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1、学校高三下期数学（文）教案（二） （学生卷）第 1 页（共 9 页）专题二：空间距离专题二：空间距离 一、基础梳理一、基础梳理 （1）点到平面的距离（简称“点面距” ）：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间 的距离叫做这个点到这个平面的距离。 （2）直线到平面的距离（简称“线面距” ）：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点 到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离。 （3）两个平行平面间的距离（简称“面面距” ）：两个平行平面间的公垂线段的长度。 （4）两条异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段） 的长度。 （5）线段与平面相交于点，且是的中点，则
2、到平面的距离相等。ABMMAB,A B （也可推广到成比例的情形） （此性质常用于转化求点面距） 几个距离的转化：线线距离（异面直线）线(或面）面距离点面距离点点距离二、能力巩固二、能力巩固 考点一：点到直线的距离考点一：点到直线的距离 求点到直线距离的方法： 利用三垂线定理作出点到直线的垂线，进而解三角形。 借助于三角形面积公式（即面积法）解方程求解。例 1在二面角内有一点，到的距离分别为 3 和 5，求到的距离。060aPP、Pa发散：点到的二面角的两个面的距离分别为 3 和 5，求到的距离。P060a、Pa变式训练 1： （1）已知直二面角两点均不在直线 上，又直线与 成,lABAB 、
3、lABl角，且线段，求线段的中点到 的距离。0308AB ABMl学校高三下期数学（文）教案（二） （学生卷）第 2 页（共 9 页）（2）如图所示，在正三棱柱中，。111ABCABC1AB 若二面角的大小为，则点到直线1CABC0601CAB的距离为_。考点二：点到平面的距离考点二：点到平面的距离 求点到平面的距离的方法： （1）一般解法：一般解法：找出或作出过点且与平面垂直的平面，利用面面垂直的性质作出过点P 且与平面垂直的直线，进而解三角形求解。P （2）体积法：体积法：利用三棱锥体积相等，通过解方程求距离。 （3）转化法：转化法：当过点难以作平面的垂线时，可利用线面平行或面面平行或线段
4、的比例关P 系，转移到另一点上去求。例 2.（07 辽宁）如图，在直三棱柱中，111ABCABC，分别为棱090ACBACBCaDE， 的ABBC，中点，为棱上的点，二面角为。M1AAMDEA030（I）证明：；111ABC D（II）求的长，并求点到平面的距离。 MACMDE变式训练 2： 正方体中，、分别为、1111ABCDABC DEF1BB的中点，设棱长为 2。CD （1）求证：平面平面；AED 11AFD（2）求到面的距离。1D1AEFABC1A1B1CABCDA1B1C1EMABCD1A1B1C1DE F学校高三下期数学（文）教案（二） （学生卷）第 3 页（共 9 页）变式训练
5、3： （1） （08 江西九所重点中学高三联合考试）如图所示， 在直三棱柱中，111ABCABC2,BABC，异面直线与成的角，0BA BCuu u r uuu r1ABAC060点分别是棱和的中点，点是棱OE，AC1BBF上的动点。11BC证明：；1AEOF求点到面的距离；E1ABC求二面角的大小。111BACC（2）平面、两两垂直，点，到、距离都是 1，是上动点，到AAPP的距离是到点距离的倍，则点轨迹上的点到距离的最小值是 。A2P考点三：异面直线间的距离考点三：异面直线间的距离 求异面直线间的距离的方法：求异面直线间的距离的方法： （1）公垂线段法公垂线段法找出异面直线间的公垂线段，然
6、后计算其长度；ABC1A1B 1CEOF学校高三下期数学（文）教案（二） （学生卷）第 4 页（共 9 页）（2）转化法转化法利用异面直线距离、线面距、面面距、点面距的关系将异面直线间的距离转 化为点面距，然后利用点面距的求法或体积法解决。 例 3如图所示，在三棱柱中，111ABCABC，为棱上异于11ABBBC C 侧面E1C C的一点。，已知1CC、1EAEB2,AB ，求：异面直112,1,3BBBCBCC线与的距离。AB1EB变式训练 3： （07 重庆）如图所示，在直三棱柱中，111ABCABC，；12AA 1AB 90ABC o点分别在，上，且，DE，1BB1AD11B EAD四棱
7、锥与直三棱柱的体积之比为。1CABDA3:5（）求异面直线与的距离；DE11BC（）若，求二面角的平面角的正切值。2BC 111ADCBABC1A1B1CEABCDE1B1C1A学校高三下期数学（文）教案（二） （学生卷）第 5 页（共 9 页）例 4正方体中，棱长为。1111ABCDABC Da（1）求与的距离；1BCBD（2）设为的中点，求与的距离；MAB1BC1AM（3）设分别为棱的中点，,M E F11,AB AA CC求与的距离。MEBF课后作业：课后作业： 1.（1）已知平面平面,直线,点,平面、间的距离为 8，则在内到点lPl的距离为 10 且到直线 的距离为 9 的点的轨迹是（
8、 ）Pl A.一个圆 B.两条直线 C.四个点 D.两个点 （2）在平面几何中有如下结论：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比 为 定值，类比上述性质，请叙述在立体几何中的相应结论（任选其一）： 。（3） 正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在 AB 上，且 AM=AB，点 P 在平面 ABCD 上，且31动 点 P 到直线 A1D1的距离的平方与 P 到点 M 的距离的平方差为 1，以所在直线为轴、ABx 所AD 在直线为轴建立平面直角坐标系 xAy，动点 P 的轨迹方程是 。y（4）已知直线a与平面所成的角为，P为空间一定点，过P作与a、所成的角都是03
9、0的直线l，则这样的直线l可作（ ）条045 A2 B3 C4 D无数 （5）平面的斜线交于点，斜线与平面成角，过定点的动直线 与斜线ABBAB030Al 成的角，且交于点，则动点的轨迹是 。AB060CC 2. 如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构 作：先在地平面内作菱形 ABCD，边长为 1，BAD 60，再在的上方，分别以与为底ABDCBD 面安装上相同的正棱锥 P-ABD 与 Q-CBD，APB90。 （）求证：PQBD； （）求二面角 P-BD-Q 的余弦值； （）求点 P 到平面 QBD 的距离。3下面的一组图形为四棱锥的侧面与底面。SABCDABCD1A1B1C1DFME
10、a学校高三下期数学（文）教案（二） （学生卷）第 6 页（共 9 页）（1）请画出四棱锥的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给SABCD 出 证明；如果不存在，请说明理由； （2）若，为中点，求二面角的大小；SAABCD 面EABESCD（3）求点到面的距离。DSEC4 （08 福建）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PA=PD，底面2 ABCD 为直角梯形，其中 BCAD，ABAD，AD=2AB=2BC=2，O 为 AD 中点。 （）求证：PO平面 ABCD； （）求异面直线 PB 与 CD 所成角的大小；（）线段 AD 上是否存在点 Q，使得
11、它到平面 PCD 的距离为？3 2若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。AQ QD5 （1）矩形中，沿对ABCD,()ABa ADb ab角线将矩形折起，使，求异面直线与ACADBCAD 的距离；BC （2）如图，已知为矩形所在平面外一点，PABCD ，与所成角为，,PABC PBCDPACD060与所成角为，。PDBC030PAa 求直线与间的距离；PACD 求直线与间的距离。PBAD6 （08 重庆）如图所示，在中，两点分别在上，ABC90B o15 2AC DE，ABAC，使，。现将沿折成2ADAE DBEC3DE ABCDE直二面角，求： （）异面直线 AD 与 BC 的距离； （）
12、二面角的大小（用反三角函数表示） 。AECBPABCDABCEDABCDEaa2a2aaaaaaaaABCODP学校高三下期数学（文）教案（二） （学生卷）第 7 页（共 9 页）课后作业参考答案：课后作业参考答案： 1.（1）C 提示：如图，设点 P 在平面 上的射影是 O，则 OP 是 平面 、 的公垂线段，OP=8.在 内，到点 P 的距离等于 10 的点 到点 O 的距离等于 6，故点的集合是以 O 为圆心，以 6 为半径的圆. 在 内，到直线 l 的距离等于 9 的点的集合是两条平行直线 m、n,它们到点 O 的距离都等于6,所以直线 m、n 与这个178922 圆均相交，共有四个交
13、点，因此所求的点的轨迹是四个点，故应 C. （2）从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面距离之比为定值。（3） 提示：过 P 点作 PQAD 于 Q，再过 Q 作 QHA1D1于 H，连 PH，利用三垂91 322xy线定理可证 PHA1D1，设 P（x，y） ，|PH|2 - |PH|2 = 1，x2 +1- （x）2+y2 =1，化简得1 3。91 322xy（4）A （5）双曲线 2.解：（）由 P-ABD，Q-CBD 是相同正三棱锥，可知PBD 与QBD 是全等等腰 取 BD 中点 E，连结 PE、QE，则 BDPE，BDQE故 BD平面 PQE，从而 BDPQ （）由
14、（1）知PEQ 是二面角 P-BD-Q 的平面角，作 PM平面，垂足为 M，作 QN平面， 垂足为 N，则 PMQN，M、N 分别是正ABD 与正BCD 的中心，从而点 A、M、E、N、C 共线，PM 与 QN 确定平面 PACQ，且 PMNQ 为矩形，可得 MENE，PEQE，PQMN，63 21 33cosPEQ，即二面角为 31 2222 QEPEPQQEPE 31arccos（） 由（1）知 BD平面 PEQ设点 P 到平面 QBD 的距离为 h，则hhSVQBDQBDP121 31， 362)31(1241sin241 312PEQBDSVPEDQBDP362 121h32h3解：（
15、1）存在一条侧棱垂直于底面（如图） ， 证明：且是面,ADSAABSAQ,AB ADABCD 内的交线，SA底面 ABCD。 （2）分别取 SC、SD 的中点 G、F，连 GE、GF、FA， 则 GF/EA,GF=EA,AF/EG 而由 SA面 ABCD 得 SACD， 又 ADCD，CD面 SAD，又 SA=AD,F 是中AFCD 点， 面 SCD,EG面 SCD,SDAF AF面 SCD 所以二面角 E-SC-D 的大小为 90 。SEC面o(3)作 DHSC 于 H，面 SEC面 SCD,DH面 SEC,QDH 之长即为点 D 到面 SEC 的距离，在 RtSCD 中，Qaaaa SCDCSDDH36 32SABCDEFGH学校高三下期数学（文）教案（二） （学生卷）第 8 页（共 9 页）点 D 到面 SEC 的距离为。a364解：（）证明：在PA
