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1、- 1 -对称性积分的计算对称性积分的计算 摘要摘要 ：针对如何简化积分的计算，提出了利用积分区域的对称性方法，通过实例给出了构造对称性的方法，从而简化了积分的计算. 本文共给出了四种解对称性积分的方法来解一重、二重、三重积分. 在本文的一些积分计算的例子中，通过一般解法和利用对称性解法的对比，使读者能明显地体会到对称性在积分简化中起到的作用. 关键词关键词 ：对称性；积分区域；奇偶性；定积分；一重积分；二重积分；三重积分Using Symmetry in Integral CalculationAbstract: The symmetry solution is proposed to si
2、mplify the computation of integral. This kind of solution makes use of the symmetric feature of integral interval, and some practical examples are also presented here, showing the readers how to construct symmetry so as to simplify the computation. In this paper, four ways of solving symmetric integ
3、ral are provided for the readers to solve the questions of one-dimensional integral, double integral and triple integral. Through the comparison between the traditional solution and the symmetry solution, such examples will help the readers to get a better understanding about the significance of sym
4、metry in simplifying the computation of integral.Keywords: Symmetry; Integral domain; Parity; Definite integral; Single layer integral; Double integral; Triple integral- 2 -1 前言前言微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期. 积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在抛物线求积法中用穷竭法求出抛物线弓形的面积，虽然没有用极限，但阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽微分是联系到
5、对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的. 微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于 1629 年费尔玛陈述的概念，他给出了如何确定极大值和极小值的方法，其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生.前人的工作终于使牛顿和莱布尼茨在17世纪下半叶各自独立创立了微积分，18到19世纪，柯西和魏尔斯特拉斯等一批数学大师对于微积分建立了严格完整的理论体系，形成了近代微积分. 在文1中Dale Varberg等编写的Calculus也大概的讲解了积分学的发展史；在文2中David Nualart给出了大量的习题，具有数学的严谨性对称性的概念在数学
6、中有广泛而重要的应用. 在利用对称性求解积分题时，一般有以下两种情况：一是积分区域具有某种对称性，可利用对称性对问题进行求解；另一类是被积函数图象本身具有的对称性，还有些是它们自身潜在对称性（中心对称性）. 在求解问题的过程中，如能有意识地考虑问题的对称性并利用上面的性质来解题，往往能收到事半功倍的效果.积分区域对称性的应用：在文3中，刘涛给出了积分区间对称的概念，涉及到一重积分、二重积分和三重积分，并对各种概念给出了相应的例题. 在文4中，李长江研究了函数的区间对称性，给出了在定积分中的应用，尤其是一些奇函数与偶函数积分的计算. 在文5中,毕吕秀同样也给出了积分区间对称的概念，并给出了相应的
7、例题. 刘丽红等6，7给出了多元函数积分的概念，并给出了证明，特别是在当一些定积分它的区间不具有对称性时，可以将它转化为对称区间的积分问题来计算. 张德生等8，9给出了轮换对称性的条件并利用积分的轮换对称性来计算三重积分的计算. 程黄金，陈伟10具体介绍了几种区间对称性下的重积分中的计算，进一步完善在对称积分区间的积分巧妙应用.利用轮换对称性的应用：在文11中，曹吉利给出了一重曲线积分的轮换对称，且利用曲线积分证明了这个轮换对称. 在文12，曹荣荣给出了积分轮换对称的应用，利用与x轮换对称的性质化简. 在文13中张云艳研究了三重积分上的轮换对称的积分性质. 在文y14中郑淑江给出求三重积分值的
8、方法，研究了对称性在三重积中的应用. 在文15，16中给出了应用轮换积分求值的例题.- 3 -利用函数图象对称的应用上：在文17中，斯彩英借助与函数图象的对称性获得间接的解题途径. 当某些函数不具有对称性时，可以通过某种构造对称性，使问题迎刃而解. 例如可以将积分的区间分成几部分，这时候就可以找到对称的部分图象. 在文18胡佑增给出了积分用的图象的对称性来计算积分，在一些特殊图形中利用图象的中心对称，可以把三重积分化简. 在文17中张振强借用了奇偶性来化简重积分. 在文20，21中吴鹏与陈怀琴给出了图像本身没有对称性的应用，利用划分区间使区域有对称性.挖掘潜在的对称性：对于本身没有对称的积分，
9、且大部分都是非奇非偶函数，对于这一类的积分我们给出了几个适合普遍积分的公式. 在文22中，贾长友利用公式去计算了几类积分.- 4 -2 利用积分区间的对称性利用积分区间的对称性2.1 一重积分一重积分定理定理 2.1：设在（）上连续且为奇函数或偶函数，则有:( )f x, a a0a 02( )( )0 ( )a aaf x dxf xf x dx f x ，为偶函数;， 为奇函数.证明：证明：连续，存在，因而在的定义中，区间的分划区间 f x aaf x dx aaf x dx , a a中的选取按下面的特殊方法进行. 先取分划1,iixxi010inxxxxa，再在每一小区间上任取，令，则
10、区间被分划，0, a1,iiixx,iiiixx , a a取点完毕. 记，则. 并设. 根据1iiixxx1iiixxx iixx maxix定义有： 0011limlimnnaiiiiiiiaiif x dxfxfxffx 0101limlimniii iniii iffxffx 02,( )0 ,( )af x dxf xf x 当为偶函数;当为奇函数.这个公式在定积分的计算中应用非常广泛，它可使计算过程大大得到简化.例例 1：计算.32222(sin)cosxxxdx解：解：（积分区间为对称区间）32222(sin)cosxxxdx,2 2 （被积函数分别奇函数和偶函数）3222222
11、2cossincosxxdxxxdx222 002sin(1 sin)xx dx 2422 002(sinsin)xdxxdx 13 12( . .)2 24 2 28例例 2：计算.11()xxx edx解：解：11()xxx edx- 5 -（被积函数分别为偶函数和奇函数）1111xxxedxxedx1020xxe dx22 1e(例 1，例 2 的被积函数本身不具有奇偶性，我们把它拆开成具有奇偶性的两项或几项，然后再应用定理 1 的性质.)例例 3：求定积分.532242cos 1xxdxxx解：解：因，故为关于原点的对称区间，是5324cos()( )1xxfxf xxx 2,2532
12、4cos 1xx xx上的奇函数. .2,2532242cos01xxdxxx(例 3 的被积函数本身是一个奇函数，直接应用定理 1.)2.2 二重积分二重积分定理定理 2.2：(1)若积分区域关于(或)轴对称，设是在轴上方(或轴右侧)的部分，Dxy1DDxy则0 , ( , ) ( , )( , ) ,( , ) Df x yyx f x y dxdyf x y dxdyf x yyx 1D关于（或）为奇函数;2关于（或）为偶函数.(2)若积分区域关于,轴均对称，设是在第一象限的部分，则Dxy1DD0 , ( , ) ( , )( , ) ,( , ) Df x yxy f x y dxdy
13、f x y dxdyf x yxy 1D关于或为奇函数;4关于或均为偶函数.(3)若积分区域关于原点对称，设是的右半平面或上半平面部分，则D1DD0 , ( , )( , ) ( , )( , ) ,( , )( , ) Df x yx y f x y dxdyf x y dxdyf x yx y 1D关于为奇函数;2关于均为偶函数.证明证明(1)：在区域关于轴对称的条件下，仅证明为-型区域时的情形. 设由不DxDXD等式确定，,分别是区域在轴上方、下方部分，则有21,( )( )axbxyx1D2DDx2 20( )( , )( , )bax Df x y dxdydxf x y dy -
14、6 -10( )( , )baxdxf x y dy 10( )( ,)()baxdxf xu duyu 换元：1( )0( ,)bxadxf xu du1( )0( ,)()bxadxf xy dy换字母，1( ,)Df xy dxdy由二重积分的可加性，得12( , )( , )( , )DDDf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy11( , )( ,)DDf x y dxdyf xy dxdy，1( , )( ,)Df x yf xydxdy所以有10 , ( , ) ( , )2( , ) ,( , ) DDf x yy f x y dxdyf x y dxdyf x yy 关于为奇函数;关于为偶函数.类似地可证积分区域关于轴对称.Dy证明证明(2)：设关于轴和轴对称的有界闭域，而（其中xyDDD下上2DDD1上和分别为有界闭域位于轴上方和下方的部分，而和分别为域位于第D上D下DxD12DD上和象限中的部分） ，于是. 当III,DDDf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy下上为关于的偶函数，即时，由定理 2(1)得：,f x yy,fx yf x y又为关于的偶函数，即时，有
