《江苏专转本高等数学 级数 练习加例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏专转本高等数学 级数 练习加例题（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、同方专转本高等数学核心教程- 160 -第六章第六章 级级 数数本章主要知识点本章主要知识点级数收敛定义及性质正项级数敛散判别方法一般项级数敛散判别方法幂级数 一、级数收敛的定义及性质一、级数收敛的定义及性质定义：收敛（有限）(+)1nna nknnSaS1n性质： 必要条件 0lim nna 与收敛，则收敛nanb)(nnba 收敛，发散，必发散nanb)(nnba 发散，发散，不能确定nanb)(nnba pn1发散收敛11pp 收敛，当nq.1qconst例 6.1计算 11 (3)nn n解：111111111()(1),()(3)33333nnn kkSnn nnnn 第六章 级 数
2、 - 161 -111 (3)3nn n例 6.2计算（）0nnq.1qconst解：111()11nnqSnqq 所以 01 1nnqq二、正项级数二、正项级数敛散性判别法敛散性判别法(0)nna a 1. 比值判别法比值判别法如果 nlim11, 1, 1, nnl al lal 收敛发散比值判别法失效例 6.31!nnnn解： 11 1(1)!limlimlim()1(1)!1n nn nnnnnannneannn 所以由比值判别法知原级数收敛。例 6.4 124n nn解： 收敛1 11241 11limlimlim12422n n nnnnnann ann 例 6.5判别级数的敛散性
3、21222133 53 5 721nn LLL同方专转本高等数学核心教程- 162 -解：，收敛1 123 5 7.(21)limlim03 5 7.(21)2n n nnnnan an 2. 比较判别法比较判别法比较判别法有三种形式：一种称为囿级数法；一种为极限式；一种为等价无穷小式。囿级数法：如果 0（对充分大）成立且收敛，则收敛；nnba nnbna如果，发散，则发散。0nnbanbna极限式：如果（有限数） ，同敛散；lbannn lim0l)0(,nnnnbaba特别地，若且收敛，则收敛；0l nbna若且发散， 则发散。lnbna等价无穷小式：，p1，收敛，发散。npCan:(0)
4、C 1n na1p 1n na例 6.622 1sin 1nn n解：，而收敛，由比较判别法知收敛。222sin101n nn21 n22 1sin 1nn n例 6.71arctan21 32nn nn 解：，arctan/212103232 3nnnnn 而收敛，1 2 3n由比较判别法知原级数收敛。第六章 级 数 - 163 -例 6.8已知收敛（） ，证明也收敛。1n na0na 2 na证明：因为收敛，故，所以对充分大的 n 成立：1n nalim0nna ，因此， 01na20nnaa收敛，由比较判别法知收敛。1n na21n na例 6.9正项级数，收敛，证明：收敛。1n na
5、1n nb 1nn na b证明：，2210()2nnnna bab由上题的结论可知，,收敛，收敛，1n na 1n nb2 na2 nb由比较判别法知：收敛。 1nn na b例 6.1011 31nn解：因为，1 131lim13nnn而发散，由比较判别法知发散。1 n 11 31nn例 6.11 42124365nnnn解：因为，2422422 33365nn nnnn :同方专转本高等数学核心教程- 164 -，所以原级数发散。1p 例 6.123/2 1lnnn n解：，3/21/45/4ln lnlimlim1nnn nnln n考虑极限31/41/4 41 ln4limlimli
6、m01 4xxxxx xxx，收敛，0l 5/41 n所以由比较判别法知原级数收敛例 6.131000.01 1n nn e解：1001021020.011020.010.010.012102!limlimlimlim010.01nnxxnnxxn nxeleee n收敛，故由比较判别法知，原级数收敛。21 n例 6.14sin121nn31 n解：因为sin21n31 n53 21221nnn:收敛，由比较判别法知收敛。5 21n3 1121sinnnn三、一般项级数三、一般项级数一般项级数有绝对收敛和条件收敛两个概念。第六章 级 数 - 165 -定义 1： 绝对收敛收敛。nana原级数绝
7、对收敛必收敛。定义 2：条件收敛发散，而收敛nanana研究一般项级数的流程应是先判别绝对收敛，若绝对发散则研究级数的条件收敛性。一般项级数中最重要的一类级数为交错级数（） 。nna ) 1(0na 交错级数莱伯尼兹判别法：对于级数nna)1(若 （1），即级数是交错的，0na （2）单调下降，na（3）lim0nna 则收敛。 11n n na例 6.15 311( 1) 321nnnn 解：先考虑级数 31321nn因为 33 2113213nnn:而收敛，所以收敛 31n31321nn即原级数绝对收敛。例 6.16 2111 461nnnn 解：对于，因为，所以发散，原级数绝对 2146
8、1na nn 211 2461nnn:同方专转本高等数学核心教程- 166 -发散。而是交错级数，单调下降，且 2111 461nnnn 21461nn21lim0 461nnn 由莱伯尼判别法知，原级数是条件收敛。例 6.17研究级数敛散性11sin) 1(nkn n解：（）knna1sinkConst=1，与同敛散，kknnn 11sin lim kn1sinkn1故当时，原级数绝对收敛；当时，原级数绝对发散；1k 1k当时，不存在，所以原级数发散；0k1limsinknn当时， 为交错级数，且单调下降，01kkn n1sin) 1(kn1sin且， 故由莱伯尼兹判别法知，原级数条件收敛。
9、)(01sinnnk四、幂级数四、幂级数1收敛半径和收敛区间收敛半径和收敛区间称为幂级数，对于幂级数首先是收敛半径和收敛区间的计算。nnnxxa)(10收敛半径 R：R=1limnnnaa收敛区间:；对于和端点处特别考虑。00xRxxR0xxR0xxR第六章 级 数 - 167 -例 6.18求的收敛半径和收敛区间 2 11125nnnxn解：，2 2 11limlim(2(1)5)125nnnnaRnan当时，原级数=收敛；1x 21( 1)25n n当时，原级数=收敛；1x 21 25n 所以，收敛区间为。 1, 1例 6.19求的收敛半径和收敛区间。01212131nn nx解：令，原级
10、数，212 xy 01 13112nn nyx，111 3131limlim3131 31nnynnnnR 。3 22y xRR 对于，原级数收敛；当时，原级数发散，故收13 13(,)22x13 2x3y 敛区间为。13 13(,)222函数展开为幂级数函数展开为幂级数几个常用的幂级数形式（1） 0,!n xnxexn 同方专转本高等数学核心教程- 168 -（2） 011,11nnnxxx01,11nnxxx（3） 2101sin,21 !n nnxxxRn 201cos,2!n nnxxxRn（4） 111ln 1,1n nnxxxn例 6.20 2xf xx1)展开为的幂级数。2）展开
11、为的幂级数。x1x解：1） 1 1 001111,2222212n nnn n nnxxxf xxxx 2） 22111131313f xxx 00211211111,1333333n nnnn nnxxx 例 6.21展开为的幂级数。 2213xf xxxx解： 222(21)232 7213737 21xxxxxf xxxxx 。2212 2171 213xx xx 2 20012112,21372nnnn n nnxxx 第六章 级 数 - 169 -例 6.22展开为 x 的幂级数 2cosf xxx解： xf1 cos2cos2222xxxxx 20112222!n nnxxxn 2
12、21112,22!nnnnxxxn 例 6.23已知求的幂级数展开式 ,arctanxxf xfn nxa解： 2 2 0111n nnfxxx在区间上，两边积分，利用幂级数逐项可积性得x, 0， 1201210nnn xnfxf。 2101,121nnnf xxxn 例 6.24求和函数。11nnnx 解：设，利用幂级数逐项可积性得11( )nnS xnx ，10011( )1xxnnnnxS x dxnxdxxx 求导得：。21( )()1(1)xS xxx例 6.25求的和函数。246 1357xxxL解：令246 ( )1357xxxS x L同方专转本高等数学核心教程- 170 -，24 21( )11xS xxxx L，20111( )ln121xxxS xdxxx所以。11( )ln21xS xxx单元练习题单元练习题 61是级数收敛 （ ）lim0nnu 0n nuA必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件2正项级数收敛的( )是前 n 项部分和数列有界1nnu nsA必要条件 B充分条件C充要条件 D无关条件3下列级数中收敛的是( )A
