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1、1步骤第一数学归纳法一般地，证明一个与自然数n 有关的命题 P(n），有如下步骤：（1）证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立。 n0对于一般数列取值为0 或 1，但也有特殊情况；（2）假设当 n=k（kn0，k 为自然数 ）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。综合（ 1）（2），对一切自然数n（n0），命题 P(n）都成立。第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命题P(n），（1）验证 n=n0，n=n1时 P(n）成立；（2）假设 nk时命题成立，并在此基础上，推出n=k+1 命题也成立。综合（ 1）（2），对一切自然数n（n0），命题 P(n）都成立。倒推归纳法又名反向归纳法（1）
2、验证对于无穷多个自然数n 命题 P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2k，k1）；（2）假设 P(k+1）（kn0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立，综合（ 1）（2），对一切自然数n（n0），命题 P(n）都成立；螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n），（1）验证 n=n0时 P(n）成立；（2）假设 P(k）（kn0）成立，能推出 Q(k）成立，假设 Q(k ）成立，能推出 P(k+1 ）成立；综合（ 1）（2），对一切自然数n（n0）， P(n），Q(n）都成立。2应用1 确定一个表达式在所有 自然数 范围内是成立的
3、或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。2 数理逻辑和 计算机科学 广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。3 证明数列前 n 项和与通项公式的成立。4 证明和自然数有关的不等式。3变体在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。从 0 以外的数字开始如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字 b 的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：第一步，证明当 n=b 时命题成立。第二步，证明如果n=m(m b）成立，那么可以推导出 n=m+1也成立。用这个方法可以证明诸如“当n3 时，n22n”这一类命
4、题。针对偶数或奇数如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：奇数方面：第一步，证明当 n=1 时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出 n=m+2也成立。偶数方面：第一步，证明当 n=0 或 2 时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出 n=m+2也成立。递降归纳法数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的 n=0,1,2,.,m”这样的命题，如果对一般的n 比较复杂，而 n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k 到 k- 1 的递推， k=1,.,m的话，我们就能应用归纳法得到
5、对于任意的n=0,1,2,.,m，原命题均成立。如果命题P(n）在n=1,2,3,.,t时成立，并且对于任意自然数k，由P(k),P(k+1 ）,P(k+2 ）,.,P(k+t-1）成立，其中 t 是一个常量，那么P(n）对于一切自然数都成立 . 跳跃归纳法设 P(n) 表示一个与自然数n有关的命题，若(1)P(1) ， P(2),P(l)成立 ;(2)假设 P(k) 成立，可以推出 P (k+l)成立, 则 P(n) 对一切自然数 n 都成立 .14合理性数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上， 它可以用一些逻辑方法证明。 数学归纳法原理可以由
6、下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：自然数集 是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）比如1, 2, 3 , 4, 5这个正整数集合中有最小的数1. 下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。对于那些不成立的数所构成的集合S，其中必定有一个最小的元素k。（1是不属于集合 S 的，所以 k1）k 已经是集合 S中的最小元素了，所以k-1 是不属于 S，这意味着 k-1 对于命题而言是成立的既然对于k-1 成立，那么也对 k 也应该成立， 这与我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对
7、所有n 都成立。2注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。解题要点数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，第一步：验证 n 取第一个自然数时成立第二步：假设 n=k 时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。最后一步总结表述。需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：证明 1：所有的马都是一种颜色首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有 1 匹马时，马的颜色只有一种。第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何 n 匹马都是
8、一种颜色。 那么当我们有 n+1匹马时，不妨把它们编好号：1, 2, 3,n, n+1对其中 （1、2,n ）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色；对（2、3,n 、n+1）这些马，我们也可以得到它们是一种颜色；由于这两组中都有 （2、3、,n ）这些马，所以可以得到，这n+1 种马都是同一种颜色。这个证明的错误来于推理的第二步：当n=1时，n+1=2，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是（ 1）和（2）它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。数学归纳法第二步要求nn+1 过程对 n=1，2，3, 的数都成立，而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大，推倒了第一块
9、， 但它不会推倒第二块。 即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等，但这个过程早已在第一和第二块之间就中断了。2证明 2：举例证明下面的定理等差数列求和公式第一步，验证该公式在n = 1时成立。即有左边 =1，右边= =1，所以这个公式在n = 1 时成立。第二步，需要证明 假设 n = m 时公式成立，那么可以 推导 出 n = m +1 时公式也成立。步骤如下：假设 n = m 时公式成立，即（等式 1）然后在等式两边 同时分别加上 m + 1 得到（等式 2）这就是 n = m +1 时的等式。我们下一步需要根据等式 1 证明 等式 2 成立。通过因式分解合并，等式2 的右边也就是这样我们就完成了由n=m成立推导出 n=m +1 成立的过程，证毕。结论：对于任意自然数n，公式均成立。对于以上例 2 的分析在这个证明中，归纳的过程如下：1.首先证明 n=1成立。2.然后证明从 n=m 成立可以推导出 n=m +1 也成立（这里实际应用的是演绎推理 法）。3.根据上两条从 n=1 成立可以推导出 n=1+1，也就是 n=2 成立。4.继续推导，可以知道n=3 成立。5.从 n=3 成立可以推导出 n=4 也成立,6.不断重复 3 的推导过程（这就是所谓 “归纳推理 “的地方）。7.我们便可以下结论：对于任意自然数n，公式成立。
