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1、正十七边形正十七边形 编辑本段尺规作法编辑本段尺规作法 步骤一：步骤一： 给一圆给一圆 O O，作两垂直的直径，作两垂直的直径 OAOA、OBOB， 作作 C C 点使点使 OCOC1/4OB1/4OB， 作作 AOAO 延长线上延长线上 D D 点使点使OCDOCD1/4OCA1/4OCA， 作作 AOAO 延长线上延长线上 E E 点使得点使得DCEDCE4545 度。度。 步骤二：步骤二： 作作 AEAE 中点中点 M M，并以，并以 M M 为圆心作一圆过为圆心作一圆过 A A 点，此圆交点，此圆交 OBOB 于于 F F 点，点， 再以再以 D D 为圆心，作一圆过为圆心，作一圆过
2、F F 点，此圆交直线点，此圆交直线 OAOA 于于 G4G4 和和 G6G6 两点。两点。 步骤三：步骤三： 过过 G4G4 作作 OAOA 垂直线交圆垂直线交圆 O O 于于 P4P4， 过过 G6G6 作作 OAOA 垂直线交圆垂直线交圆 O O 于于 P6P6， 则以圆则以圆 O O 为基准圆，为基准圆，A A 为正十七边形之第一顶点为正十七边形之第一顶点 P4P4 为第四顶点，为第四顶点，P6P6 为第六为第六 顶点。顶点。 以以 1/21/2 弧弧 P4P6P4P6 为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。 正十七边形的尺规作图存
3、在之证明正十七边形的尺规作图存在之证明: : 设正设正 1717 边形中心角为边形中心角为 a,a,则则 17a=36017a=360 度度, ,即即 16a=36016a=360 度度-a-a 故故 sin16a=-sina,sin16a=-sina,而而 sin16a=2sin8acos8a=22sin4acos4acos8a=2sin16a=2sin8acos8a=22sin4acos4acos8a=2 4 4 sinacosacos2acos4acos8asinacosacos2acos4acos8a 因因 sinasina 不等于不等于 0,0,两边除之有两边除之有: : 16cos
4、acos2acos4acos8a=-116cosacos2acos4acos8a=-1 又由又由 2cosacos2a=cosa+cos3a2cosacos2a=cosa+cos3a 等等, ,有有 2(cosa+cos2a+cos8a)=-12(cosa+cos2a+cos8a)=-1 注意到注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8ax=cosa+cos2a+cos4a+cos8a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7ay=cos3a+cos5a+cos6a
5、+cos7a 有有: : x+y=-1/2x+y=-1/2 又又 xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+cosa+cos15a)=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+cosa+cos15a) 经计算知经计算知 xy=-1xy=-1 又有又有 x=(-1+x=(-1+根号根号 17)/4,y=(-1-17)/4,y=(-1-根号根号 17)/417)
6、/4 其次再设其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7ay1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故有故有 x1+x2=(-1+x1+x2=(-1+根号根号 17)/417)/4 y1+y2=(-1-y1+y2=(-1-根号根号 17)/417)/4 最后最后, ,由由 cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2 可求可求 cosacosa 之表达式之表达式, ,它是数的加减乘除平方根的组合它是数的加减乘除平方根的组合, , 故正故正 1717 边形可用尺边形可用尺 规作出规作出
