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1、1解三角形解三角形1 1解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形。其他元素的过程叫作解三角形。以下若无特殊说明，均设以下若无特殊说明，均设的三个内角的三个内角的对边分别为的对边分别为，则有以下关系成立：，则有以下关系成立：ABCCBA、cba、（1 1）边的关系：）边的关系：，（或满足：两条较短的边长之和大于较长边）（或满足：两条较短的边长之和大于较长边）cbabcaacb （2 2）角的关系：）角的关系：，CBACBA、0BA0BA，
2、， 0sinACBAsin)sin(CBAcos)cos(2cos2sinCBA（3 3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形板块一：正弦定理及其应用板块一：正弦定理及其应用1 1正弦定理：正弦定理：，其中，其中为为的外接圆半径的外接圆半径RCc Bb Aa2sinsinsinRABC2 2正弦定理适用于两类解三角形问题：正弦定理适用于两类解三角形问题： （1 1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边； （2 2）已知三角形的两边与其中一边所
3、对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解 的可能）的可能） ，再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边，再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边【例例 1】1】考查正弦定理的应用考查正弦定理的应用（1 1）中，若中，若，则，则_；ABCo60B42tanA2BCAC（2 2）中，若中，若，则，则_；ABCo30A2b1aC（3 3）中，若中，若，则，则_；ABCo45A24b8aC（4 4）中，若中，若，则，则的最大值为的最大值为_。ABCAcasincba 2总结：若已知三角形的两边和其中一边所
4、对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可 能能如图，在如图，在中，已知中，已知、ABCabA（1 1）若）若为钝角或直角，则当为钝角或直角，则当时，时，有唯一解；否则无解。有唯一解；否则无解。Aba ABC （2 2）若）若为锐角，则当为锐角，则当时，三角形无解；时，三角形无解；AAbasin当当时，三角形有唯一解；时，三角形有唯一解；Abasin当当时，三角形有两解；时，三角形有两解；baAbsin当当时，三角形有唯一解时，三角形有唯一解ba 实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中实际上
5、在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式板块二：余弦定理及面积公式1 1余弦定理：在余弦定理：在中，角中，角的对边分别为的对边分别为，则有，则有ABCCBA、cba、余弦定理：余弦定理： ， 其变式为：其变式为： CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222abcbaCacbcaBbcacbA2cos2cos2cos2222222222 2余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： （1 1）已知三角
6、形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或 由余弦定理求第二个角）由余弦定理求第二个角） ，最后根据，最后根据“内角和定理内角和定理”求得第三个角；求得第三个角； （2 2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦 定理求第二个角）定理求第二个角） ，最后根据，最后根据“内角和定理内角和定理”求得第三个角；求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理
7、就尽量用正弦定理解决说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决3 3三角形的三角形的面积公式面积公式（1 1） （、分别表示分别表示、上的高）上的高） ；cbaABCchbhahS21 21 21ahbhchabc（2 2）BacAbcCabSABCsin21sin21sin21（3 3） （为外接圆半径）为外接圆半径）ABCSCBARsinsinsin22R（4 4）；RabcSABC43（5 5） 其中其中)()(cpbpappSABC)(21cbap（6 6）（是内切圆的半径，是内切圆的半径， 是三角形的周长）是三角形的周长）lrSABC21rl【例例】考查余弦定理的基本应用
8、考查余弦定理的基本应用（1 1）在）在中，若中，若，求，求；ABC32a26 bo45CBAc、（2 2）在）在中，若中，若，求边，求边上的高上的高；ABC13a4b3cACh（3 3）在）在中，若中，若，求，求ABC132a8bo60Ac【例例】 （1 1）在）在中，若中，若，则，则中最大角的余弦值为中最大角的余弦值为_ABC7a8b1413cosCABC（2 2） （1010 上海理）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为上海理）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则（，则（ 51 111 131、）A A不能作出这样的三角形不能作出这样的三角形 B B作出一个锐角
9、三角形作出一个锐角三角形C C作出一个直角三角形作出一个直角三角形 D D作出一个钝角三角形作出一个钝角三角形（3 3）以）以为三边组成一个锐角三角形，则为三边组成一个锐角三角形，则的取值范围为的取值范围为_x、43x【例例】考查正余弦定理的灵活使用考查正余弦定理的灵活使用（1 1）在）在中，若中，若，其面积，其面积，则，则_ABCCcAbBasincoscos)(41222acbSB（2 2）在）在中，若中，若，则，则_ABCCaAcbcoscos)3(Acos（3 3） （0707 天津理）在天津理）在中，若中，若，则，则_ABCbcba322BCsin32sinA（4 4） （1010
10、江苏）在锐角江苏）在锐角中，若中，若，则，则_ABCCba abcos6BC AC tantan tantan【例例】判断满足下列条件的三角形形状判断满足下列条件的三角形形状（1 1）； （2 2）； （3 3）；AbBatantan22BACsincos2sincbaBA coscos（4 4）； （5 5），)sin()()sin()(2222BAbaBAbaCabsinBaccos4板块三：解三角形综合问题板块三：解三角形综合问题【例例】 （0909 全国全国 2 2）在在中，角中，角的对边分别为的对边分别为、，求，求ABCCBA、abc23cos)cos(BCAacb 2B【例例】 （
11、1111 西城一模）在西城一模）在中，角中，角的对边分别为的对边分别为，且，且，ABCCBA、cba、54cosB2b（1 1）当）当时，求角时，求角的度数；的度数； （2 2）求）求面积的最大值面积的最大值35aAABC【例例】在在中，中，求，求的值和的值和的面积的面积ABCsincosAA2 2AC 2AB 3AsinABC【例例】在在中，角中，角的对边分别为的对边分别为，已知，已知，ABCCBA、cba、2c 3C（1 1）若）若的面积等于的面积等于，求，求；ABC3ba、（2 2）若）若，求，求的面积的面积sinsin()2sin2CBAAABC【例例 5】5】 （0909 江西理）在
12、江西理）在中，角中，角的对边分别为的对边分别为，且，且，ABCCBA、cba、sinsintancoscosABCABsin()cosBAC（1 1）求）求 （2 2）若）若，求，求CA、33ABCSca、【例例】 （0909 安徽理）在安徽理）在中，中，, , ABCsin()1CA31sinB（1 1）求求的值的值； （2 2）设）设，求，求的面积的面积Asin6ACABC【例例】 （1010 辽宁理）在辽宁理）在中，角中，角的对边分别为的对边分别为，ABCCBA、cba、5且且CbcBcbAasin)2(sin)2(sin2（1 1）求）求的大小；的大小； （2 2）求）求的最大值的最大
13、值 ACBsinsin【例例】在在中，角中，角的对边分别为的对边分别为， ，ABCCBA、cba、)(43222cbaSABC（1 1）求）求的大小；的大小； （2 2）求）求的范围的范围CBAsinsin【例例】 （1111 全国全国 2 2）设）设的内角的内角的对边分别为的对边分别为，已知，已知，ABCCBA、cba、o90CA，求，求bca2C【江西理江西理】在在中，角中，角的对边分别是的对边分别是，已知，已知ABCCBA、cba、2sin1cossinCCC（1 1）求）求的值；的值； （2 2）若）若，求边，求边的值的值Csin8)(422babac【11【11 江西文江西文】在在中，角中，角的对边分别是的对边分别是，已知，已知ABCCBA、cba、CbBcAacoscoscos3（1 1）求）求的值；的值； （2 2）若）若，求边，求边的值的值Acos332coscosCB1ac
