxu).(0tfx3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 22 22)1 ()1(tu hx xu hx xE其中为圆锥的高(如图 1)h 证：如图，不妨设枢轴底面的半径为 1，则x点处截面的半径 为：lhxl1所以截面积。利用第 1 题，得2)1 ()(hxxs)1 ()1 ()(2 22 2 xu hxExtu hxx若为常量，则得ExE)(22 22)1 ()1(tu hx xu hx xE4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作
5、用下，此线处于铅垂平衡数学物理方程答案位置，试导出此线的微小横振动方程。解：如图 2，设弦长为 ，弦的线密度为，则点处的张力为lx)(xT)()(xlgxT且的方向总是沿着弦在点处的切线方向。仍以表示弦上各点在时刻 沿垂直)(xTx),(txut于轴方向的位移，取弦段则弦段两端张力在轴方向的投影分别为x),(xxxu)(sin)();(sin)(xxxxlgxxlg其中表示方向与轴的夹角)(x)(xTx又 .sinxutg于是得运动方程xuxxltux)(22 xuxlgxxgx利用微分中值定理，消去，再令得x0x。)(22xuxlxgtu 5. 验证 在锥0 中都满足波动方程 2221),(
6、 yxttyxu 222yxt证：函数在锥0 内对变量222222yu xu tu 2221),( yxttyxu 222yxt有tyx,二阶连续偏导数。且 tyxttu23 222)(225 22223 222 22 )(3)(tyxtyxt tu )2()(22223 222yxtyxtxyxtxu23 222)(数学物理方程答案225 22223 222 22 3xyxtyxt xu 22225 2222yxtyxt同理 22225 222 22 2yxtyxt yu 所以 .22222225 222 2222tuyxtyxt yuxu 即得所证。 6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影
7、响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力) 与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为 b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足 的微分方程.解: 利用第 1 题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段上所受的摩阻力.由题设,xxx,单位质量所受摩阻力为,故上所受摩阻力为tubxxx, tuxxsxpb运动方程为: tuxxsxbxxuEStuES tuxxsxxx 22利用微分中值定理，消去,再令得x0x .22tuxsxbxuESxtuxsx 若常数，则得)(xs tuxbxuExtux 22若 则得方程令也是常量是常量,.,2 EaExEx.22 2 22xuatubtu 2 达朗贝尔
8、公式、达朗贝尔公式、 波的传抪波的传抪 1.证明方程数学物理方程答案常数011122222 fhtu hx axu hx x 的通解可以写成 xhatxGatxFu其中 F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题: .,:0xtuxut解：令则vuxh xvuxhxuxhxvuxuxh2,)()()()()(2222 xvuxhxuxhxuxhxvuxuxhx又 2222tv tuxh代入原方程，得222221 tvxhaxvxh即 222221 tv axv 由波动方程通解表达式得 atxGatxFtxv,所以 xhatxGatxFu为原方程的通解。 由初始条件得 ) 1 (1x
9、GxFxhx xaGxaFxhx/1数学物理方程答案所以 )2(10cdhaxGxFxx由两式解出)2(),1 ( 221 21cdhaxxhxFxxo 221 21cdhaxxhxGxxo所以 )()()()()(21),(atxatxhatxatxhxhtxu+atxatxhxha()()(21.)d即为初值问题的解散。问初始条件与满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右)(x)(x传播波组成？ 解：波动方程的通解为u=F(x-at)+G(x+at)其中 F，G 由初始条件与决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对)(x)(x于任何有 G(x+at)常数.tx,即对任何 x,
10、 G(x)C 0又 G（x）=xxaCdax02)(21)(21所以应满足)(),(xx（常数）)(xxxCda01)(1或 (x)+=0)(1xa3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） ).()(0022 2 22xuxuxuatuatxatx )0()0(数学物理方程答案解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令 x-at=0 得 =F（0）+G（2x）)(x令 x+at=0 得 =F（2x）+G(0)(x所以 F(x)=-G(0).)2(xG（x）=-F(0).)2(x且 F（0）+G(0)=).0()0(所以 u(x,t)=+-()2atx )2(atx )
11、.0(即为古尔沙问题的解。 4对非齐次波动方程的初值问题 )()(),(, 0), 0(),(22 2 22xxtuxutxttxfxuatu证明：（1）如果初始条件在 x 轴的区间x ,x 上发生变化，那末对应的解在区间，121x的影响区域以外不发生变化；2x（2）在 x 轴区间上所给的初始条件唯一地确定区间的决定区 2,1xx21,xx域中解的数值。证：（1） 非齐次方程初值问题的解为u(x,t)=atxatxaatxatx21)()(21d)(+ttaxtaxddfa0)()(.),(21当初始条件发生变化时，仅仅引起以上表达式的前两项发生变化，即仅仅影晌到相应齐 次方程初值的解。当在上
12、发生变化，若对任何 t0,有 x+atx ,则区间x-),(x)(x2, 1xx12at,x+at整个落在区间之外，由解的表达式知 u(x,t)不发生变化，即对 t0,当 xx +at,也就是（x,t）落在区间的影响域221,xx)0(2tatxxatxt数学物理方程答案之外，解 u(x,t)不发生变化。 （1）得证。(2). 区间的决定区域为 21,xxatxxatxt21, 0在其中任给（x,t）,则21xatxatxx故区间x-at,x+at完全落在区间中。因此上所给的初绐21,xx21,xx条件代入达朗贝尔公式唯一地确定出 u(x,t)的数值。)(),(xx5.若电报方程 GRuuLGCRCLuutttxx具体形如为常数GRLC, atxfttxu,的解（称为阻碍尼波） ，问此时之间应成立什么关系？GRLC,解解 atxfttxu, atxftuxx atxftaatxftut atxftaatxftaatxftutt
